Конспект урока по теме «Иррациональные
уравнения»
Цель: рассмотреть основные типы иррациональных
уравнений и способы их решений; уточнить,
расширить знания обучающихся по иррациональным
уравнениям.
Методическое оснащение: Учебник «Алгебра и
начала анализа 10 класс» Е.П.Нелин, В.А.Лазарев,
Москва ИЛЕКСА, 2014; мультимедийная презентация,
распечатки заданий.
Ход урока.
1. Организационный момент.
Мотивация урока.
Сообщение темы урока, целей урока. Историческая
справка. (СЛАЙДЫ №2 №6).
Существует ряд практических и учебных задач,
при решении которых возникают уравнения,
называемые иррациональными.
В ШКМ
иррациональным уравнениям уделяется достаточно
много уроков, на которых вам надо научиться
решать эти уравнения.
Итак, откройте учебник на страницах 317 – 318 и
найдите ответ на вопрос: «Какое уравнение
называется иррациональным?»
(Уточнить формулировку относительно
степени с дробным показателем).
2. Примеры иррациональных уравнений (слайд №9):
1)
33
x
2
4
;
2)
1
x
3
;4)
6)
3
3
3)
5)
x
x
1
x
0
3
3. Примеры
4
;
5
;
.
(
x
являющихся
иррациональными (слайд №10): Какие это
уравнения?
3
уравнений
(
x
не
)1
15
)2
0
2
x
5
x
7
;
2
5
1
2
1)
2)
3) (
4)
3
5
2
x
23
624
3
9(
x
)2
5
x
4(
)3
75
x
7
0
4
17
132
x
2
3
2
(квадратное)
(квадратное)
(линейное)
(линейное)
4. Чаще всего рассматриваются иррациональные
содержащие корни с чётным
уравнения,
показателем и реже уравнения с нечётным
показателем.
ВОПРОС (слайд №11): Перечислите свойства
корней с чётным показателем.
ОТВЕТ (слайд №12).
ВОПРОС (слайд №13)
ОТВЕТ (слайд №14)
5. Введём два важных понятия, полезных при
решении иррациональных уравнений (слайд №15):
I.
ОДЗ (область допустимых значений
переменной) Слайд №16
6. УПРАЖНЕНИЯ 1) Найти ОДЗ иррационального
уравнения: (слайд №17) и 2) Найти ОДЗ
иррационального уравнения (слайд 18) решение
под руководством учителя.
1)
2
x
2
x
5
1
1
1
x
4
. Ответ .2)
3
x
3
4
x
2
5
. Ответ:
9
Два человека у доски.
.
3;
2
3
4
3
x
x
6
x
3
x
;
2
1
2
1
5
x
Найти ОДЗ уравнения:
1)
2)
II. Другим важным понятием при решении
иррационального уравнения является область
существования решения уравнения. (слайд 20).
Ответ:
Ответ:
3;1 .
.
7. УПРАЖНЕНИЕЯ
5
1)
2
3
x
x
4
3
x
x
1
2
(слайд №21) В левой
части уравнения находится арифметический
корень чётной степени. По определению это
выражение не отрицательно, поэтому в левой
части может находиться только неотрицательное
выражение. Отсюда получаем неравенство
,
0
которое определяет область существования
решения, следовательно, ОСР – это все значения
решение
x
иррационального уравнения может находиться
только в множестве значений переменной, которое
является пересечением ОДЗ и ОСР.
Очевидно,
2 x
что
;2
.
2)
2
x
6
x
8
x
(слайд №22).
5
Ответ: нет решений.
Слайд №23
8. ВЫВОД
9. РЕШЕНИЕ ИРРАЦОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
КОТОРЫЕ НЕ ТРЕБУЮТ ПРИМЕНЕНИЯ
ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ.10. Слайд № 25
3
3
x
x
Решить уравнение
1)
;
2)
x
3)
x
Ответы
5
x
x
5
x
5
x
1) 3;
(7
2) 4;
4
4
2
2
)1
2
4
2
2
4
2
7
11. Слайд №26
x
6
6
x
2
1
8
8
3
3
x
3
3
x
;
.
4
4
3) нет корней.
x
x
3
2
3
2
x
2
4
x
)1
1
x
Решить уравнения
4)
x
(
5)
;
5
6)
4
;
x
3
3
7)
2
Ответы
4) нет корней; 5) нет корней; 6) – 1;
7) 1,5; 2,5.
ДОПОЛНИТЕЛЬНО
Решить уравнение
1
0
;
15
x
.
)3
4
8
2
x
x
4
x
2
x
(
x
2
x
x
2
2
4
1
x
1
2
x
x
5
)3
(
3
4
82
9
4
;
. Ответ:
. (Такого типа задания
смотри учебник Пратусевича 10 класс, стр. 267
№ V.32; стр. 268 № V.38).
4
2
III. СЛАЙД №27 Основные методы решения
иррациональных уравнений.
СЛАЙД №28 Метод возведения уравнения в
одну и ту же степень.
СЛАЙД №29 Теоретический материал.
СЛАЙД №30 Замечание №1.
СЛАЙДЫ №31 и №32
СЛАЙДЫ №33 и №34 №35
Замечание №2.
Замечание№3.
СЛАЙД №36 и №37.
(решаем двумя способами)
(решаем двумя
Решить уравнения:
1)
2)
29
3
6
2 2
x
x
3
3
x
x
x
4
x
3
способами)
1
1
x
;
2
x
3
x
x
x
11
x
20
5
x
3)
4)
5)
6)
Ответы 1) 3; 2) 1; 3; 3) 1; 1.4)
x
;
;
.
5
x
2
x
7
7
5
2
6
1
41
; 5) 84; 6) 4
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Работа с распечаткой
Домашняя работа
ДОПОЛНИТЕЛЬНО: Пратусевич, Алгебра, 10 стр. 286
№V.37. Методические рекомендации стр. 182.
2
СЛАЙД №38
СЛАЙД №39
СЛАЙД №40Распечатка к уроку
Решение иррациональных уравнений
(по страницам ЕГЭ разных лет)
1. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения
x
принадлежит промежутку
3
2
3 4
1)
4)
1, 8;
1
2
;
0, 2
x
3
2
2)
5)
3
2
;
0, 2;
1
0
3)
1;
1
2
2. Найти среднее арифметическое корней уравнения
4
x
23
x
1) 1
4
x
2
2) 2
3. Корень уравнения
3) 3
1
x
10
x
4) 4
x
3
5
5) 5
принадлежит
промежутку
1)
4)
4;
2
1; 0
2)
5)
2; 1
2; 4
3)
0; 3
4. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения
3
x
2
x
2
x
13
3
x
принадлежит промежутку
4
1; 2
4; 5
1)
4)
2)
5)
2; 3
5; 6
3)
3; 4
5. Число различных корней уравнения
1) 2
4) 3
2) 1
5) 5
2
x
2
6
x
3) 4
равно
1
1
x
6. Найдите сумму корней уравнения
2(
x
1) – 8
3) –6
2) –1
5) 0
x
0
3
3
10)
x
2) –3
7. Чему равно произведение корней уравнения
1) – 10
4) 10
2) –5
5) корней нет
?
1
3
x
2
2
x
3) – 2
8. Сумма корней или корень (если он единственный) уравнения
3
9
2
;
x
4
1)
4)
3
2
1
x
8 4
7
2
6, 5;
7
, 5
9. Найдите
3
x
2
4
x
1) –5
5
4)
3
10. Найдите
x
1
x
2
x
произведение
4
2
11 2
2
x
x
2) –1
5) 5
4
x
2
произведение
8
.
1)
2(
x
принадлежит промежутку
2)
5)
2; 3
7, 5;
8
, 5
3)
4;
5
корней
3) 1
корней
уравнения
уравнения
11. Решите уравнение
12. Найдите сумму корней, или корень, если он единственный,
.
2
x
1
7 0
4
1
x
уравнения 5
6
x
x
6
x
x
5
6
1
.13. Найдите корень (или произведение корней, если их
уравнения
несколько)
2
2
x
3
x
14
3
3
x
x
3
3
x
x
9
6
14. Найдите значение выражения
7
, где
0x – корень
уравнения
3
2
x
x
x
15. Решите уравнение 16
16. Решите систему уравнений
x
x x
9
x
4
x
2
y
x
3
1 0
y
3
0
2
x
x
4
0
x
0
6
.
3
2
x
2
0,5
4
17. Решите уравнение
18. Модуль
1
3
3
x
x
x
2
x
4
x
разности
x
x
3
1) 4 5
4) 2
5) 0
равен
28
1
3
2) 2 53
2
y
x
1
4
2
17
x
x
корней
2
15
x
уравнения
3) 2 5
53
2
1
19. Решите уравнение
20. Укажите множество всех значений параметра а, при которых
1
3
3
1
x
x
x
x
.
6
2
3
3
6
уравнение
x a
x
256
x
0
имеет единственное
решение.
0;
1)
4)
; 0
4
2)
4
5)
4;4
3)
; 0
21. Укажите целое значение параметра
(если оно
единственное) или сумму целых значений из промежутка
имеет
, при которых уравнение
2 2
x a
1; 9
а
0
x
единственное решение.
22. Найдите сумму корней (или корень, если он единственный)
уравнения 3 5
x
24
2
x
.
9
923. Если
2
x
2
0x
3
4
x
2
3
x
–
6
x
x
0
значение выражения
x
2 2
7
2
18
021
x
2005
2
sin
корень
2
x
уравнения
то чему равно
,
?
Ответы «Иррациональные уравнения»
1
5
2
2
3
3
4
4
5
1
6
2
7
2
8
5
9
1
10
–12
11
1
2
– ¾ 6
1
3
–
2
14
–10
15
1,7
5
1
6
2;
7
18
3
17
1,2
5
19
2
20
D
21
7
22
8
23
–3
Комментарии к задачам
9. Сразу возводить в квадрат и решать уравнение четвертой степени
нецелесообразно. Т. к.
4
x
3
2
x
2
x
2
x
x
2
, то исходное уравнение
можно переписать в виде
2
x
2
x
11
2
2
x
x
4
. Сделаем заменуt
2
x
x
и решим уравнение
t
2 11 2
t
4
. Возведем в квадрат
обе части равенства при дополнительном условии 2
t :
4 0
2 11
2
t
t
2
4
, 2
t
2
11 4
t
16
t
16
,
23
t
16
t
, 1
5 0
t , 2
5
1
t .
3
1
t
2
3
не удовлетворяет дополнительному условию
t ,
2
следовательно
t .
5
2
x
x ,
5
2
x
x
. Т.к. дискриминант
5 0
положительный, то уравнение имеет два корня, произведение
которых по теореме Виета равно –5.
14.
По
определению
модуля
получаем
x
2
16 (
x x
2) 9
x
4
x
16 (2
2
x
3
) 9
x
x
4
3
.
Решим первую систему:
x
16
2, 4
x
2
x
32
3 0
x
9 16
2
x
24
x
9
, отсюда
получаем
x
0
x
2
. Нет решений.Решим вторую систему:
x
16
x
2, 4
x
2
32
3 0
x
9 16
2
x
24
x
9
, отсюда
получаем
0 или
x
7
4
.
Следовательно,
7
x .
4
x
x
2,
x
3
4
2
y
3
x
1
y
0
0, 5
2
y
1
x
15. ОДЗ данной системы:
x
0, 2
y
3
. Первое уравнение
x
0
запишем в виде
2
y
3
x
y
1
2
y
y
1 0
3
x
y
2
y
y
1
2
1
.
3
x
2
y
1
Домножим второе уравнение системы на 2 и возведем в квадрат:
2
y
1
4
x
. Приравнивая левые и правые чисти равенств, найдем,
что
3
x
4
x
, откуда
x
0,
x
2,
x
. Последний корень не
2подходит по ОДЗ. При х=0
y . Значит
2 1 0
x
2
и
y
y
1
2
1 8
y
7
.
16.
x
2
2
4
x
17
x
2
15
x
.
1) Если
x ,
2 0
тогда
24
x
17
x
, значит 1
15 0
5
4
x ,
x . Число 3 не удовлетворяет
2
3
условию
x . 2) Пусть
2 0
x , тогда
2 0
24
x
17
x
15
2 2
x
и уравнение корней не имеет, т.к. его правая часть принимает
отрицательные значения.
17. Решая неравенство
x
x
1
3
0
, находим ОДЗ уравнения:
x
1 и
x
. На ОДЗ имеем
3
3(
x
3)
x
x
1
3
3
1
x
x
3
при
3x и
3(
x
3)
x
x
1
3
3
1
x
x
3
при
x
1
. В результатеисходное уравнение равносильно совокупности систем
x
3
3
x
x
1
3
x
1
3
x
1
x
3
x
3
1
x
28 0
.
x
3
1
x
28 0
Используя подстановку
t
x
3
,
1
x
найдем решения
x
1 1
53
,
x
2
1 2 5
.
19. ОДЗ данного уравнения
x
x
1
1
. Заметим, что при замене х
на –х уравнение не изменяется, следовательно, достаточно решить
уравнение на первом интервале, и в силу симметрии найти
оставшиеся
корни.
При
1x
имеем
3
x
1
6
2
1 ,
x
3
x
1
6
x
2
1 ,
6
x
2
1
6
x
2
1
;
6
2
1
x
6
x
2
1
6
3
x
1
1
x
6
x
2
1
;6
2
1
x
6
3
x
1
x
,
0
1
6
1
x
6
3
,
1
0
x
x . Значит,
2
уравнение имеет корни 2 .
20. ОДЗ данного уравнения
x . Произведение равно нулю, когда
0
один из множителей равен нулю:
x
a
256
x
x
a
x
x
16
0
. С учетом
ОДЗ уравнение имеет корень
x . Исходное уравнение имеет
16
единственное решение, если первое уравнение совокупности не
имеет корней на ОДЗ, или он совпадает с полученным, т.е. при
; 0
a
4
.
21. ОДЗ данного уравнения
x . Произведение равно нулю, когда
2
один из множителей равен нулю:
x a
2 2 0
x
0
6
x
x
a
. Исходное
уравнение имеет единственное решение, если второе уравнение
совокупности имеет корни, не принадлежащие ОДЗ, или корень
совпадает с полученным, т.е. при
a
; 2
. Пересекая с
6промежутком
a
1; 9
, находим такие
a
0;1;6
. Их сумма равна
23. При всех действительных х справедливы неравенства
22
x
4
x
3
2
x
2
1
,
1 1
23
x
6
x
7
3
x
2
1
,
2
4
2 2
x
2
3
x
x
2
1
. С учетом этих оценок исходное уравнение
3
равносильно системе
2
2
x
2
3
x
2 2
x
x
4
3 1
6
7
x
1
2
x
3
2
x
.
23. ОДЗ неравенства 2
3x . Оценим на этой области левую и
правую часть неравенства. Очевидно, что
x
2
3
x
. А т.к.
0
1
x и 3 6
1 2
x , то
4
x
1
6
x
, или
x
1
6
x
.
0
Таким образом, при всех значениях х из отрезка 2
3x заданное
неравенство выполняется.
Конспект урока по теме.doc
