Изучение темы " Свойства логарифмов, логарифмические функции, уравнения и нервенства" с применением элементов модульной технологии. 10-11 классы, математика

Уроки 3­4 .    Тема  « Свойства логарифмов» Цели: Образовательные:  научиться применять свойства логарифмов для преобразования выражений, содержащих логарифмы развитие навыков самостоятельной работы;       формирование вычислительной культуры;                        Воспитательные:      развитие познавательного интереса;   развитие интеллектуальных способностей учащихся;                                                                                                                                                                   развитие логического мышления. Развивающие:  развитие мотивации учебной деятельности. развитие памяти, внимательности;    формирование  познавательной деятельности;  расширение математического кругозора Тип урока:  комбинированный модульный урок Оборудование:    мультимедийная установка; демонстрационная программа PowerPoint;                    Урок сопровождается компьютерной презентацией. Раздаточный материал: а) карточки «Логарифм­лото»; б) опорная схема модуля Ход урока: І. Экспресс­контроль (10 минут) по проверке выполнения домашней работы Учащимся предлагается двухвариантная самостоятельная работа, проверяющая уровень усвоения темы предыдущего урока «Определение логарифма.  Основное логарифмическое тождество» № 1 Вариант 2 При каких значениях х имеет смысл  При каких значениях х имеет смысл  Вариант 1 Вычислите:    72log716 log279 Вычислите: log1 2 Вычислите:   log39 2 3 4 Вычислите:    52log5 20            Вычислите:              Вычислите:  log84 log1 3 log5125 выражение? х−5 log2 х+7 выражение? х+3 log3 х−4 5 Решить уравнение: Решить уравнение: 82х−1  =5 Матрица ответов для быстрой проверки: № 1 2 Вариант 1 256 2 3 ­ 1 х ¿−7;х>5 91−3х  =4 Вариант 2 400 2 3 ­ 1 х ¿−3;х>4 3 4 5 2 1 2 (1+log85) х =  1 3 (1−log94) х =  ІІ. Объяснение нового материала ( презентация) с полным разбором и доказательствами ( 35 минут) При работе с логарифмами применяются следующие свойства: для любого а ¿0,а≠1   и любых положительных в и с выполняются равенства: № 1 Доказательства По определению логарифма: а0 = 1 По определению логарифма: а1 = а Свойства logа1 =0 logаа = 1 Применение log31 =0; log33 = 1; log0,21 = 0; log1 2 1 2 = 1 3 4 logавс = logав + logас logа в с = logав - logас log315 = log35∙3 = log35 + log33 = log35 +1 log315 = log35∙3 = log35 + log33 = log35 +1 Применим основное тождество В = аlogав и с = аlogас Перемножим: в∙с = аlogав ∙ аlogас = = logав+¿ logас а¿ По определению логарифма: logавс = logав + logас Логарифм произведения равен сумме логарифмов Разделим в на с:   :  аlogас   == Применим основное тождество В =  аlogав    и   с =  аlogас в с  =  аlogав logав−¿ logас а¿ По определению логарифма: logа logав - в с = logас Логарифм частного равен разности логарифмов logавp = p∙ logав (p ∈R¿ в =  аlogав ∈R¿ . .  Возведём обе части в степень p (p В частности: logааp = p 1) 2) если p- чётное число, то: logавp = p∙ logа|в| 5 Формула перехода к новому основанию logав= logсв logса В частности при в=с имеем: logав= 1 logва а вp  =  (¿¿logав)p  =  ap∙logав ¿ По определению логарифма: logавp = p∙ logав Логарифм степени равен произведению показателя  степени на логарифм основания степени аlogав  =  В .  Прологарифмируем обе части по основанию с:  logсаlogав  =  logсв ,  далее вынесем показатель степени: logав∙logса  = logсв ,    отсюда: logав= logсв logса log581 = log53❑ Вычислить log23 =а Решение: log2 log534 = = 4∙ log2 3√ 3 4 , если 3√ 3 4 = 3 4 1 3 ¿ log2 ¿ = 1 3 ∙ log23−log2¿= 1 3 (а−2) 3 4 4 ¿ ¿= 1 3∙¿ ¿ log2 ¿ log7х = log5х log57 = = lgx lg7 log37= 1 log73 6 7 8 logаnbm = m n logав logаnbm = m∙ loganb = m∙ 1 logban = log3√2 6√32 = log 2 5 6 = = 2 1 3 аlogсв=вlogса при  а ¿0,в>0,с>0, с≠1 а√logав = в√logва m n 1 logba = m n logав Прологарифмируем обе части по основанию с: logсаlogсв  =  logсвlogса Далее вынесем показатели степени вперёд, получаем logсв ∙ верное равенство: logса  = logса ∙ logсв Следовательно, исходная формула верна Прологарифмируем обе части по основанию а  (или в) logаа√logав  =  logав√logва Далее показатели вынесем вперёд: √logав ∙ 1 = √logва  ∙ logав  = =2,5 2=¿ 5 2 5 6 1 3 3log78=8log73 log2¿ 3√log3 5 = 5√log53 в logа¿ ¿ ¿2 ¿ а∙¿ logв¿ √¿ =   = √logав получаем верное равенство следовательно, исходная формула верна В процессе доказательств  свойств логарифмов, параллельно начинаем составлять  ОПОРНУЮ СХЕМУ модуля «Логарифмическая функция, уравнения,  неравенства». На партах для каждого ученика   приготовлены заготовки для ОПОРНОЙ СХЕМЫ.             ОПОРНАЯ СХЕМА МОДУЛЯ «Логарифмическая функция, уравнения, неравенства» logав= logав – logа в с = logавp = =p∙ logав logсв logса Неравенства ТИП МЕТОД РЕШЕНИЯ а√logав = в√logва logа1 =0 1 2 3 4 5 logаа = 1 logавс = ¿logав + logас Уравнения МЕТОД РЕШЕНИЯ ТИП 1 2 3 4 5 logас функция аlogсв=вlogса logаnbm = m n logав Остальные ячейки ОПОРНОЙ СХЕМЫ будут заполняться по мере изучения МОДУЛЯ на последующих уроках ІІІ. Учебная деятельность по закреплению свойств логарифмов: (30 минут) На каждом столе для учащихся приготовлены задания (столбик №1), для быстрой проверки  для учителя­матрица решений и ответов (столбик №2) К доске приглашаются учащиеся, задания разбираются с полным обоснованием   1 2 3 4 5 6 7 № Вычислите: log7196  ­ 2 log72 10lg2+lg3 16 27+log318 log372−log3 log3 2log 1 5 1 125 log224 log962 − log2192 log122 32+27log34 log2¿ ¿ ¿ ∙¿ 3 7 log7196−log74=log7 Решения и ответы 196 4 =log749=2 10lg6=6 log3 72∙18 16 27 =log3 72∙18∙27 16 =log3 32∙8∙32∙2∙33 16 =log337=7 log3 23  =  log3 ¿ 3 ¿ ¿  =  12  = 1 log224∙log296−log2192∙log212=log212∙2∙log296−log2¿ 96∙2∙log212=¿ 12+1 log2¿∙log296¿  – ( = ( log296  +1) ∙log212=log296−log212=log2 96 12=¿ ¿log28=3 3 7 ∙(5+64)log6914=3 7 ∙69log 6914=3 7 ∙14=6 Известно, что lg2 =а,  Найти lg56 log27=в .   log27=lg7 lg2=lg7 a =b .    lg7 = ab.  Тогда lg56 = lg7 ∙8=lg7+lg8=ab+3a 8 9 Известно, что lg5 = a.   lg3 = b.  Найти  log308 Сначала найдём lg2 =  lg10 5 =lg10−lg5=1−a Тогда   log308  =  lg8 lg30= 3lg2 lg2+lg3+lg5= 3(1−a) 1−a+b+a=3(1−a) 1+b log34∙log45∙log57∙log79 lg4 lg3 ∙lg5 lg4 ∙lg7 lg5 ∙lg9 lg7=lg9 lg3=2lg3 lg3 =2 ІѴ. Рефлексия. Логарифм­лото. Решение ­   10 минут, проверка и оценивание – 3минуты Учащимся предлагаю  конверты с карточками с заданиями на свойства логарифмов и ответами на отдельных миникартах. . Дети решают задания,  выбирают на миникартах нужный ответ, закрывают задание «рубашкой» вверх. По мозаике  на «рубашках» миникарт учитель одним взглядом проверяет  правильность выполнения и оценивает работу.   Примеры карточек: log216 73log7 2 Логарифм­лото­1 102+lg0,4 log4log381 log3684−log3614 log32∙log43∙∙∙log109 lg2+lg5 3log√ 36                                                                                                    Логарифм­лото­2 log5 1 125 49log72 102+lg2 log3log3 3√3√3 log9180−log920 log76∙log649 lg2+lg50 11log1219 log2128 112log11 7 Логарифм­лото­3 102+lg0,8 log4log5√625 log√5125−log√55 log34∙log45∙log57∙log79 lg20+lg50 7log√ 73 . Ѵ Задание на дом. ( 2 минуты) № 1 2 3 4 5 6 7 Вычислите: 1 2 ∙log3 4 81− 1 3 log3 8 27 log13 5√169 log34349 log2 3 0,25 ∙(1+4log 25)log26 4 log76∙log649 Известно, что  logва=1,вычислитеlogа3в 3√а2в Вычислите:  81log27 5∙log 54 Ответы ( учителю для проверки) ­ 1 0,4 1 1 2 0,25 3√4 4 8 Дополнительное задание по повторению: Укажите все корни уравнения sin2x + √3  cosx = 0, принадлежащих отрезку  [−π;2π] ­  π 2 ; ­  ;3π π 2 2 2π 3  ;  ­  ;5π ;4π 3 3 π 3  ;