Конспект урока по теме "Решение комбинаторных задач". Алгебра и начала анализа 11 класс

Урок отработки навыков умения решать комбинаторные задачи.

Алгебра и начала анализа

Тема: Решение комбинаторных задач.

Класс: 11

Цели урока:

· Развивать логическое мышление, память, внимание, умение сравнивать и обобщать.

· Развивать умения работать в группе, формировать чувство ответственности за принятое решение.

Задачи урока: Научиться различать виды комбинаторных задач для применения соответствующей формулы для решения.

Ход урока.

1. Организационный момент, постановка целей и задач урока.

2. Повторение алгоритма решения комбинаторных задач.

Справочный материал

	Виды комбинаций	Без повторений	С повторениями
Перестановки	п*ерестановками* из n различных элементов называются размещения из этих n элементов по n	*P_n*=n!
Размещения	*размещениями* из n различных элементов по k элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по k элементов
Сочетания	*сочетаниями* из n элементов по k элементов называется любое подмножество, которое содержит k различных элементов данного множества

3 Решение задач.

Размещения с повторениями

Условие задачи

Решение задачи

1. Каждый телефонный номер состоит из 7 цифр. Сколько существует телефонных номеров, не содержащих других цифр, кроме

2, 3, 5 и 7?

Основное множество: {2, 3, 5, 7}

соединение – семизначный телефонный номер

2233447 ¹ 7443322 Þ порядок важен Þ задана последовательность Þ это либо размещения, либо перестановки. Так как семизначный номер может включать не все элементы основного множества (например, номер 2223332 не содержит цифр 5, 7), а лишь некоторые из них, то это размещения в семи разных местах семи цифр, выбранных из четырех разных цифр с повторениями каждой из них любое число раз, но не более семи.

Ответ: 16384

2. Сколькими способами можно разместить 8 пассажиров в три вагона?

Эту задачу можно рассматривать как задачу о числе распределения среди восьми пассажиров любых восьми выбранных из трех вагонов с повторениями каждого из них любое число раз, но не более восьми.

Ответ: 6561

3. Буквы азбуки Морзе состоят из символов – точка и тире. Сколько букв получим, если потребуем, чтобы каждая буква состояла не более чем из пяти указанных символов?

Число всех букв, каждая из которых записывается одним символом, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается двумя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается тремя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается четырьмя символами, равно .

Число всех букв, каждая из которых записывается пятью символами, равно .

Число букв согласно требованию задачи (по правилу сложения) равно 2+4+8+16+32=62. Ответ: 62

4. Сколько различных 10-буквенных слов можно составить, используя только две буквы: а и b?

Решение: это задача о числе возможностей разместить на 10 различных местах любые 10 букв, выбранных из букв а и b, с повторениями каждой из них любое число раз, но не более 10.

Ответ: 1024

Перестановки с повторениями.

5. Сколькими способами можно расположить в ряд две зеленые и четыре красные лампочки?	Порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: зеленые лампочки – 2 раза, а красные – 4 раза. способов. Ответ: 15
6. Сколько всех семизначных чисел, у каждого из которых цифра 6 встречается три раза, а цифра 5 – четыре раза?	Порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: шестерки – 3 раза, а пятерки – 4 раза. чисел. Ответ: 35
7. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «математика», чтобы получались всевозможные различные анаграммы?	Порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: буква «м» – 2 раза, буква «а» – 3 раза, буква «2», буквы «е», «и», «к» - по 1 разу. способами Ответ: 151200
8. Сколькими способами можно 10 человек разбить на три группы соответственно по 2, 3, 5 человек в группе?	Порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: Р₁₀(2,3,5)=10!/2!^.3!^.5!=2520 Ответ:2520

Сочетания с повторениями.

9. Сколькими способами можно выбрать 4 монеты из четырех пятикопеечных монет и из четырех двухкопеечных монет?	Порядок выбора монет неважен, и примерами соединений могут являться {5,5,5,5}, {2,2,2,2}, {5,2,5,5} и т.д. Это задача о числе сочетаний Ответ: 5
10. В кондитерской имеется 5 разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из 4 пирожных?	Это задача о числе сочетаний из 5 видов пирожных по 4 с повторениями. способов Ответ: 70 Ответ: 70
11. Сколько всего чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?	Это задача о числе сочетаний из 5 цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае ; ; ; ; Согласно правилу сложения: 5+15+35+70+126=251 чисел Ответ: 251
10. Сколько будет костей домино, если в их образовании использовать все цифры?	Число костей домино можно рассматривать как число сочетаний из 10 чисел по 2 с повторениями. костей Ответ: 55

4. Проверка умений решать комбинаторные задачи.

Самостоятельная работа.

1 вариант

1.Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы?

2.Олеся, Оксана и Юля купили билеты на концерт симфонического оркестра на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколько существует способов размещения девочек на эти места?

3. Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе?

4. Из 26 учащихся класса надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

2 вариант

1.У Светланы три юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?

2. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?

3. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

4.Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?

Решение самостоятельной работы.

1 Вариант

1.1 Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы?

Решение: По правилу умножения получаем 5×5=25 способов. Ответ: 25 способов.

2.1 Олеся, Оксана и Юля купили билеты на концерт симфонического оркестра на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколько существует способов размещения девочек на эти места?

Решение: Количество различных способов равно числу перестановок из 3 элементов: Р₃= 3! = 1×2×3 = 6 способов. Ответ: 6 способов.

3.1 Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе?

Решение: Количество сочетаний из 11 по 3 (порядок выбора не имеет значения) равно: . Ответ: 165 способов.

4.1. Из 26 учащихся класса надо выбрать старосту и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Из 26 учащихся выбираем 2, причём порядок выбора имеет значение. Количество способов выбора равно . Ответ: 650 способ

2 Вариант

1.2 У Светланы три юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?

Решение: По правилу умножения получаем: 3×5=15 Ответ: 15 комбинаций.

2.2 Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?

Решение: Четыре друга могут занять 4 разных места Р₄=4!=1×2×3×4=24 различными способами. Ответ: 24 способа.

3.2. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка: способов.

Ответ: 210 способов.

4.2 Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 13 участниками конкурса?

Решение: Выбираем трёх призёров из 13 участников конкурса с учётом порядка (кому какая премия): способов. Ответ: 1716 способов

5.Домашнее задание №86,89,90 стр. 177

А лгебра и начала анализа Тема :

Основное множество: {2, 3, 5, 7} соединение – семизначный телефонный номер 2233447 ¹ 7443322 Þ порядок важен Þ задана последовательность Þ это либо размещения, либо…

Порядок важен и в соединении участвуют все элементы без исключения: шестерки – 3 раза, а пятерки – 4 раза

Сколько будет костей домино, если в их образовании использовать все цифры?

Олеся, Оксана и Юля купили билеты на концерт симфонического оркестра на 1, 2 и 3-е места первого ряда

Решение: Выбираем трёх призёров из 13 участников конкурса с учётом порядка (кому какая премия): способов

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

26.02.2023