Конспект урока "Касательная плоскость к сфере"

На этом уроке мы более подробно рассмотрим случай взаимного расположения сферы и  плоскости, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Дадим  определение касательной плоскости к сфере. Сформулируем и докажем свойство и признак  касательной плоскости к сфере. А также поговорим о прямой касательной к сфере. Конспект урока "Касательная плоскость к сфере"    На этом уроке мы более подробно рассмотрим случай взаимного расположения сферы и плоскости, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Сформулируем и докажем свойство и признак касательной плоскости к сфере. А также поговорим о прямой касательной к сфере. Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое сфера. Итак, сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Причём, данная точка называется центром сферы, а данное расстояние – радиусом сферы. Также вы уже знаете, что в зависимости от соотношения расстояния от центра сферы до плоскости и радиуса сферы возможны три случая взаимного расположения сферы и плоскости в пространстве. Сфера и плоскость могут: 1) пересекаться по окружности. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Тогда сечение сферы плоскостью есть окружность; 2) не пересекаться. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы. Тогда сфера и плоскость не имеют общих точек. 3) и иметь только одну общую точку. Случай, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Давайте более подробно остановимся на последнем случае, когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Определение: Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называетсякасательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. На экране вы видите сферу с центром в точке О и плоскость плоскость является касательной плоскостью к сфере, а точка А – есть точка касания. . Эта Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара. Вообще касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Это свойство выражается в следующей теореме: Итак, теорема или свойство касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Доказательство: плоскость Докажем, что касается сферы с центром . в точке . По определению касательной плоскости точка А будет единственной общей точкой плоскости сферы. Следовательно, они расположены дальше от центра сферы. и сферы. Другие точки плоскости лежат вне Тогда ОА – это кратчайшее расстояние от точки до плоскости. Напомним, что кратчайшее расстояние измеряется длиной перпендикуляра. Значит, перпендикуляр . Следовательно, радиус . Теорема доказана. Справедлива и обратная теорема (признак касательной плоскости к сфере). Сформулируем и докажем её. Итак, обратная теорема или признак касательной плоскости к сферы: если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. Доказательство: из условия теоремы вытекает, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы , и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. По определению такая плоскость является касательной к сфере. Значит, плоскость – есть касательная плоскость к сфере. Что и требовалось доказать. см. На каком расстоянии от центра Задача: диаметр шара равен шара находится плоскость, касающаяся его? Решение: напомним, что касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. По свойству касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости . Радиус нашего шара и будет расстоянием от центра шара до точки касания с плоскостью . Так как по условию задачи диаметр шара равен 18 см, то радиус равен (см). Запишем ответ. Задача: сфера касается плоскости равностороннего треугольника с высотой см в его центре. Расстояние от центра сферы до стороны треугольника равно см. Найдите радиус сферы. Решение: так как по условию задачи треугольник равносторонний, то его центр будет находиться в центре вписанной и описанной окружностей. Напомним, что в равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой. А по свойству медиан треугольника: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром тяжести треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении , считая от вершины. Так как по условию задачи высота треугольника равна 12 см, а она же является и медианой, значит, расстояние (см). . Он прямоугольный, так как Рассмотрим . А по свойству касательной плоскости к сфере: радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Применим теорему Пифагора и найдем чему равен катет что ответ. (см). Не забудем записать . Получаем, Определение: Прямая, лежащая в касательной плоскости сферы и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере. По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку – точку касания. На экране вы видите сферу с центром в точке О и прямые лежащие в плоскости прямыми к сфере, а точка А – есть точка касания. , и , , и являются касательными . Прямые Для касательной прямой в сфере также справедливы следующие утверждения: Радиус, проведённый в точку касания прямой и сферы, перпендикулярен к касательной прямой. Прямая, перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является касательной к сфере. А теперь давайте рассмотрим две касательные прямые к сфере с центром О, проходящие через точку А и касающиеся сферы в точках В и С. и – отрезки касательных, проведёнными из точки Отрезки Они обладают следующим свойством: отрезки касательных к сфере, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы. . Это легко увидеть из равенства прямоугольных треугольников общая, а катеты . У этих треугольников гипотенуза . . Найдите расстояние от данной точки до точки Задача: расстояние от точки равно прямой Решение: соединим точку А, точку касания, с центром сферы. сферы с радиусом см касания до центра и сферы. Отрезок прямой и сферы, перпендикулярен к касательной прямой. . Напомним, что радиус, проведённый в точку касания (см). до точки А. Имеем, , который и является расстоянием от . Он прямоугольный. Применяя теорему Пифагора Рассмотрим найдём чему равен катет точки Итоги: На этом уроке мы более подробно рассмотрели случай взаимного расположения сферы и плоскости, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы. Узнали, что плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Сформулировали и доказали свойство и признак касательной плоскости. А также узнали, что прямая, лежащая в касательной плоскости сферы и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере.