Конспект урока на тему "Исследование функций" Алгебра 10 класс (по учебнику Колмогорова). Конспект урока разработан с требованиями ФГОС. Урок изучения нового материала. Урок разделен поэтапно и каждый этап имеет свою цель, соответствующую выполняемой работе учащегося. Для каждого этапа включены самостоятельные задания. К уроку будет представлена презентация, которая включает самостоятельные работа для закрепления.
Урок по теме: «Исследование функций»
Апостолов Дмитрий Иванович преподаватель математики «Климовского аграрно
транспортного техникума»
Продолжительность урока: 2 урока по 45 минут.
Цель урока: обобщение и систематизация знаний по данной теме.
Задачи урока:
Образовательные − обобщить и систематизировать знания обучающихся по данной
теме; формировать у обучающихся умения исследовать функции; отработать
навыки построения графиков функций;
Развивающие − развитие умений применять теоретические знания при
исследовании функций; развитие исследовательских умений, навыков
самостоятельной работы, развитие умения рассуждать, сравнивать, обобщать,
формулировать выводы, развитие мышления, памяти, внимания и математического
кругозора;
Воспитательные − воспитание воли и упорства для достижения конечного
результата; воспитание познавательной активности, аккуратности при построении
графиков, прививать интерес к предмету математики, воспитывать сознательное
отношение к обучению, самостоятельности.
Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная, групповая.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, тесты, схемы
исследования функций.
План урока
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний:
1) фронтальная беседа по вопросам;
2) кроссворд;
3) тест.
3. Проверка домашнего задания:
1) устная работа по графику;
2) работа с учебником;
4. Защита проектов.
5. Обобщение знаний по теме «Исследование функций»:
1) задание с ошибкой;
12) работа по графикам;
3) задания по карточкам сборника ЕГЭ.
6. Подведение итогов урока.
7. Домашнее задание.
Ход урока
1. Организационный момент
Слайд № 1
Преподаватель: Сегодня на уроке мы обобщим знания о функции, закрепим
свойства функций и применим эти свойства для исследования функций и
построения графиков. Тема урока: «Исследование функций»
Слайд № 2
Эпиграфом к уроку служат слова французского философаматериалиста, атеиста
Дени Дидро (17131784) − современника Декарта и Лейбница.
«Начинать исследования можно поразному… Всё равно начало почти всегда
оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть
истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится
известным лишь после того, как мы используем все пути. Камуто
приходится, рискуя собой, сходить с проторённой дороги, чтобы указать другим
правильный путь… На пути к истине мы почти всегда обречены совершать
ошибки». (Дени Дидро)
2. Актуализация знаний
1) Фронтальная беседа по вопросам
Преподаватель: Для того, чтобы исследовать функцию и строить её график нам
необходимо повторить определение функции и вспомнить, что является графиком
функции. Ответьте на вопросы: Слайды № 34
1. Что называется функцией?
2. Что называется графиком функции?
3. Какие из линий, изображённых на рисунке являются графиками функций?
2Слайд № 5
2) Кроссворд
Преподаватель: А теперь давайте разгадаем кроссворд. Обучающиеся
самостоятельно работают по кроссворду. На вопросы 1,2,3 и 4 кроссворда отвечают
обучающиеся 1 варианта, а на вопросы 5, 6, 7 и 8 −обучающиеся 2 варианта. Для
проверки обмениваются тетрадями в паре. Далее идёт обсуждение под
руководством преподавателя.
6
5 2
7
8
1
3
4
1. Графиком функции у = х2 является …
Вопросы
2. Вертикальную координатную прямую называют …
3. Графиком функции у = 1/х является …
4. Зависимость, при которой каждому значению х ставится в соответствие
единственное значение у называется …
5. Множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у = f(х), а х
«пробегает» всю область определения функции f.
6. Графиком функции у = кх + в является …
7. Горизонтальную координатную прямую называют …
38. Ось х и ось у называют осями …
3) Тест
Преподаватель: Какие свойства функций вы знаете? Давайте вспомним
определения этих свойств, для этого проведём тест.
Преподаватель раздаёт тесты обучающимся. Задания тестов дифференцированные.
Обучающиеся работают самостоятельно, затем сверяют свои ответы с правильными
ответами, представленными на слайде №6.
Тест
Вариант 1
1. Функция f(х) возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р
таких, что х2 > х1 выполняется неравенство
А) f(х2) < f (х1);
Б) f(х2) > f (х1);
В) f(х2) = f (х1).
2. Функция f(х) называется нечётной, если для любых х из её области определения
А) f( х) = f (х);
Б) f( х) = f (х);
В) f(х) > f (х).
3. Точка х0 называется точкой максимума функции f(х), если для всех х из
некоторой окрестности х0 выполнено неравенство
А) f(х) ≤ f(х0);
Б) f(х0) ≤ f(х);
В) f(х) = f(х0).
4. Период функции у = sin 2х равен
А) 4 ;π
;π
Б)
В) 2 .π
5. График чётной функции симметричен
А) относительно оси ОХ(оси абсцисс);
Б) относительно начала координат;
4В) относительно оси ОУ(оси ординат).
Вариант 2
1. Функция f(х) убывает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р
таких, что х2 > х1 выполняется неравенство
А) f(х2) < f (х1);
Б) f(х2) > f (х1);
В) f(х2) = f (х1).
2. Функция f(х) называется чётной, если для любых х из её области определения
А) f( х) = f (х);
Б) f(х) = f (х);
В) f(х) < f (х).
3. Точка х0 называется точкой минимума функции f(х), если для всех х из
некоторой окрестности х0 выполнено неравенство
А) f(х) ≥ f(х0);
Б) f(х0) ≤ f(х);
В) f(х) = f(х0).
4. Период функции у = cos 3х равен
А) 3 ;π
;π
Б)
В) 2 /3.π
5. График нечётной функции симметричен
А) относительно оси ОХ(оси абсцисс);
Б) относительно начала координат;
В) относительно оси ОУ(оси ординат).
Вариант 3 (для слабых обучающихся)
1. Функция заданная формулой f(х) = f(х) является
А) чётной;
Б) нечётной;
В) ни чётной, ни нечётной.
2. На рисунке изображен у
5А) минимум функции;
Б) максимум функции;
В) ни максимум, ни минимум.
3. Функция у = х2 является
А) четной функцией;
Б) нечётной;
х
В) ни чётной, ни нечётной. у
4. График, изображенный на рисунке
А) возрастает х
Б) убывает;
В) ни возрастает, ни убывает.
5. График чётной функции симметричен относительно
А) оси абсцисс (оси ОХ);
Б) начала координат;
В) оси ординат (оси ОУ).
3. Проверка домашнего задания
Преподаватель: Дома вы должны были используя схему исследования функции
построить график этой функции и наоборот, по графику определить свойства этой
функции. Давайте проверим, как вы справились с домашним заданием. А по какой
схеме исследования функций вы работали?
Обучающиеся по цепочке называют схему исследования функции, а затем
преподаватель демонстрирует данную схему на экране. Слайд № 7.
Схема исследования функций
1. Найти область определения функции.
2. Определить чётность или нечётность функции, периодичность.
3. Найти координаты точек пересечения графика с осями координат.
4. Найти промежутки знакопостоянства функции.
5. Определить промежутки возрастания или убывания функции.
6. Найти точки экстремума функции, вид экстремума (максимум или минимум) и
значения функции в этих точках.
67. Найти область значений функции.
8. Построить график функции.
Задание 1. (работа по цепочке) С лайд № 89
Преподаватель: Проведём по общей схеме исследование функции, заданной
графиком.
Далее работаем по учебнику: № 94(а, б, в). Слайд № 10
Задание 2. Постройте график функции f, если известны её свойства.
74. Защита проектов.
Преподаватель: Мы с вами исследовали функции, заданные графиком и строили
графики функций, используя свойства. Можно исследовать функции, которые
заданы только одной формулой.
На дом вам была задана исследовательская работа по исследованию функций,
которые заданы аналитически, т. е. с помощью формулы. Вся группа обучающихся
была разбита на 5 подгрупп. У каждой подгруппы было своё индивидуальное
задание (задания для групп подбирались различных уровней сложности).
Ваша задача состояла в том, чтобы, используя алгоритм исследовательской
деятельности определить, что является графиком каждой из функций. Для этого,
вы, работая в группе, формировали цели исследования, выдвигали гипотезы,
проверяли их, используя схему исследования функций, делали вывод по
результатам исследовательской работы и подводили итоги в виде составления
8презентации. Т. е. вы работали над проектом. Ну, а сегодня давайте посмотрим, что
у вас получилось. Для этого представьте свой проект на наше рассмотрение.
Итак, тема проекта: «Построение графиков функций по общей схеме
исследования».
Алгоритм исследовательской деятельности:
Создать проблемную ситуацию.
1.
2. Сформулировать цель исследования.
3. Выдвинуть гипотезу о том, что является графиком данной функции и сделать
схематический чертёж.
4. Провести исследование функции по общей схеме исследования.
5. Сделать вывод по результатам исследовательской работы.
Слайд 11
Задание группе №1. Построить график функции f(х) = 2х – 6, используя схему
исследования. Слайд 1214
Задание группе №2. Построить график функции f(х) = х3 – 1, используя общую схему
исследования. Слайд 1520.
Задание группе №3. Построить график функции f(х) = х2 – 4х, используя общую
схему исследования. Слайд 2128
Задание группе №4. Построить график функции f(х) = √(х–3), используя общую схему
исследования. Слайд 2934
Задание группе №5. Построить график функции f(х) = |х| + 1, используя общую схему
исследования. Слайд 3540
Вывод. Итак, исследовательские проекты показали, что вы уметь применять общую
схему исследования к любой функции.
5. Обобщение знаний по теме.
Обобщёние знаний проводим в форме фронтальной беседы.
1) Задание с ошибкой. (задание записано на доске)
Найдите все ошибки в исследовании функции f(х) = 5 – 2х.
1. Область определения функции (∞; 5) U (5; +∞). Ответ: (∞; +∞).
2. f( х) = 5 – 2(х) = 5 – 2х. – чётная. Ответ: ни чётная, ни
нечётная.
Функция не периодическая.
93. Пересечение с осью:
а) с осью ОХ, у = 0. б) с осью ОУ, х = 0
5 – 2х = 0, х = 2,5. у = 5 – 2 ∙ 0 = 0. Ответ: б) у = 5.
(0; 2,5). (0; 5).
4. Промежутки знакопостоянства:
f(х) > 0, 5 – 2х > 0, х < 2,5; х (∞; 2,5);
f(х) < 0, 5 – 2х < 0, х > 2,5; х (∞; 2,5).
Ответ: х € (2,5; +∞).
5. Функция возрастает при х принадлежащем промежутку (∞; +∞). Ответ: убывает.
6. Точек экстремума нет.
7. Область значений (∞; +∞).
у
5
2,5
х
2) Работа по таблице Слайд № 41.
Среди данных графиков найти тот, который соответствует следующему описанию:
яблоко растёт, затем его срывают и сушат. На весь этот процесс уходит х дней.
Найдите в таблице график, описывающий зависимость массы яблока у от х.
103) Задание по карточкам сборника ЕГЭ (2007 г.) Слайд № 42.
Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [ 5; 4]. Укажите
область ее значений.
1. [5; 0];
2. [5; 0);
3. (5; 0);
4. [5; 4).
Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [2; 4]. Укажите
область ее значений.
1. [0; 3];
2. [0; 2) U (2; 3];
3. (0; 2);
4. (0; 3).
Функция y = f(x) задана графиком на [4; 0) U (0; 3]. Укажите
область ее значений.
1. [1; 3];
2. [1; + );
3. [1; 2) U (2; + );
4. [0; + ).
Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [5; 3). Укажите
область ее значений.
1. [1; 2];
2. [1; 2) U (2; 5];
3. (2; 1];
4. [5; 1].
6. Итоги урока.
Итак, сегодня на уроке мы с вами исследовали функции, заданные различными
способами, применяя общую схему исследования.
11Далее проводим рефлексию. Слайд № 43.
Я доволен своей работой на уроке – поднять красную карточку.
Я хорошо работал, но умею ещё лучше – поднять зелёную карточку.
Работа не получилась, я не доволен собой – поднять синюю карточку.
6. Домашнее задание. Слайд № 44.
Дифференцированная домашняя работа:
на оценку «3» исследовать функцию f(х) = х + 5;
на оценку «4» исследовать функцию f(х) = х2 – 5х + 6;
на оценку «5» исследовать функцию f(х) = √(х–2) 2.
12