Конспект урока по алгебре по теме «Формула корней квадратного уравнения» 8 класс

Урок № 45

Класс: 8

Учитель: Мосягина Ольга Эдуардовна

Тема урока: «Формула корней квадратного уравнения»

Цель урока: закрепление и обобщение знаний учащихся полученные при изучении темы: «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения».

Задачи урока:

1. Воспитательные: воспитание интереса к предмету путем вовлечения в игровую деятельность и работу с компьютером; воспитание познавательной активности, упорства, целеустремленности, усердия в достижении цели, аккуратности; формирование навыков самоконтроля и взаимоконтроля; воспитание культуры труда.

2. Развивающие: развитие умения организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками; умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения; умения анализировать свою деятельность, делать самостоятельные выводы; развитие внимания, мышления, памяти, самостоятельности; развитие творческой и мыслительной деятельности учащихся, речи, смекалки, развитие математически грамотной речи; пополнение словарного запаса; расширение кругозора.

3. Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся полученные при изучении темы. Выработка умений и навыков по решению квадратных уравнений различного вида разными способами. Выработка умения выбрать нужный рациональный способ решения.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, умений, навыков.

Формы работы на уроке: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Оборудование урока: компьютер, приложение Skype, презентация Microsoft Office PowerPoint.

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверка подготовленности учащихся к занятию.

Приветствие учителя и учащихся.

– Здравствуйте, ребята! Здравствуйте, уважаемые гости!

Сегодня у нас с вами необычный урок и начать его я хочу с вопроса.

(слайд) На экране уравнение

22х² + 12х + 2022 = 0

Определите вид данного уравнения?

Назовите его коэффициенты?

О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата проведения урока: 22.12.2022)

– Откройте тетради и запишите сегодняшнее число, классная работа.

II. Мотивация учебной деятельности учащихся и сообщение темы, целей и задач урока.

(слайд) – Тема сегодняшнего урока: «Формула корней квадратного уравнения». И сегодня мы с вами обобщим и систематизируем знания по этой теме.

(слайд)

ΙIΙ. Проверка домашнего задания.

2 ученика комментируют выполнение домашнего задания, учащиеся на местах сверяют домашнее задание в тетрадях, если правильно ставят знак «+», если нет – знак «–».

        №137

            1)         2)               

Тем временем класс работает устно.

ΙV. Воспроизведение, актуализация, коррекция опорных знаний.

Фронтальная работа.

(слайд) Повторим?

Экспресс-опрос:

1.      (слайд) Какие уравнения называются квадратными?

2.      (слайд) Как называют коэффициенты квадратного уравнения?

3.      (слайд) Как вы считаете, на какой из коэффициентов накладывается ограничения и почему? (а ≠ 0).

4.      (слайд) Какие виды квадратных уравнений вы знаете?

5.      (слайд) Какие квадратные уравнения называются неполными? (если один из коэффициентов в и с или оба равны нулю).

6.      (слайд) Сколько видов неполных квадратных уравнений существует? Назовите их.  (3; 𝑎 +𝑏х = 0; 𝑎 +𝑐 = 0; 𝑎 = 0).

7.      (слайд) Какие квадратные уравнения называются приведенными? (а = 1).

8.      (слайд) Как решаются неполные квадратные уравнения?

9.      (слайд) Как решаются полные квадратные уравнения?  

10.  (слайд) Как решаются приведенные квадратные уравнения?

11.  (слайд) Как решаются приведенные квадратные уравнения, если р – четный?

12.  (слайд) Всегда ли квадратное уравнение имеет корни? (нет, не всегда).

13.   (слайд) От чего зависит количество корней? (от дискриминанта).

14.   (слайд) Как находят дискриминант? (D = в²  - 4ас).

15.   (слайд) Если D > 0, сколько корней имеет уравнение?

16.   Если D = 0, сколько корней имеет уравнение?

17.   Если D < 0, сколько корней имеет уравнение?

18.   (слайд) Назовите математика, доказавшего, что сумма корней приведенного квадратного равнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение – свободному члену.  (Франсуа Виет).

19.   (слайд) Всегда ли можно применять теорему Виета? (нет, только когда 𝐷 ≥ 0).

20.   (слайд) Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета (если числа m и n таковы, что 𝑚 +𝑛 = − 𝑝, 𝑚 ∗ 𝑛 = 𝑞, то они являются корнями уравнения   + 𝑝х + 𝑞 = 0).

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.

21.   (слайд) Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?

Ответы учащихся: Используются чаще при решении квадратных уравнений и считаются стандартными следующие методы:

•                     Решение квадратных уравнений по формулам

•                     Теорема, обратная теореме Виета

•                     Графическое решение уравнений

•                     Разложение левой части на множители

•                     Выделение полного квадрата

Но нами рассмотрены еще не все методы решения квадратных уравнений:

К нестандартным методам относится:

•                     Свойства коэффициентов квадратного уравнения

•                     Решение способом переброски коэффициентов

•                     Решение квадратных уравнений, с помощью циркуля и линейки.

•                     Решение с помощью номограммы

•                     Геометрический способ

Но это предмет нашего дальнейшего изучения.

 (слайд) Укажите, что является «лишним» и почему?

              А) 2х² – х = 0                                      Б) х² – 5х +1 = 0

                   х² – 16 = 0                                           9х² – 6х +10 = 0

                   4х² + х – 3 = 0                                     х² + 2х – 2 = 0

                   2х²  = 0                                                 х² – 3х – 1 = 0                                  

А. 3) – лишнее, т.к. это полное квадратное уравнение, а 1), 2), 4) – неполные квадратные уравнения.

Б. 2) – лишнее, т.к. это уравнение общего вида, а 1), 3), 4) – приведенные квадратные уравнения

(слайд) Назовите коэффициенты квадратного уравнения:

А) х² – 7х + 14 = 0          а = 1, в = – 7, с = 14,

Б) 3х² – 62 = 0                 а = 3, в = 0, с = – 62,

В) – х² + 15 = 0                а = – 1, в = 0, с = 15.

(слайд) Составьте квадратное уравнение, если:

А) а = 1, в = 4, с = – 11           х² + 4х – 11 = 0.

Б) а = 17, в = 0, с = 8              17х² + 8 = 0.

В) а = – 3, в = 5, с = 0             –3х² + 5х = 0.

V. Обобщение и систематизация учебного материала.

a)      Самостоятельное выполнение обучающимися заданий под контролем и с помощью учителя.

1)      По общей формуле корней квадратного уравнения, через дискриминант.

х_1,2  = .

Решите уравнение:

2x² 5x + 2 = 0.

Решение.

Здесь a = 2, b = 5, c = 2.

Имеем:  = ()² 4×2×2 = 9.

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня.

Найдем их по формуле   

 = ;

     2;

   0,5;

то есть х₁ = 2 и х₂ = 0,5 – корни заданного уравнения.

Ответ: х₁ = 2, х₂ = 0,5.

2)      По теореме, обратной теореме Виета. (если числа m и n таковы, что 𝑚 + 𝑛 = − 𝑝, 𝑚 ∗ 𝑛 = 𝑞, то они являются корнями уравнения  + 𝑝х + 𝑞 = 0).

Пример.

Решите уравнение с применением теоремы, обратной теореме Виета

 − 7x − 8=0. 

Решение.

х₁+ х₂= 7;

х₁х₂= − 8.

Ответ: х₁ = − 1, х₂ = 8.

3)      Выделение полного квадрата.

Пример.

Решите уравнение х² + 6х − 7 = 0.

Решение.

Выделим в левой части полный квадрат: 

х² + 6х  7 = х² + 2 х  3 + 3²  3²  7 = (х + 3)²  9  7 = (х + 3)²  16.

тогда, данное уравнение можно записать так:

                           (х + 3)²  16 =0; 

                                    (х + 3)² = 16;

                                     х + 3 = 4;   или    х + 3 = 4;

                                     х₁ = 1;               х₂ = −7.

Ответ: х₁ = 1, х₂ = −7.

4)      Разложение левой части уравнения на множители.

4х² – 9 = 0       разложим левую часть уравнения

(2х – 3)(2х + 3) = 0;

2х – 3 = 0 или 2х + 3 = 0;

2х = 3;              2х =  3;

х₁ = 1,5;             х₂ = 1,5.

Ответ: х₁ = 1,5; х₂ = 1,5.

b)     Работа в группах.

Создается проблемная ситуация. Вывод делают ученики.

Внимание! Знакомьтесь

856х² – 437х – 419 = 0;

Обратите внимание на коэффициенты.

Такие уравнения мы ещё не решали.

Вызывают ли они затруднения?

Для решения таких задач используем свойство коэффициентов квадратного уравнения. Мы быстро и рационально решим данное уравнение если сможем вывести это свойство и сделать правильные выводы.

Работа с таблицами.

Задания:

1) На прошлом уроке мы с вами уже решили данные уравнения и сейчас я прошу вас заполнить таблицы и сделать выводы.

Таблица 1.

Вывод: Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 сумма коэффициентов равна нулю (а + в + с = 0), то один из корней равен 1, а другой:.

2) Решить уравнения, заполнить таблицу.

Таблица 2.

Вывод: Пусть дано квадратное уравнение ах² + вх +с = 0. Если а – в + с = 0 или в = а + с, то х₁ = –1, х₂ =

Запись в тетрадях.

5)      По сумме коэффициентов квадратного уравнения.

Это ещё один способ решения квадратных уравнений.

Примеры.

1. Выберите уравнения, которые можно решить, используя это свойство?

1) 203х²+220х+17=0;

2) 5x²​−9x+4=0;

3) x²+6x−16=0; 

4) 25х² – 20х – 5 = 0;

5) 2х² – 11х + 15 = 0.

– Чем удобен это способ? (позволяет устно найти корни уравнения).

6)      Графическое решение квадратного уравнения.

   Если в уравнении

         x²  + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

          x²  = – px –  q .

Построим графики зависимостей у = х² и у =   – px –  q .

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.

График второй зависимости – прямая.

 Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.  

Графические способы решения квадратных уравнений красивы и приятны, но не дают 100% гарантии решения любого квадратного уравнения и занимают достаточно много времени.

V. Рефлексия (проговор алгоритма решения квадратных уравнений различного вида разными способами, особенности, как можно проверить себя, на что обратить внимание).

VI. Подведение итогов урока. Сообщение оценок.

 (слайд) Закончи фразу:

— Сегодня на уроке мы обобщили и систематизировали знания по этой теме: «Формула корней квадратного уравнения», выработали умения и навыки по решению квадратных уравнений различного вида разными способами и осознали, как выбрать нужный рациональный способ решения квадратных уравнений.

— Для решения квадратных уравнений мы применяли следующие способы:

По общей формуле корней квадратного уравнения, через дискриминант.

По теореме, обратной теореме Виета.

Способ выделения полного квадрата.

Способ разложения левой части на множители.

Вспомнили графический способ.

Что нового дал урок?

— На уроке был рассмотрен новый способ решения квадратных уравнений — по сумме коэффициентов уравнения.

VII. Информирование учащихся о домашнем задании и инструктаж по его выполнению.

Домашнее задание. Разъяснение Д/з.

Повторить раздел алгебры «Квадратное уравнение и его корни»: п. 21; 22; 23;24 стр. 117-134.

Решить Алгебра 8, стр. 129 - 137

I уровень: №534(ж; з); №580(ж; з);

II уровень: №544(в; г); №582(д; е);

III уровень: № 545 (е; ж); № 589.

Литература:

1.      Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004

2.      Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988, 372с.

3.      Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – м., просвещение, 1990

4.      Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972

5.      Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.

6.      Дидактические материалы по алгебре.

7.      М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

8.      Мордкович, А. Г. Алгебра.8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.-М. : Мнемозина 2011.-260с.

9.      Мордкович, А.Г. Алгебра.8 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович.-М. : Мнемозина 2011.-270с.

10.  Глейзер, Г.И. История математики в школе/ Г.И. Глейзер.-М.: Просвещение, 1982- 340с.

11.  Теорема Виета– Режим доступа: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-fransua-vieta/ (ресурсы удаленного доступа (Internet)). 10.12.2017.

12.  Квадратные уравнения– Режим доступа: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (ресурсы удаленного доступа (Internet)). 10.01.2018.

13.  Скачано с www.znanio.ru