Конспект урока на тему "Исследование функций"

Урок по теме: «Исследование функций» Апостолов Дмитрий Иванович преподаватель математики «Климовского аграрно­ транспортного техникума»       Продолжительность урока: 2 урока по 45 минут.       Цель урока: обобщение и систематизация знаний по данной теме.       Задачи урока:         Образовательные − обобщить и систематизировать знания обучающихся по данной теме; формировать у обучающихся умения исследовать функции; отработать  навыки построения графиков функций;      Развивающие  −  развитие умений применять теоретические знания при  исследовании функций; развитие исследовательских умений, навыков  самостоятельной работы, развитие умения рассуждать, сравнивать, обобщать,  формулировать выводы, развитие мышления, памяти, внимания и математического  кругозора;      Воспитательные  −  воспитание воли и упорства для достижения конечного  результата; воспитание познавательной активности, аккуратности при построении  графиков, прививать интерес к предмету математики, воспитывать сознательное  отношение к обучению, самостоятельности.        Формы организации урока:  фронтальная, индивидуальная, групповая.            Оборудование:  компьютер,   мультимедийный   проектор,   экран,   тесты,   схемы исследования функций. План урока 1. Организационный момент. 2. Актуализация знаний: 1) фронтальная беседа по вопросам; 2) кроссворд; 3) тест. 3. Проверка домашнего задания: 1) устная работа по графику; 2) работа с учебником; 4. Защита проектов. 5. Обобщение знаний по теме «Исследование функций»: 1) задание с ошибкой; 1 2) работа по графикам; 3) задания по карточкам сборника ЕГЭ. 6. Подведение итогов урока.  7. Домашнее задание.                          Ход урока 1. Организационный момент Слайд № 1    Преподаватель: Сегодня на уроке мы обобщим знания о функции, закрепим  свойства функций и применим эти свойства для исследования функций и  построения графиков. Тема урока: «Исследование функций»  Слайд № 2       Эпиграфом к уроку служат слова французского философа­материалиста, атеиста  Дени Дидро (1713­1784) − современника Декарта и Лейбница.  «Начинать исследования можно по­разному… Всё равно начало почти всегда  оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть  истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится  известным лишь после того, как мы используем все пути. Каму­то  приходится, рискуя собой, сходить с проторённой дороги, чтобы указать другим  правильный путь… На пути к истине мы почти всегда обречены совершать  ошибки». (Дени Дидро) 2.  Актуализация знаний 1) Фронтальная беседа по вопросам   Преподаватель: Для того, чтобы исследовать функцию и строить её график нам  необходимо повторить определение функции и вспомнить, что является графиком       функции. Ответьте на вопросы: Слайды  № 3­4    1. Что называется функцией? 2. Что называется графиком функции? 3. Какие из линий, изображённых на рисунке являются графиками функций? 2 Слайд № 5    2) Кроссворд      Преподаватель: А теперь давайте разгадаем кроссворд. Обучающиеся  самостоятельно работают по кроссворду. На вопросы 1,2,3 и 4 кроссворда отвечают обучающиеся 1 варианта, а на вопросы 5, 6, 7 и 8 −обучающиеся 2 варианта. Для  проверки обмениваются тетрадями в паре. Далее идёт обсуждение под  руководством преподавателя.                                                   6                    5                   2 7 8 1                                                             3                                                                                  4 1. Графиком функции у = х2 является … Вопросы 2. Вертикальную координатную прямую называют … 3. Графиком функции у = 1/х является … 4. Зависимость, при которой каждому значению х ставится в соответствие  единственное значение у называется … 5. Множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у = f(х), а х  «пробегает» всю область определения функции f. 6. Графиком функции у = кх + в является … 7. Горизонтальную координатную прямую называют … 3 8. Ось х и ось у называют осями … 3) Тест  Преподаватель: Какие свойства функций вы знаете?  Давайте вспомним  определения этих свойств, для этого проведём тест.  Преподаватель раздаёт тесты обучающимся. Задания тестов дифференцированные.  Обучающиеся работают самостоятельно, затем сверяют свои ответы с правильными  ответами, представленными на слайде №6. Тест Вариант 1 1. Функция f(х) возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2  из множества Р  таких, что х2  > х1  выполняется неравенство А) f(х2) < f (х1); Б) f(х2) > f (х1); В) f(х2) = f (х1). 2. Функция f(х) называется нечётной, если для любых х из её области определения  А) f(­ х) = f (х); Б) f(­ х) = ­ f (х); В) f(х) > ­ f (х). 3. Точка х0 называется точкой максимума функции f(х), если для всех х из  некоторой окрестности х0 выполнено неравенство А) f(х) ≤ f(х0); Б) f(х0) ≤ f(х); В) f(х) = f(х0). 4. Период функции у = sin 2х равен А) 4 ;π ;π Б)  В) 2 .π 5. График чётной функции симметричен А) относительно оси ОХ(оси абсцисс); Б) относительно начала координат; 4 В) относительно оси ОУ(оси ординат). Вариант 2 1. Функция f(х) убывает на множестве Р, если для любых х1 и х2  из множества Р  таких, что х2  > х1  выполняется неравенство А) f(х2) < f (х1); Б) f(х2) > f (х1); В) f(х2) = f (х1). 2. Функция f(х) называется чётной, если для любых х из её области определения  А) f(­ х) = ­ f (х); Б) f(­х) =  f (х); В) f(х) < ­ f (х). 3. Точка х0 называется точкой минимума функции f(х), если для всех х из  некоторой окрестности х0 выполнено неравенство А) f(х) ≥ f(х0); Б) f(х0) ≤ f(х); В) f(х) = f(х0). 4. Период функции у = cos 3х равен А) 3 ;π ;π Б)  В) 2 /3.π 5. График нечётной функции симметричен А) относительно оси ОХ(оси абсцисс); Б) относительно начала координат; В) относительно оси ОУ(оси ординат). Вариант 3 (для слабых обучающихся) 1. Функция заданная формулой f(­х) = ­f(х) является А) чётной; Б) нечётной; В) ни чётной, ни нечётной. 2. На рисунке изображен                                                        у 5 А) минимум функции; Б) максимум функции; В) ни максимум, ни минимум. 3. Функция у = х2 является А) четной функцией; Б) нечётной; х В) ни чётной, ни нечётной.                                                    у 4. График, изображенный на рисунке А) возрастает                                                                                                          х Б) убывает;                                                                                                                 В) ни возрастает, ни убывает.                                                        5. График чётной функции симметричен относительно А) оси абсцисс (оси ОХ); Б) начала координат; В) оси ординат (оси ОУ).      3. Проверка домашнего задания       Преподаватель: Дома вы должны были используя схему исследования функции    построить график этой функции и наоборот, по графику определить свойства этой  функции. Давайте проверим, как вы справились с домашним заданием. А по какой  схеме исследования функций вы работали?       Обучающиеся по цепочке называют схему исследования функции, а затем     преподаватель демонстрирует данную схему на экране. Слайд № 7. Схема исследования функций 1. Найти область определения функции. 2. Определить чётность или нечётность функции, периодичность. 3. Найти координаты точек пересечения графика с осями координат. 4. Найти промежутки знакопостоянства функции. 5. Определить промежутки возрастания или убывания функции. 6. Найти точки экстремума функции, вид экстремума (максимум или минимум) и  значения функции в этих точках. 6 7. Найти область значений функции. 8. Построить график функции.     Задание 1. (работа по цепочке)  С   лайд № 8­9 Преподаватель:   Проведём   по   общей   схеме   исследование   функции,   заданной графиком.                   Далее работаем по учебнику:  № 94(а, б, в).  Слайд  № 10        Задание 2.  Постройте график функции f, если известны её свойства.    7 4.  Защита проектов.   Преподаватель: Мы с вами исследовали функции, заданные графиком и строили  графики функций, используя свойства. Можно исследовать функции, которые  заданы только одной формулой.      На дом вам была задана исследовательская работа по исследованию функций,  которые заданы аналитически, т. е. с помощью формулы. Вся группа обучающихся  была разбита на 5 подгрупп. У каждой подгруппы было своё индивидуальное  задание (задания для групп подбирались различных уровней сложности).     Ваша задача состояла в том, чтобы, используя алгоритм исследовательской  деятельности определить, что является графиком каждой из функций. Для этого,  вы, работая в группе, формировали цели исследования, выдвигали гипотезы,  проверяли их, используя схему исследования функций, делали вывод по  результатам исследовательской работы и подводили итоги в виде составления  8 презентации. Т. е. вы работали над проектом. Ну, а сегодня давайте посмотрим, что  у вас получилось. Для этого представьте свой проект на наше рассмотрение.  Итак, тема проекта: «Построение графиков функций по общей схеме  исследования».  Алгоритм исследовательской деятельности:  Создать проблемную ситуацию. 1. 2. Сформулировать цель исследования. 3. Выдвинуть гипотезу о том, что является графиком данной функции и сделать  схематический чертёж. 4. Провести исследование функции по общей схеме исследования. 5. Сделать вывод по результатам исследовательской работы.          Слайд 11        Задание группе №1. Построить график функции f(х) = 2х – 6, используя схему       исследования. Слайд 12­14    Задание группе №2. Построить график функции f(х) = х3 – 1, используя общую схему  исследования.   Слайд 15­20.    Задание группе №3. Построить график функции f(х) = х2 – 4х, используя общую  схему исследования.  Слайд 21­28   Задание группе №4. Построить график функции f(х) = √(х–3), используя общую схему исследования.  Слайд 29­34    Задание группе №5. Построить график функции f(х) = |х| + 1, используя общую схему исследования.  Слайд 35­40      Вывод. Итак, исследовательские проекты показали, что вы уметь применять общую  схему исследования к любой функции.   5. Обобщение знаний по теме.        Обобщёние знаний проводим в форме фронтальной беседы. 1) Задание с ошибкой. (задание записано на доске)  Найдите все ошибки в исследовании функции f(х) = 5 – 2х.  1. Область определения функции (­∞; 5) U (5; +∞).             Ответ: (­∞; +∞). 2. f(­ х) = 5 – 2(­х) = 5 – 2х. – чётная.                                     Ответ: ни чётная, ни  нечётная.     Функция не периодическая. 9 3. Пересечение с осью:     а) с осью ОХ, у = 0.                             б) с осью ОУ, х = 0         5 – 2х = 0,  х = 2,5.                               у = 5 – 2 ∙ 0 = 0.       Ответ: б) у = 5.         (0; 2,5).                                                  (0; 5). 4. Промежутки знакопостоянства:    f(х) > 0,   5 – 2х > 0,  х < 2,5;      х  (­∞; 2,5); f(х) < 0,   5 – 2х < 0,  х > 2,5;      х   (­∞; 2,5). Ответ: х € (2,5; +∞). 5. Функция возрастает при х принадлежащем промежутку (­∞; +∞).    Ответ: убывает. 6. Точек экстремума нет. 7. Область значений  (­∞; +∞).                                                                       у                                                                              5                                                                                  2,5 х 2) Работа по таблице Слайд № 41.  Среди данных графиков найти тот, который соответствует следующему описанию:  яблоко растёт, затем его срывают и сушат. На весь этот процесс уходит х дней.  Найдите в таблице график, описывающий зависимость массы яблока у от х. 10 3) Задание по карточкам сборника ЕГЭ (2007 г.)  Слайд № 42. Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [­ 5; 4]. Укажите  область ее значений. 1. [­5; 0]; 2. [­5; 0); 3. (­5; 0); 4. [­5; 4). Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [­2; 4]. Укажите  область ее значений. 1. [0; 3]; 2. [0; 2) U (2; 3]; 3. (0; 2); 4. (0; 3). Функция y = f(x) задана графиком на [­4; 0) U (0; 3]. Укажите  область ее значений. 1. [1; 3]; 2. [1; + ); 3. [1; 2) U (2; + ); 4. [0; + ). Функция y = f(x) задана графиком на отрезке [­5; 3). Укажите  область ее значений. 1. [1; ­2]; 2. [1; ­2) U (­2; 5]; 3. (­2; 1]; 4. [­5; 1].   6.  Итоги урока.      Итак, сегодня на уроке мы с вами исследовали функции, заданные различными  способами, применяя общую схему исследования.  11 Далее проводим рефлексию. Слайд № 43.   Я доволен своей работой на уроке – поднять красную карточку.   Я хорошо работал, но умею ещё лучше – поднять зелёную карточку.   Работа не получилась, я не доволен собой – поднять синюю карточку. 6. Домашнее задание. Слайд № 44. Дифференцированная домашняя работа:     на оценку «3» исследовать функцию f(х) = х + 5;     на оценку «4» исследовать функцию f(х) = х2 – 5х + 6;     на оценку «5» исследовать функцию f(х) = √(х–2) ­ 2. 12