А-9

"Утверждаю"

Зам директора по УВР

_________ Уртаева В.В.

Открытый урок алгебры в 9 классе по теме

«Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Эпиграф к уроку:   Умение решать задачи – практическое искусство,

                                              подобное плаванию или катанию на лыжах, или

                                                   игре на фортепиано; научиться этому можно лишь,

                                                           подражая избранным образцам и постоянно тренируясь.

Д.Пойа.

Цель урока: повторение и обобщение изученного материала путём решения комбинированных задач; развитие познавательного интереса к математике.

Задачи урока:

Образовательные:

• совершенствовать навыки решения разнообразных задач по использованию формул арифметической и геометрической прогрессий; применять свои знания в практических ситуациях; расширять знания учащихся путём решения нестандартных задач; подготовка к ОГЭ.

Развивающие:

• развивать математический кругозор, мышление, математическую речь;

Воспитательные:

• воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию; воспитывать чувство прекрасного; формировать отношения взаимной ответственности при совместной работе;

Оборудование: экран, проектор, компьютер, карточки с формулами прогрессий,  диск с презентацией учителя и учеников, тест в программе Mimio Studio.

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. 1. Исторические сведения о прогрессии, постановка вопроса о важности изучения данной темы:

Учитель:

 «Задачи на прогрессии находят в древних   записях папируса Риндо, в вавилонских астрономических таблицах. Их изучал и в знаменитой школе  Пифагора. Слово прогрессия происходит от латинского слова «progredior»  -  иду вперёд, движение вперёд.»

Исторические факты

Архимед (3 век до н. э.) для нахождения площадей и объемов фигур применял “атомистический метод”, для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел и показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).

Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 - 1855), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1+100, 2+99 ит. д. равны, он умножил 101 на 50, т. е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

III.. Тема урока и его цели.

IV. Актуализация знаний:

Учитель:

А сейчас, я предлагаю проверить ваши теоретические знания .

Выясним вопросы:

1.     Какую прогрессию называют арифметической?

2.     Какую прогрессию называют геометрической?

Задание:

Два человека на закрытой доске напишут сами  формулы прогрессий.

  Все остальные, разделившись на два варианта , выписывают со слайда номера формул ,которые являются верными

4слайд - самопроверка выполненного задания .

Выяснение количества учеников, справившихся с заданием.

Проверка работы учащихся на доске.

Следующий этап проверки - устный счёт

 5. Устный счёт.

•1. Назови следующий член ариф. Прогрессии  3, 7, 11 … .

•2. Назови следующий член геометрической прогрессии -6 , -18, -54 ….

•3. Чему равна разность ариф. прогр.  6 ,-8 ,-22 …

•4. В1=6  в2=3. Найдите q

•5. а1=1,2   а2 =2,1. Найдите d.

V. Решение задач.

Слова учителя: закончился ХХ век, а вот термин "прогрессия" был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio - "движение вперед". Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Считалось, что в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность.  Приготовились слушать и записывать решение этой интереснейшей задачи, которую разобрала Кокаева Алёна.

ЛЕГЕНДА

О ШАХМАТНОЙ ДОСКЕ

В древней индии шах Шерам посулил любую награду за интересную игру, к которой он долгой время не потерял бы интерес. Ученый Сета изобрел шахматы и попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки. Шерам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат.

Ученый Сета улыбнулся, поклонился и ушел дожидаться обещанной награды . Наутро царь осведомился у слуг, доставлена ли награда изобретателю.

-« О повелитель, число зёрен было так велико…»

-         «Как бы оно не было велико, награда должна быть выдана, не жалейте амбаров с зерном»- надменно сказал царь.

-         «Не в твоей власти исполнять такие желания, во всех твоих амбарах и на полях , и на всей Земле нет такого числа зерен, которое потребовал ученый Сета» - ответили слуги.

-         «Назовите это чудовищное число!»- воскликнул

изумленный царь.

Решение задачи

К ужасу шаха он не мог выполнить пожелание ученого.

Нетрудно сосчитать, используя формулу

,

что количество зерна, нужное для расплаты, составляет:

18 446 744 073 709 551 615

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, то получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он смог бы рассчитаться с просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до нашего времени.

          VI. Работа в группах. Решение задачи  (мини-исследование)

1ряд. Древняя индийская задача:

Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая кошка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна.

Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам? .

2ряд. Задача:  Человек, заболевший гриппом, может заразить четырех человек. Через сколько дней заболеет все население поселка в количестве 341 человека?

Решение:  Человек, заболевший гриппом, может заразить четырех человек. Через сколько дней заболеет все население поселка в количестве 341 человека?

Решение: ()- геометрическая прогрессия.
 = 1; q= 4. 
Найти =341, где k – порядковый номер дня, когда все в поселке заболеют.
=
341=1  
 =341
Так как, =256, а =1024, то человек заразит  всех в поселке уже вначале 5-го дня

Ответ: 5

3 ряд. Задача:  В благоприятных условиях бактерия размножается так, что за 1 секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд?

Ответ: 121

          VII. Физминутка.

VIII. Учитель:   Сейчас мы с вами посмотрим ещё одну задачу, она является частью исследовательской работы по теме " Загадки арифметической прогрессии "  к конференции ко  Дню науки, а подготовила её Туаева Сюзанна.

Задача: Больной принимает гомеопатическое лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Больной принимает гомеопатическое лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? ( слайд 18)

Решение: ()- арифметическая прогрессия
 = 5
d=5    
: 5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
Найти :=180
Решение : а = а₁+d(n-1)  
40=5+5(n-1),     

n=8 

S n    
S₈ = (5+40)·8:2=180 ; 180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400 (капель), всего больной выпьет  400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

Ответ: 2 пузырька. 

Учитель: Вы убедились, что раздел математики «Прогрессии» являются неотъемлемой частью общечеловеческой культуры?

IX. Самостоятельная работа (тесты) с последующей проверкой    

Учитель:   В этом году вы сдаёте экзамен по алгебре в форме тестов ЕГЭ. Следующий тест позволит проверить вашу готовность к нему по теме “Прогрессии”. (Тест в программе  Mimio Studio).

Сейчас вам необходимо показать свои знания по этой теме и выполнить индивидуальную самостоятельную работу, в виде теста, составленного из заданий ОГЭ  (7-8мин.)

Самостоятельная работа пройдет под девизом:

«Гений состоит из 1 процента вдохновения и 99 процентов потения» Т. Эдисон .

Тест решают в тетради, там же записывают номера ответов.

Итог, проверка на  экране.

Учитель:   Каждый из вас увидел свои неправильно решённые задания. На следующем уроке каждый из вас отчитается как он их исправил дома. И мы их проанализируем.

Итак, ребята, наш урок подошел к концу.

-Что мы сегодня на уроке с вами повторили?

-Что нового узнали?  (Обсуждение)

- Добились ли мы тех целей, что ставили в начале урока?

XI. Итог урока.

Выставление оценок.  

Рефлексия:

Учитель:   Завершить наш урок хочу такими словами:

                                      Урок сегодня завершен,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

Спасибо за работу на уроке!

 Если останется время.

1.     Умственная физминутка: математический анекдот: Однажды Шерлок Холмс и его неизменный спутник Ватсон отправились в путешествие на воздушном шаре. Сильный ветер погнал их шар в неизвестном направлении. Затем ветер несколько унялся, и они приземлились в пустынной и загадочной местности.

Вскоре, однако, они заметили приближающегося к ним человека.

- Не могли бы вы хотя бы приблизительно. Сказать нам. Где мы находимся? – спросил его Холмс.

Человек задумался на некоторое время и затем ответил:

- Почему приблизительно? Я могу ответить абсолютно точно. Вы находитесь в гондоле воздушного шара.

Очередной порыв ветра понёс шар дальше в неизвестном направлении.

- Чёрт бы побрал этих математиков! – раздражённо проговорил Шерлок Холмс.

- А почему Вы считаете, что этот человек был математиком? – как всегда удивился Ватсон.

- Ну, во–первых, прежде чем ответить, он подумал. А во–вторых, его ответ был абсолютно точен и абсолютно бесполезен для нас.

2.      Задача.

У семи лиц по семь кошек; каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает по семь колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Людей всего 7, кошек 7² = 49, они съедают всего 7³ = 343 мыши, которые съедают всего 7⁴ = 2401 колосьев, из них вырастает 75 = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.