«Иррациональные уравнения»

Конспект урока по теме «Иррациональные уравнения» Цель: рассмотреть основные типы иррациональных уравнений   и   способы   их   решений;   уточнить, расширить   знания   обучающихся   по   иррациональным уравнениям. Методическое   оснащение:   Учебник   «Алгебра   и начала   анализа   10   класс»   Е.П.Нелин,   В.А.Лазарев, Москва ИЛЕКСА, 2014; мультимедийная презентация, распечатки заданий. Ход урока. 1. Организационный   момент.   Мотивация   урока. Сообщение темы урока, целей урока. Историческая справка. (СЛАЙДЫ №2 ­ №6). Существует ряд практических и учебных задач, при   решении   которых   возникают   уравнения, называемые   иррациональными.   В   ШКМ иррациональным уравнениям уделяется достаточно много   уроков,   на   которых   вам   надо   научиться решать эти уравнения. Итак, откройте учебник на страницах 317 – 318 и найдите   ответ   на   вопрос:   «Какое   уравнение называется иррациональным?» (Уточнить   формулировку   относительно степени с дробным показателем). 2. Примеры иррациональных уравнений (слайд №9): 1)  33 x 2 4 ;  2)  1  x 3 ; 4)  6)  3 3 3)  5)   x x 1 x 0 3 3. Примеры   4 ;   5 ;  . ( x являющихся иррациональными   (слайд   №10):   Какие   это уравнения? 3 уравнений ( x не )1    15 )2     0    2   x  5 x 7 ;  2 5 1 2 1)  2)  3) ( 4)  3 5 2 x 23   624 3 9( x )2  5 x 4( )3 75 x  7 0   4 17  132 x 2    3 2    (квадратное) (квадратное) (линейное)   (линейное) 4. Чаще   всего   рассматриваются   иррациональные   содержащие   корни   с   чётным уравнения, показателем   и   реже   уравнения   с   нечётным показателем.  ВОПРОС  (слайд   №11):   Перечислите   свойства корней с чётным показателем.  ОТВЕТ (слайд №12). ВОПРОС (слайд №13)  ОТВЕТ (слайд №14) 5. Введём   два   важных   понятия,   полезных   при решении иррациональных уравнений (слайд №15):  I.   ОДЗ   (область   допустимых   значений переменной) Слайд №16 6. УПРАЖНЕНИЯ  1)   Найти   ОДЗ   иррационального уравнения:   (слайд   №17)   и   2)   Найти   ОДЗ иррационального   уравнения   (слайд   18)   решение под руководством учителя.  1)   2 x  2 x 5 1  1  1 x  4 . Ответ   . 2)  3 x  3  4  x 2  5 . Ответ:  9 Два человека у доски. .   3;    2 3 4 3 x x  6   x 3 x ;  2  1 2  1 5  x Найти ОДЗ уравнения:  1)  2)  II.   Другим   важным   понятием   при   решении иррационального   уравнения   является   область существования решения уравнения. (слайд 20). Ответ:   Ответ:   3;1 .  . 7. УПРАЖНЕНИЕЯ  5 1)   2 3 x x  4 3 x x 1 2    (слайд   №21)   В   левой части   уравнения   находится   арифметический корень   чётной   степени.   По   определению   это выражение   не   отрицательно,   поэтому   в   левой части   может  находиться  только   неотрицательное выражение. Отсюда получаем неравенство  , 0 которое   определяет   область   существования решения, следовательно, ОСР – это все значения решение x иррационального   уравнения   может   находиться только в множестве значений переменной, которое является пересечением ОДЗ и ОСР.   Очевидно, 2 x что   ;2 .      2)   2 x  6 x  8 x  (слайд №22).  5 Ответ: нет решений. Слайд №23 8. ВЫВОД  9. РЕШЕНИЕ   ИРРАЦОНАЛЬНЫХ   УРАВНЕНИЙ, КОТОРЫЕ   НЕ   ТРЕБУЮТ   ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ. 10. Слайд № 25 3 3 x x Решить уравнение  1)  ;  2)  x 3)  x Ответы    5   x x 5 x 5 x 1) 3;   (7     2) 4;  4 4 2 2 )1 2 4 2 2 4 2 7 11. Слайд №26  x 6 6 x  2  1 8 8 3 3 x 3 3 x   ;  . 4 4 3) нет корней. x x 3 2 3 2 x 2 4 x   )1  1 x Решить уравнения  4)  x ( 5)  ;  5 6)    4  ;   x  3 3 7)   2 Ответы  4) нет корней;  5) нет корней;  6) – 1;  7) ­ 1,5; 2,5. ДОПОЛНИТЕЛЬНО  Решить уравнение   1  0 ;   15 x . )3  4   8 2 x x 4 x 2 x ( x 2 x x  2  2  4 1 x 1 2    x  x 5 )3 ( 3 4 82 9 4  ;   .  Ответ:   .   (Такого   типа   задания смотри   учебник   Пратусевича   10   класс,   стр.   267 № V.32; стр. 268 № V.38). 4  2 III. СЛАЙД №27 Основные методы решения  иррациональных уравнений.  СЛАЙД №28 Метод возведения уравнения в  одну и ту же степень. СЛАЙД №29  Теоретический материал. СЛАЙД №30  Замечание №1. СЛАЙДЫ №31 и №32  СЛАЙДЫ №33 и №34 №35  Замечание №2. Замечание №3. СЛАЙД №36 и №37.  (решаем двумя способами)   (решаем двумя  Решить уравнения:  1)  2)  29 3 6 2 2 x x 3 3 x x x 4 x  3    способами)    1  1 x ;   2  x 3 x x x 11 x 20  5 x 3)  4)  5)  6)  Ответы 1) 3; 2) 1; 3; 3) ­1; 1.4)  x ;  ;  .   5 x 2 x 7  7 5 2 6 1  41 ; 5) 84; 6) 4 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА  Работа с распечаткой Домашняя работа ДОПОЛНИТЕЛЬНО: Пратусевич, Алгебра, 10 стр. 286 №V.37. Методические рекомендации стр. 182. 2 СЛАЙД №38 СЛАЙД №39 СЛАЙД №40 Распечатка к уроку Решение иррациональных уравнений (по страницам ЕГЭ разных лет) 1. Сумма корней  или корень (если он единственный) уравнения x    принадлежит промежутку  3 2  3 4     1)  4)  1, 8;   1 2 ;  0, 2 x 3 2      2)     5)  3 2 ;  0, 2;  1 0    3)     1;  1 2    2. Найти   среднее   арифметическое   корней   уравнения  4 x 23 x 1) 1    4 x 2 2) 2 3. Корень   уравнения   3) 3   1 x 10 x 4) 4 x      3 5 5) 5 принадлежит промежутку 1)  4)     4;  2 1; 0  2)  5)    2; 1 2; 4  3)  0; 3  4. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения 3 x  2 x  2 x   13 3 x   принадлежит промежутку 4    1; 2    4; 5 1)  4)  2)  5)      2; 3 5; 6   3)    3; 4  5. Число различных корней уравнения  1) 2 4) 3 2) 1 5) 5 2 x 2  6 x 3) 4     равно 1 1 x 6. Найдите сумму корней  уравнения  2( x  1) – 8 3) –6 2) –1 5) 0  x   0 3  3 10) x 2) –3 7. Чему равно произведение корней уравнения  1) – 10 4) 10 2) –5 5) корней нет    ? 1 3 x 2 2 x 3) – 2 8. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения  3   9 2 ;   x 4 1)  4)   3 2    1 x   8 4 7 2   6, 5; 7 , 5 9. Найдите 3 x 2 4 x  1) –5 5 4)  3 10. Найдите x    1 x    2  x произведение 4   2   11 2 2 x x 2) –1 5) 5   4 x 2  произведение 8    . 1) 2( x  принадлежит промежутку 2)  5)   2; 3 7, 5; 8 , 5 3)  4; 5     корней 3) 1 корней     уравнения уравнения 11. Решите уравнение  12. Найдите   сумму   корней,   или   корень,   если   он   единственный, . 2 x   1   7 0 4  1 x уравнения  5 6  x x   6 x  x 5 6  1 . 13. Найдите   корень   (или   произведение   корней,   если   их уравнения несколько)   2 2 x  3 x  14  3 3   x x  3 3   x x  9 6  14. Найдите   значение   выражения   7 ,   где   0x   –   корень уравнения  3 2 x  x x   15. Решите уравнение  16 16. Решите систему уравнений   x x x  9  x     4 x 2  y x 3    1 0 y 3  0 2 x x 4 0 x 0   6 . 3 2 x 2     0,5     4 17. Решите уравнение  18. Модуль      1 3 3 x x x      2  x 4 x разности   x x 3   1)  4 5 4) 2 5) 0  равен  28 1 3 2)  2 53 2 y    x 1  4 2 17 x x корней    2 15   x уравнения 3)  2 5  53   2 1 19. Решите уравнение  20. Укажите множество всех значений параметра а, при которых     1 3 3 1 x x x x    . 6 2 3 3 6 уравнение   x a      x  256 x     0   имеет   единственное  решение. 0;  1)  4)    ; 0     4 2)  4 5)   4;4 3) ; 0    21. Укажите   целое   значение   параметра (если   оно единственное)   или   сумму   целых   значений   из   промежутка       имеет  , при которых уравнение   2 2 x a 1; 9  а  0 x       единственное решение. 22. Найдите  сумму   корней   (или  корень,  если   он  единственный) уравнения  3 5 x  24  2 x   . 9 9 23. Если 2 x 2 0x       3  4 x 2 3 x  – 6 x x 0 значение выражения         x 2 2 7   2 18 021 x    2005   2   sin   корень 2 x уравнения   то   чему   равно ,  ? Ответы «Иррациональные уравнения» 1 5 2 2 3 3 4 4 5 1 6 2 7 2 8 5 9 1 10 –12 11 1 2 – ¾ 6 1 3 – 2 14 –10 15 1,7 5 1 6   2;   7 18 3 17 1,2 5 19 2 20 D 21 7 22 8 23 –3 Комментарии к задачам 9. Сразу возводить в квадрат и решать уравнение четвертой степени нецелесообразно.   Т.   к.   4 x  3 2 x 2   x  2 x  x  2 ,   то   исходное   уравнение можно переписать в виде     2 x  2  x   11 2  2 x   x  4 . Сделаем замену t   2 x x   и   решим   уравнение   t    2 11 2 t 4 .  Возведем   в  квадрат обе   части   равенства   при   дополнительном   условии   2 t   : 4 0    2 11 2 t  t  2 4 ,   2 t    2 11 4 t 16 t  16 ,   23 t  16 t   ,  1 5 0 t  ,  2 5 1 t  . 3 1 t    2 3 не   удовлетворяет   дополнительному   условию   t  , 2 следовательно   t  .   5 2 x x  ,   5 2 x x   .   Т.к.   дискриминант 5 0 положительный,   то   уравнение   имеет   два   корня,   произведение которых по теореме Виета равно  –5. 14.   По   определению   модуля   получаем x  2 16 ( x x       2) 9    x 4        x  16 (2 2 x   3     ) 9 x x 4 3 .   Решим   первую   систему:   x 16  2,  4 x  2 x 32   3 0   x 9 16    2 x  24 x  9 ,   отсюда получаем   x 0   x 2 . Нет решений. Решим   вторую   систему:       x 16 x 2,  4 x  2 32   3 0   x 9 16 2 x  24 x  9 ,   отсюда получаем   0 или  x  7 4 .   Следовательно,   7 x  . 4   x     x  2,   x  3 4    2 y  3 x    1 y 0 0, 5 2 y    1 x 15.   ОДЗ   данной   системы:   x  0,  2 y 3   .   Первое   уравнение x 0 запишем в виде   2 y  3 x  y   1  2 y y      1 0    3 x y 2  y y  1   2 1    . 3 x 2 y  1 Домножим  второе уравнение  системы на 2 и возведем  в квадрат: 2 y     1 4  x . Приравнивая левые и правые чисти равенств, найдем, что   3   x 4 x ,   откуда   x  0,   x  2,   x  .   Последний   корень   не 2 подходит   по   ОДЗ.   При  х=0   y   .   Значит   2 1 0 x  2   и y y  1   2 1 8      y 7 . 16.   x  2  2 4 x  17 x    2 15 x .   1)   Если   x   , 2 0   тогда 24 x  17 x   , значит   1 15 0 5 4 x  ,   x  . Число  3 не  удовлетворяет 2 3 условию  x   . 2) Пусть  2 0 x   , тогда  2 0 24 x  17 x   15  2 2   x и   уравнение   корней   не   имеет,   т.к.   его   правая   часть   принимает отрицательные значения.  17.   Решая   неравенство   x x   1 3  0 ,   находим   ОДЗ   уравнения: x  1 и  x  .   На   ОДЗ   имеем   3 3( x  3) x x   1 3  3     1 x x   3   при 3x    и   3( x  3) x x   1 3  3     1 x x   3   при   x  1 .   В   результате исходное   уравнение   равносильно   совокупности   систем   x 3   3 x     x       1   3 x    1 3 x    1 x 3   x    3    1 x  28 0 . x    3    1 x  28 0 Используя   подстановку   t   x    3   , 1 x   найдем   решения x   1 1 53 ,   x   2 1 2 5 . 19. ОДЗ данного уравнения  x x   1 1 . Заметим, что при замене х на –х  уравнение не изменяется, следовательно, достаточно решить уравнение   на   первом   интервале,   и     в   силу   симметрии   найти оставшиеся   корни.   При     1x      имеем 3 x   1 6   2  1 ,   x 3 x   1 6  x  2  1 ,   6  x  2  1  6  x  2  1 ; 6  2   1 x  6  x  2  1  6  3 x    1    1 x 6  x  2  1 ; 6  2   1 x  6  3 x    1 x   ,   0  1 6     1 x 6  3    ,   1 0 x x  .   Значит, 2 уравнение имеет корни  2 . 20. ОДЗ данного уравнения  x  . Произведение равно нулю, когда 0 один из множителей равен нулю:   x   a  256   x x    a x    x 16   0 . С учетом ОДЗ   уравнение   имеет   корень   x  .   Исходное   уравнение   имеет 16 единственное   решение,   если   первое   уравнение   совокупности   не имеет   корней   на   ОДЗ,   или   он   совпадает   с   полученным,   т.е.   при     ; 0 a     4 . 21. ОДЗ данного уравнения  x  . Произведение равно нулю, когда 2 один из множителей равен нулю:       x a   2 2 0 x   0   6 x   x a  . Исходное уравнение   имеет   единственное   решение,   если   второе   уравнение совокупности   имеет   корни,   не   принадлежащие   ОДЗ,   или   корень совпадает с полученным, т.е. при      a    ; 2    . Пересекая с   6 промежутком  a     1; 9 , находим такие   a   0;1;6 . Их сумма равна 23.   При   всех   действительных  х  справедливы   неравенства 22 x  4 x   3  2 x   2 1   , 1 1   23 x  6 x   7  3 x   2 1   , 2 4 2 2  x 2    3 x  x   2 1  . С учетом этих оценок исходное уравнение 3 равносильно системе  2 2 x 2   3 x    2 2    x x 4   3 1     6 7 x 1   2 x 3 2 x . 23.   ОДЗ   неравенства   2 3x  .   Оценим   на   этой   области   левую   и правую часть неравенства. Очевидно, что   x   2 3  x  . А т.к. 0 1 x     и  3 6 1 2 x   , то   4 x   1 6  x , или   x  1  6  x  . 0 Таким образом, при всех значениях  х из отрезка  2 3x   заданное неравенство выполняется.