КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

А.О. Ерофеева

Балашовский институт (филиал)

ФГБОУ ВО «СГУ имени Н.Г. Чернышевского», г. Балашов

A.O. Erofeeva

Balashov Institute of Saratov State University

Balashov

E-mail: erofeevaaaaa@mail.ru

КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

COMBINATORIAL PROBLEMS IN MATH LESSONS IN GRADES 5-6

АННОТАЦИЯ: В статье рассмотрены примеры решения комбинаторных задач в курсе математики  5-6 классов методом перебора.

ABSTRACT: The article considers examples of solving combinatorial problems in the course of mathematics of grades 5-6 by the method of iteration.

КЛЮЧЕВЫЕСЛОВА: комбинаторика, комбинаторные задачи, метод перебора.

KEYWORDS: combinatorics, combinatorialproblems, method of sorting

Комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач по выбору и расположению элементов некоторого конечного множества в соответствии со строго определенными правилами.

В повседневной жизни довольно часто встречаются задачи, имеющие несколько различных вариантов решения. Решая такую задачу, чтобы сделать правильный выбор, важно постараться не упустить ни один из вариантов. Для этого необходимо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или уметь подсчитать их общее число. Задачи, которые требуют такого решения, и называются комбинаторными.

Л.П. Стойлова выделяет несколько этапов освоения способов решения комбинаторных задач:

1. Решение комбинаторных задач методом перебора с использованием различных способов записи возможных вариантов.

 2. Процесс решения задач несколько формализуется, появляется правило суммы и произведения.

3. Рассматриваются некоторые виды комбинаций, число которых подсчитывается по формулам [4].

Элементы комбинаторики появляются в начале ступени основного общего образования. Как правило, комбинаторные задачи, представленные в учебниках математики 5-6 классов, решаются методом перебора различных вариантов возможных событий, с использованием таблиц и графов при подсчете способов распределения.

Рассмотрим несколько примеров задач, которые наиболее часто встречаются в курсе математики 5-6 класса.

Пример 1. Одноклассницы Оля, Валя и Катя дежурят по школе. Сколькими способами классный руководитель может расставить девочек по одной на каждом из трёх этажей школы? [3]

Решение: Необходимо представить варианты в виде дерева вариантов или оформить решение с помощью таблицы.

Таблица 1 – Решение примера 1.

В результате вышло шесть вариантов распределения дежурства по школе.

Ответ. 6 вариантов.

Пример 2. В футбольном турнире участвуют команды 5 «А» класса, 5 «Б» класса и 5 «В» класса. Сколько существует способов распределения первого и второго мест среди этих команд? [3]

Решение: Представляя решение с помощью таблицы, получаем 6 вариантов распределения первого и второго места.

Таблица 2 – Решение примера 2.

Ответ. 6 вариантов.

Пример 3. Чтобы запереть чемодан с кодовым замком, нужно ввести код, состоящий из двух каких-либо цифр. Хозяин чемодана решил использовать только цифры 1, 2 и 3. Сколькими способами он сможет выбрать код? [2]

Решение. В данном случае наиболее целесообразен будет «код по возрастанию», чтобы не пропустить ни одного варианта кода. На цифру 1 будут выходить следующие варианты кода: 11, 12, 13. На цифру 2: 21, 22, 23. На цифру 3: 31, 32, 33. Таким образом, выбрать код можно 9 способами.

Ответ. 9 способов.

Пример 4. При встрече восемь приятелей обменялись рукопожатиями. Сколько всего было рукопожатий? [2]

Решение. Необходимо обозначить каждого приятеля от 1 до 8. В результате следует (пара цифр соответствует обмену рукопожатиями с приятелем). При этом имеют место сочетания без повторений.

1) 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18;

2) 23, 24, 25, 26, 27, 28;

3) 34, 35, 36, 37, 38;

4) 45, 46, 47, 48;

5) 56, 57, 58;

6) 67, 68;

7) 78.

Отсюда следует, что количество рукопожатий составляет . Восьмой приятель в вариантах не обозначается, поскольку он уже обменялся со всеми рукопожатиями.

Пример 5. Двух мальчиков и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать? [1]

Решение. Прежде, чем отобрать варианты рассадки, нужно:

1) обозначить мальчиков как  и , а девочек – как  и ;

2) осуществить перебор всех вариантов, что показано на таблице 6.

Таблица 3 – Варианты рассадки мальчиков и девочек за круглым столом

Поскольку, согласно условиям, девочки не должны находиться рядом за круглым столом, то целесообразны следующие варианты рассадки:
; ; ; ; ; ; ; . Итого – 8 вариантов рассадки.

Ответ. 8 вариантов.

Важно отметить, что комбинаторные задачи являются мощным средством развития у учащихся логического мышления. Переход от практических действий с реальными объектами к мыслительным действиям способствует развития мышления от наглядно-действенного к наглядно-образному. Так, использование метода перебора, перечисление при этом всех возможных вариантов решения, способствуют развитию таких мыслительных операций, как сравнение, анализ, синтез, обобщение.

Решение комбинаторных задач требует четкости и последовательности рассуждений, вариативности, гибкости и глубины мышления. Наряду с развивающим потенциалом, задачи, связанные с подсчетом комбинаций, вызывают живой интерес и мотивируют обучающихся к изучению математики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.                 Математика. 6 класс: учеб. / С.М. Никольский [и др.]. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с. – ISBN: 978-5-09-046612-7.

2.                 Математика. Арифметика. Геометрия. 5 класс: учеб. / Е.А. Бунимович [и др.]. – М.: Просвещение, 2019. – 223 с. – ISBN: 978-5-09-072182-0.

3.                 Мерзляк, А.Г. Математика. 5 класс: учеб. / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир; под ред. В.Е. Подольского. – М.: Вентана-Граф, 2019. – 301 с. – ISBN: 978-5-360-06876-1.

4.                 Стойлова Л.П. Математика: учебник для  студ. Высш. Пед. Учеб. Заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 424с.