Использование метода вспомогательной окружности при решении планиметрических задач.

Использование вспомогательной окружности при решении планиметрических задач.     Суть метода заключается в том, что при решении планиметрических задач, когда  требуется установить связь между данными и искомыми величинами, нередко полезно  около треугольника или четырехугольника описать окружность, после чего эти связи  становятся более ощутимыми или даже очевидными. Знания, используемые для  применения данного метода. 1) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.  2) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 3) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой. 4) Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых  расположена внутри этого угла, а другая – внутри угла, вертикального к данному. 5) Угол, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает  окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг, заключенного внутри угла. 6) Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания,  измеряется половиной дуги, заключенной внутри этого угла. 7) В любой треугольник можно вписать окружность и притом единственную. 8)  Около любого треугольника можно описать единственную окружность. 9)  В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180º. 10)  Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180º, то около него  можно описать окружность. 11)  Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать  окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей. 12)  Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобокая. Рассмотрим задачи. 1. В треугольнике АВС проведена высота СК. Найти длину отрезка, соединяющего точку К с серединой АС, если АС = 12см. Решение: Проведем высоту АМ, тогда углы АКВ и АМВ равны по 900 , значит  точки А, К, М, В лежат на одной окружности и АВ – диаметр. Точка О – середина АС по  условию Следовательно, АО = ОВ = КО = r = 6 см. Ответ: 6см 2. Задача ЕГЭ. Из вершин В и С треугольника АВС к его сторонам АВ и АС соответственно проведены  перпендикуляры, пересекающихся в точке D. Найдите длину стороны Ас, если известно, что угол  α  , а расстояние от точки А до прямой ВС   ACD ABD  0 90  90 0 АВС острый, угол ВАD равен  равно а.  Решение. Поскольку  , то по  известному   признаку четырехугольник ACDB – вписанный (рис.1).  Поэтому равны углы BCD и BAD, опирающихся на одну и ту же дугу  окружности, описанной около четырехугольника ACDB, и значит, ACB 900  .  АК , АК АК  sin  Из прямоугольного треугольника КАС (  по условию равно а) находим, что a cos  ВС  180 0 a 0 90   ) . a   АС  ACK sin( Данный метод может быть полезен  в более сложных задачах огэ, егэ, решение которых  упрощается применением этого метода.