Компьютерное моделирование

Компьютерное моделирование

Имитационное моделирование – исключительно компьютерное моделирование – исследование свойств объекта путем экспериментирования с его компьютерной моделью.
Особо актуально при моделировании сложных технических систем, при отсутствии математической модели системы или объекта, необходимостью получения результатов моделирования к определенному сроку, необходимостью моделировать действие случайных факторов.

Область применения имитационного моделирования:
Моделирование систем и сложных систем;
Стохастическое моделирование;
Алгоритмическое моделирование;
Моделирование систем массового обслуживания.

Моделирование систем.
Модель системы отражает взаимодействие между элементами системы и взаимодействие всей системы с окружающей средой.
Модели систем строятся по блочно-иерархическому принципу: используются модели элементов, модели подсистем и т.д.
Моделируются общесистемные процессы.
При моделировании сложных систем процессы в элементах системы не рассматриваются.
Модели элементов строятся формально, отображают связь между выходом и входом - модели типа «черный ящик».

Модели элементов строятся по принципу «черный ящик» вследствие необходимости получить информацию о свойствах системы при оптимальном уровне затрат на проведение экспериментов.
Модель «черный ящик» - это формальная математическая зависимость между входным воздействием X и реакцией элемента Y.



Y=F(X)

Модели типа «черный ящик» получаются методами математической статистики (метод регрессионного анализа).

Пусть для некоторого объекта проведена серия экспериментов, в которых для разных значений входного параметра х путем измерений установлены соответствующие значения выходного параметра у.

Результаты экспериментов представлены в таблице:

Алгоритм построения регрессионной модели.
Выбирается класс функций (линейная, многочлен, логарифмическая и т.п.), на основе которого может быть построена зависимость между х и у.
Методом наименьших квадратов определяются параметры функции:



Поверяется достоверность полученной модели на основе коэффициента детерминации:

Одна из областей применения регрессионных моделей:

Математическая модель объекта построена, но не все параметры модели можно определить прямыми измерениями, однако объект хорошо наблюдаем при испытаниях и в экспериментах.
В экспериментах можно получить данные о свойствах, по которым определить (идентифицировать) параметры модели.

Алгоритмическое моделирование – это моделирование функционирования объектов на основе алгоритма их работы.
Пример алгоритмической модели – клеточные автоматы. Задается алгоритм смены состояний для каждой клетки (например, закрашенный/не закрашенный), задается ряд правил. Особенность: результат имеет абсолютно точный характер.

Области применения клеточных автоматов

Применяются для моделирования систем, в которых важную роль играет пространственное взаимодействие между элементами:- системы телекоммуникации;
- анализ явлений переноса в физике (теплопроводность, диффузия, вязкость);
- модели распространения вирусов, микроорганизмов;
- металлургия;
- и др.

Компьютерное моделирование

Особенность стохастического моделирования:
Многократное повторение модельных экспериментов с целью получения статистики о свойствах системы.

В результате стохастического моделирования для параметров объекта должна быть получена оценка математического ожидания, дисперсии и закона распределения случайной величины.

Вероятность – частота проявления события в N испытаниях, при N → ∞: P=m/N, m – количество реализаций события.

Пусть Pa – вероятность события А, 0≤ Pa≤1.
Если событие А не произошло, то произошло противоположное событие неА :

Моделирование случайного события.
Требуется построить модель события А, которое происходит с вероятностью Pa.

Используется датчик случайных чисел с равномерным законом распределения: Randomize (Rnd) → Xi. 0<=Xi<=1.

Если Rnd дает значение Xi<= Pa., то событие А произошло, в противном случае произошло событие неА.

Моделирование полной группы событий.
Группа несовместных событий называется полной, если при испытаниях только одно событие произойдет обязательно.

Пусть имеются события А, В, С, которые происходят с вероятностями РА, РВ, РС события образуют полную группу:

Алгоритм моделирования:
Rnd → Xi

0 ≤ Xi ≤ PA – произошло событие А;

PA< Xi ≤ PA+PB – произошло событие B;

PA+PB < Xi ≤ 1 – произошло событие C.

Моделирование совместных событий.
Заданы два события А и В с вероятностями РА и РВ.
События могут происходить совместно, но независимы. Существует 4 варианта реализации событий, они образуют полную группу:


Вероятность реализации комбинаций:
РА РВ РА(1-РВ) РВ(1-РА) (1-РА)(1-РВ).
Задача сводится к моделированию полной группы событий.

Моделирование состояния автомобиля
P0 – вероятность исправности в начальный момент;
P1 – вероятность поломки автомобиля;
P2 – вероятность возврата к работе через сутки.

Компьютерное моделирование

Пусть исходная информация о свойствах объекта, полученная в ходе экспериментов, представлена таблицей. Здесь - y зависимый параметр, а xi -факторы, определяющие, по мнению исследователя, свойства объекта, т.е. значение параметра y.

Задача корреляционного анализа – выявление значимых факторов, которые определяют свойства объекта. Выявление и исключение малозначимых и взаимозависимых факторов.

Анализ выполняется с использованием корреляционной функции Rxy (КОРРЕЛ).

Корреляционная функция устанавливает факт наличия взаимозависимости между двумя случайными величинами. Может принимать значение в пределах [-1;1].

Rxy=0, то связи между случайными величинами не существует.
Rxy=1(-1) – жесткая детерминированная связь между x и y.

На основе таблицы экспериментальных данных строится корреляционная матрица.

Алгоритм корреляционного анализа:
Заполнение корреляционной матрицы.

Выявление малозначимых факторов.
Если |Rxiyj|≤|0,3| - фактор xi слабо влияет на y и его можно исключить.

Выявление взаимосвязанных факторов.
Если |Rxixj|≥|0,7|, то xi и xj взаимосвязаны и следует исключить один из факторов.

В результате проделанного анализа размерность модели (число факторов) существенно снижается.

Компьютерное моделирование

Планирование эксперимента необходимо в тех случаях, когда свойства изучаемого объекта зависят от большого количества факторов, т.е. в тех случаях, когда невозможен однофакторный эксперимент.

Цель – сократить количество экспериментов до минимума и при этом получить результаты достаточные для построения регрессионной модели.
Пусть некоторое свойство объекта y=f(x1, x2, …, xn) зависит от ряда факторов: x1,x2, …, xn.
Модель строится в виде зависимости:

y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b23x2x3+b13x1x3+b123x1x2x3

Суть полного факторного эксперимента (ПФЭ), заключается в том, что все факторы варьируются в эксперименте одновременно.
Для исследования влияния k факторов на m уровнях, требуется выполнить mk опытов.

В теории планирования эксперимента доказано, что при выборе зависимости, включающей только линейные члены и произведения, то в эксперименте достаточно использовать для каждого фактора только два варианта значений, если К=3 (число факторов), то для определения всех параметров достаточно провести 23 экспериментов:

При проведении экспериментов все факторы изменяются одновременно.
Представим факторы в безразмерном виде:
xi – фактор, xi0 – базовая точка (значение), Δxi – шаг вариации



Вместо xi будем использовать безразмерные значения:

y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b23x2x3+b13x1x3+b123x1x2x3

Матрица планирования эксперимента

Расчетные формулы для коэффициентов модели ПФЭ:

Компьютерное моделирование

Примеры систем массового обслуживания

Основные компоненты и параметры СМО
Источник заявок.
Мощность источника заявок.
Заявка на обслуживание.
Интервал времени между поступлением заявок.
Длина очереди.
Дисциплина очереди.
Поведение клиента в очереди.
Время обслуживания заявки.
Количество устройств обслуживания.
Поток обслуженных заявок.

Этапы имитационного моделирования системы массового обслуживания:
Генерация случайных величин с равномерным законом распределения xi.
Преобразование в случайные величины с необходимым законом распределения i.
Определение моментов времени поступления заявок на обслуживание, времени обслуживания, потока обслуженных заявок;
Моделирование функционирования системы в целом с накоплением статистических данных о процессе обслуживания;
Определение показателей качества функционирования системы путем обработки результатов моделирования.

Цель исследования системы массового обслуживания - выбор оптимальных параметров системы по некоторому критерию.

При моделировании СМО определяются:
Вероятность отказа в обслуживании;
Среднее время ожидания в очереди;
Средняя длина очереди;
Оптимальное количество узлов обслуживания и т.п.
Рассмотрение процесса обслуживания отдельно взятой заявки не представляет интереса.