Конспект урока "Компланарные векторы"

Первое понятие о векторах в пространстве, которого не было на плоскости — компланарность  векторов. С определения компланарных векторов и начинаются главные отличия векторов в  планиметрии и стереометрии. При рассмотрении примеров решений задач учащиеся усвоят  понятие компланарности, что позволит успешно продолжить изучение векторов. Конспект урока "Компланарные векторы"    Материал урока. Ранее мы ввели понятие вектора в пространстве, понятие равных векторов, правила сложения и вычитания векторов, а также произведение вектора на число. И все теоретические аспекты векторов в пространства практически совпадают с теорией векторов на плоскости. За исключением правила многоугольника сложения нескольких векторов. Многоугольник сложения в пространстве может быть и пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости. Сегодня мы с вами познакомимся с существенным и одним из главных отличий векторов на плоскости и векторов в пространстве. Мы введём понятие компланарных векторов. Определение. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Но в связи с тем, что от любой точки пространства можно отложить вектор равный данному, и притом только один, можно это определение переформулировать так. Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. Понятно, что любые два вектора всегда будут компланарными, ведь через них можно провести прямые, а через две прямые всегда можно провести единственную плоскость. Если же рассмотреть три вектора, то они могут быть как компланарными, так и некомпланарными. Компланарными они будут в том случае, когда среди них есть пара коллинеарных векторов. Тогда через один из коллинеарных векторов и вектор не коллинеарный ему можно провести плоскость. А для второго из коллинеарных векторов легко изобразить равный в этой плоскости. Так мы получаем, что два вектора всегда будут компланарными, а три вектора будут компланарными, если среди них есть пара коллинеарных векторов. Задача. прямоугольный параллелепипед. Компланарны ли векторы? а) , , б) , , Решение. Первой рассмотрим тройку . Через векторы и проведём плоскость ACC1. Рассмотрим следующую тройку векторов. . В этом задании мы, пользуясь определением, выяснили компланарны данные тройки векторов или нет. Помимо определения компланарных векторов есть ещё и признак компланарности трёх векторов. Если вектор можно разложить по векторам и , то есть представить его в таком виде компланарны. Докажем данный признак. Рассмотрим два неколлинеарных вектора О. Далее проведём через них плоскость. , где x и y некоторые числа. То векторы , и , отложим их от некоторой точки и Очевидно, что в этой же плоскости лежат векторы x и y . По правилу параллелограмма построим вектор суммы векторов x и y . Полученный вектор суммы равен вектору векторы и компланарны. действительно лежат в одной плоскости, а значит, они , . А по рисунку становится понятно, что Так мы доказали признак компланарности трёх векторов. Но справедливо и обратное утверждение, которое можно считатьсвойством трёх компланарных векторов. Если векторы , и компланарны, а векторы , не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство. Итак, воспользуемся тем, векторы компланарны, то есть лежат в одной плоскости. А из курса планиметрии известно, что любой вектор плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам. Как раз векторы такими по условию. являются и и , каждый из которых коллинеарен и Тогда отложим векторы , и от некоторой точки О плоскости. Вектор равен сумме векторов векторам представить в виде произведения вектора в виде произведения вектора соответственно. Опираясь на коллинеарность, можем вектор и некоторого числа x, а вектор и некоторого числа y. — Отсюда получаем, что вектор вектора на число y. равен сумме произведений вектора на число x и Тем самым мы смогли разложить вектор по векторам и . Что и требовалось доказать. Задача. Для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 среди данных троек векторов найти компланарные. Решение. Первой рассмотрим тройку векторов . Все эти векторы коллинеарны, так как являются противоположными рёбрами параллелепипеда. А для компланарности трёх векторов достаточно коллинеарности хотя бы двух из них (в начале урока мы рассматривали такой случай). Поэтому можно утверждать, что данные векторы компланарны. Далее рассмотрим векторы , и . Векторы лежат в одной плоскости, а вектор можно сказать, что данные векторы не компланарны. и пересекает её. Поэтому Следующей рассмотрим тройку векторов , и . Среди них есть пара коллинеарных векторов, данной тройки будут компланарны. и . А значит, векторы Осталось рассмотреть тройку векторов , и . В плоскости ABCD лежит вектор вектора Значит, векторы данной тройки не будут являться компланарными. в этой плоскости не найдётся равный, так как он пересекает её. . Но для . И вектор , равен вектору Так, пользуясь определением, мы нашли две тройки компланарных векторов. Задача. что тетраэдр. Точки и — середины сторон и . Доказать, . Компланарны ли векторы , и ? Итак, сначала проведём доказательство. Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов в пространстве, можно записать, что . С другой стороны вектор . Сложим покомпонентно эти два равенства. . , а также и и Векторы противоположно направлены. А значит, каждая из этих сумм равна нулевому вектору. противоположны, ведь их длины равны и они Тогда мы получаем, что . Что и требовалось доказать. Теперь ответим на вопрос, компланарны ли векторы , и . Разделим обе его части равенства, доказанного выше, на 2. Так мы записали разложение вектора по векторам и , где оба коэффициента разложения равны . Тогда по признаку компланарных векторов, данные векторы компланарны. Подведём итоги нашего урока. Сегодня мы ввели понятие компланарных векторов. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. На практике удобнее использовать такую формулировку: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. Так же мы выяснили, что любые два вектора всегда компланарны, а вот три вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. В связи с этим мы доказали признак компланарности векторов. Если вектор можно разложить по неколлинеарным векторам и , то векторы , и компланарны. Справедливо также и обратное утверждение. компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор , и Если векторы можно разложить по векторам определяются единственным образом. и , причём коэффициенты разложения