Конспект урока "Касательная к окружности"

На этом уроке мы повторим 3 случая расположения окружности и прямой в зависимости от  отношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности. Подробно  остановимся на случае, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу  окружности. Введем понятия «касательной» к окружности и «точка касания». Рассмотрим  свойство и признак касательной к окружности. Рассмотрим отрезки касательных к окружности,  проведенные из одной точки и их свойство. Конспект урока "Касательная к окружности"    Давайте вспомним, как могут располагаться окружность и прямая в зависимости от отношения расстояния от центра окружности до прямой и радиуса окружности. Напомним, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек. Сегодня мы особо рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности. А общая точка окружности и прямой называется точкой касания прямой и окружности. Давайте, на рисунке укажем касательные к окружности и назовем точки касания. Здесь касательными к окружности будут прямые b и d, точками касания будут точки C и F. Теперь давайте из центра окружности проведем радиусы к точкам касания. По рисунку можно предположить, что радиусы, проведенные к точке касания будут перпендикулярны касательной. Давайте попробуем доказать или опровергнуть это утверждение. Пусть прямая p – касательная к окружности с центром в точке О и точка А – точка касания. Предположим, что касательная p не перпендикулярна радиусу ОА. Тогда радиус ОА – наклонная к прямой p. Опустим из точки О перпендикуляр на прямую p. Поскольку перпендикуляр, проведенный из точки меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки, то получаем, что расстояние от точки О до прямой p меньше радиуса, то есть прямая и окружность пересекаются в двух точках. Но тогда прямая p – секущая, а по условию, она – касательная. Таким образом, предположение о том, что касательная не перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, не подтвердилось. То есть мы доказали свойство касательной к окружности. Сформулируем ее: Теорема (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Задача. Радиус окружности с центром делит хорду пополам. Доказать, что касательная, проведенная через точку Доказательство. , параллельна хорде . равнобедренный медиана и высота Построим окружность, проведем хорду АB, проведем радиус ОК, который делит хорду АB пополам. Проведем касательную к окружности в точке К. Проведем радиусы ОА и ОB и рассмотрим равнобедренный треугольник AOB. Поскольку ОК делит AB пополам, то часть этого отрезка OH будет являться медианой и высотой, то есть OH перпендикулярно AB. По свойству касательной, касательная, проведенная в точке К будет перпендикулярна ОК. Таким образом, мы получили две прямые, которые перпендикулярны радиусу ОК. и Что и требовалось доказать. Теперь давайте рассмотрим две касательные к окружности с центром О, проходящие через точку А и касающиеся окружности в точках B и C. Отрезки AB и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А. Эти отрезки обладают следующим свойством: Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Доказательство. и , – общая, – как радиусы Следовательно, , Что и требовалось доказать. Это свойство запомнить не сложно, достаточно вспомнить героя сказок – Буратино. Его круглое личико мы примем за окружность. А стороны его колпачка – за касательные, проведенные из одной точки. Очевидно, что стороны колпачка равны, и если мы проведем линию из центра колпачка вертикально вниз, то углы тоже будут равны. Задача. Через концы хорды , равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке Решение. Выполним чертеж. . Найдите . − равносторонний (по свойству отрезков касательной) (по свойству касательной) (по свойству углов равнобедренного треугольника) Ответ: Теперь, давайте попробуем сформулировать и доказать признак касательной. Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. Доказательство. По условию теоремы, данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. А значит, он является расстоянием от центра окружности до прямой. То есть радиус окружности и расстояние до прямой равны, а, значит, окружность с прямой имеют одну общую точку. То есть, прямая является касательной к окружности, что и требовалось доказать. Задача. Через данную точку окружности. Решение. Построим прямую ОА. Через точку А проведем прямую p перпендикулярно прямой ОА. По признаку касательной, эта прямая будет касательной к окружности в точке А. провести касательную к этой окружности с центром Задача. К окружности с радиусом проведена касательная из точки , удаленной от центра на расстояние, равное касания. Решение. Сделаем чертеж. . Найти длину отрезка касательной от точки до точки Рассмотрим треугольник АОB. (по свойству касательной) (по теореме Пифагора) ; Ответ: Задача. Доказать, что касательные к окружности, проведенные через концы диаметра, параллельны. Решение. Выполним чертеж. По свойству касательных, углы между диаметром и касательными равны . Значит, по признаку параллельности прямых, получаем, что касательные параллельны. Задача. Отрезки и являются отрезками касательных к окружности с центром , проведенными из точки окружности. Решение. Выполним чертеж. . Найти , если середина отрезка лежит на , (по свойству касательных) Рассмотрим треугольник ОАМ. По свойству касательной – это прямоугольный треугольник с катетом равным радиусу и гипотенузой, равной двум радиусам. и (по свойству отрезков касательных) Ответ: Давайте повторим главное: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Свойство касательной к окружности. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Еще раз сформулируем свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. Сформулируем признак касательной. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.