Конспект урока алгебры и начал анализа в 11 классе "Иррациональные уравнения и неравенства"

муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Заволжский лицей г. Заволжска  Ивановской области           Конспект урока алгебры     и начал анализа в 11 классе (тип урока – комбинированный)    «Иррациональные  уравнения              и неравенства» (2 часа)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  разработала учитель высшей категории                                                                        Петрова Наталья Викторовна 2005 г. Цели урока:           ­  обучающие:  закрепить   основные   способы   решения   иррациональных уравнений;   рассмотреть   некоторые   приемы   решения   уравнений нестандартными способами; рассмотреть алгоритм решения иррациональных неравенств путем равносильного перехода к системе неравенств;         ­ развивающие: развивать у учащихся умения анализировать задачу перед выбором   способа   ее   решения;   развивать   навыки   исследовательской деятельности, синтеза, обобщения; учить логически мыслить при переходе от частного к общему;      ­ воспитывающие: воспитывать у учащихся личностную рефлексию: стал ли он сам для себя изменяющимся субъектом деятельности.  Ход урока: I.                                                           перед ними задачи урока) Организационный момент (сообщить учащимся тему урока, поставить             Сегодня мы с вами продолжим совершенствовать навыки решения       иррациональных уравнений различными способами, а также попытаемся       найти способ решения иррациональных неравенств. II. Активизация знаний учащихся. 1) Какие   уравнения   называются   иррациональными?  (   Иррациональными называются уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.) 2) О   чем   приходится   задумывать   и   помнить   при   решении иррационального   уравнения?  (   Надо   помнить   об   области   допустимых значений переменной в уравнении – об ОДЗ ) Задание 1. Для следующих уравнений назовите ОДЗ.                       а б ) ) в )   1  2 1  2 х  х  х х  3 ;2 х  ;3 1 х  х 3  х 2 . 2 Задание 2. В следующих случаях восстановите запись:                          . . . х   3 10 2 х х а б ) ) 2 х . . . 3) Что нам показывают две последние записи? ( Два стандартных способа                                                              решения простейших иррациональных уравнений.) 4) Назовите эти способы. ( ­ замена уравнения уравнением­следствием путем                                                           возведения обеих частей уравнения в квадрат с                                                            обязательной последующей проверкой корней                                                            уравнения­следствия в исходном уравнении;                                                        ­ замена иррационального уравнения равносильной                                                            смешанной системой )  Применение этих стандартных методов решения должно быть доведено у вас до   автоматизма,   с   минимальными   затратами   времени.   И   вам   предлагается потренироваться   в   решении   небольшой   тестовой   работы,   задания   которой составлены в соответствии с ЕГЭ. Тестовая работа по подготовке к ЕГЭ. III.                                      1 вариант A1 A2 A3 Решите уравнение  4 + х =  6х   и укажите верное утверждение о его корнях: 1) корень только один, и он положительный; 2) корней два, ионии разных знаков; 3) корень только один, и он отрицателен; 4) корней два, и они положительны. Найдите сумму корней уравнения х + 1 =            1) – 1;         2)  1;       3)  4;       4)   5. 7 х 5 : 3  5 х 2 Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения           1)  [3;5];       2) (1;3);           3) [0;2];         4) (­2;0). 2 х  5 х Сколько корней имеет уравнение  1  2 х  33  2 2 х  4 х :         1) четыре;   2) два;   3) один;   4) ни одного.                                        2 вариант  Решите уравнение  1 ­ х =  13  х3   и укажите верное утверждение о его корнях: 5) корень только один, и он отрицательный; 6) корень только один, и он положительный; 7) корней два, и они разных знаков; 8) корней два, и они положительны. Найдите сумму корней уравнения            1) – 1;         2)  5;       3)  9;       4)  ­ 5. 11 х  7 х 1 : Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения           1)  [­12;0];       2) [2;4];           3) [4;5);         4) [5;+∞). 2 2 х  2 х  4 х 2 A4 A1 A2 A3 A4 Сколько корней имеет уравнение  4 х  3 2 х : 2         1) ни одного;   2) один;   3) два;   4) четыре.  При выполнении этой работы преследуется еще одна цель – правильное оформление теста. Поэтому   учащимся   предоставляются   бланки   ответов,   отражающие   фрагмент   бланка ответов ЕГЭ. 4 Фамилия, имя ____________________________Вар.№___ Для тех, кто решил тест очень быстро, можно предложить на отдельном листе решить следующие уравнения:                    ;       49  74  хх хх 3 х 4 2 2   4 х  3 Взаимопроверка тестовой работы. IV.              ( учащиеся передают бланк ответов соседу, а затем проходит взаимопроверка по предложенному учителем образцу ответов по 1 и 2 вариантам; затем подводятся итоги такой проверки, учащиеся выставляют на бланке свою оценку, учитель собирает их ) ( Образец ответов(не для данного теста): V. Отметим,   что   при   решении   иррациональных   уравнений   необходимо придерживаться   правила:   не   бросайся   решать   уравнение   сразу, проанализируй   его   вид,   используй   ОДЗ,   найди   самый   рациональный прием его решения или докажи, что решений нет. Задание 3. Докажите, что следующие уравнения не имеют решений: 5 ) а б ) ) в г ) ) д х х х х х  3  2  5   16  1 ;5  2 х 1  х 4 ;0  2 х ;4  3 ;4 х  2  .2 х 1 Решение уравнений нестандартными приемами.   VI.     рациональный способ его решения.     Давайте   рассмотрим   несколько   уравнений   и   найдем   наиболее                            х 3 )1 )2 )3 2  х 5   3 9 7 х  4 х 2 2 х х  ;4 х  1 2 х  9 ;8 2 .53 х Для   решения   указанных   уравнений   можно   применять   введение   новой переменной   (   в   Ур.1),   причем   обратить   внимание   учащихся   на   наиболее рациональную замену; введение новых переменных и переход к системе двух неиррациональных уравнений ( Ур.2); использование монотонности функций или метод оценки левой и правой частей уравнения ( Ур.3). VII. При решении большинства уравнений множество их корней как  правило конечно, в неравенствах же чаще всего бесконечно много решений. Решая иррациональные неравенства возведением обеих его частей в какую­ либо степень, проверка всех найденных решений подстановкой в исходное неравенство невозможна, нам придется все время заботиться о том, чтобы выполняемые   нами   переходы   были   равносильными.   Для   этого   давайте вспомним свойства простейших неравенств, а именно, при каких условиях возведение   в   квадрат   обеих   частей   верного   неравенства   является равносильным преобразованием.  Это возможно только в том случае, если обе части неравенства   положительны, т.е.      если 0 < а < в, то а2 < в2 , или если  а > в > 0, то а2 > в2 . Рассмотрим простейшие иррациональные неравенства:                                 ) а б ) ) в г ) х 2 x 17  3  x 1  1  x 6 ;2 ;5 ;2  .1 ( при разборе решений данных неравенств нужно воспользоваться рассмотренным выше свойством   числовых   неравенств   и   областью   допустимых   значений   переменной   в неравенстве) 6 VIII. Групповая работа.       Учащимся предлагаются обсудить решения двух неравенств, у которых правая часть зависит от переменной. Используя все выше, сказанное найти не просто   решения   неравенства,   но   и   попытаться   сформулировать   условия, которым подчиняются все решения, т.е. найти равносильные переходы. Задание 4. Решите неравенство:      а ) 2 х  х  2  x ;1 б ) 2 х  5 х  х 4 .3 IX. Обсуждение решений неравенств у доски. X. Обобщение полученных результатов для неравенств общего вида. Неравенство первого вида:                                                                                                                                                                                       ( 1 ) )( xf  )( xg  )( xg )( xf )( xf  0  0  2 xg )(      Аналогично,   можно   записать   равносильный   переход   для   неравенство   с нестрогим знаком:    0 )( xg                                                                                                                            ( 1а )  )( 0 xf  2 xg )( xf )( xg )( )( xf        Неравенство второго вида:   )( xg )( xf  0)( xg  0)( xf    или  0)( xg  2xg )( )( xf            ( 2 ) Аналогично, для неравенства нестрогого: 7  )( xg  )( xf  0 )( xg  0)( xf    или  0)( xg  2xg )( )( xf            ( 2а ) XI. Для   закрепления   указанного   метода   решения   иррациональных неравенств можно выполнить следующее задание. Задание 5. Решите неравенство: а ) 18  ;1  3 б х x х )  2 x . XII. Подведение итогов.             Рассмотренные   нами   методы   и   приемы   решения   иррациональных уравнений и неравенств позволяют решать огромное количество различных задач. На последующих уроках мы продолжим поиски более рациональных способов решения систем уравнений, вспомним, что для решения неравенств применяется   метод   интервалов;   попробуем   применить   его   для иррациональных неравенств. XIII. Домашнее задание: 2 2 5 х  9 ;7 6 х  .11 4        ) а б ) в ) 1. Решите уравнение:    2 2 х 5 х   4 ;2 17  2 х 4 х 2 2. Решите неравенство: ;21 x 2 х 17  х  х   2 а х х х ) 2       б ) 2 9 x  x  10  3 x .2 8