Конспект урока "Медианы, биссектрисы и высоты треугольника"

На уроке вводим понятия медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Говорим о некоторых их  свойствах. А также решаем задачи, применяя полученные теоретические знания. Конспект урока "Медианы, биссектрисы и высоты треугольника"    Определение: Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Например, возьмём треугольник АВС. Если точки А1, В1 и С1 - соответственно середины сторон ВС, СА и АВ, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 - медианы этого треугольника. Медианы, проведённые из вершин А, В и С (или их длины) треугольника АВС можно обозначить: Определение: Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны. Например, возьмём некоторый треугольник АВС. Проведём биссектрису АЕ1 угла ВАС, ВЕ2 - угла АВС и СЕ3 - угла АСВ. Биссектрисы, проведённые из вершин А, В и С (или их длины) треугольника АВС можно обозначить: Определение: Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из его вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Изобразим треугольник АВС и отрезки АF1, BF2 и CF3, которые являются высотами нашего треугольника. Высоты, проведённые из вершин А, В и С (или их длины) треугольника АВС можно обозначить: Свойства: 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 3. Высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке. Ответим на вопрос: Может ли точка пересечения высот лежать вне треугольника? Да, когда у него один угол тупой. А может ли точка пересечения высот лежать в вершине треугольника? Да, может, когда у треугольника есть прямой угол. Пример. Рассмотрим следующую задачу. Отрезок BD - медиана треугольника АВС, отрезок ВЕ - медиана треугольника DBC. Чему равна длина отрезка АС, если отрезок ЕС=4 см.? Так как ВЕ - медиана треугольника DBC, то отрезок DE=ЕС. Следовательно, сторона DC=2*ЕС, то есть DC=8 см. BD - медиана треугольника АВС, значит, отрезок AD=DC. Следовательно, сторона АС=2*DC. Так как отрезок DC=8 см., то длина стороны АС=16 см. Ответ: 16 см. Пример. Отрезок AD - медиана треугольника АВС. Точка Е лежит на луче АD так, что AD равняется DЕ. Докажите, что треугольник АDВ равен треугольнику CDE. Так как AD - медиана треугольника АВС, то СD равняется DB. Рассмотрим треугольники АDВ и CDE. У них сторона AD равна стороне DЕ по условию задачи; сторона СD равна стороне DB, так как AD - медиана; а углы ADB и CDE равны как вертикальные. Следовательно, треугольник АDВ равен треугольнику CDE по первому признаку равенства треугольников.