Конспект урока на тему "Квадратное уравнение и его корни" 8 класс

У р о к  1 (50) КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ Цели:  ввести   понятие   «математическая   модель»,   составить алгоритм   решения   задач   алгебраическим   методом;   формировать умение составлять квадратное уравнение по условию задачи и решать его,   закреплять   навыки   решения   квадратных   уравнений;   развивать логическое мышление учащихся. Ход урока I. Организационный момент. ­ Давайте вспомним, какую тему мы с вами изучаем? ­ квадратное уравнение и его корни. ­ Мы продолжим сегодня изучение данной темы. Запишите в тетрадях число, классная работа и тему урока.   Прочитайте,   пожалуйста,   эпиграф   к   нашему   сегодняшнему уроку ­ слова немецкого писателя, поэта, критика, публициста Генриха Гессе и постарайтесь сформулировать цели Всякая хорошо решенная  математическая  задача  доставляет умственное  наслаждение.                                     Г. Гессе ­ прежде, чем мы приступим к реализации поставленных целей, давайте   повторим   и   проверим   уже   имеющиеся   знания   по данной теме. II. Математический диктант. В а р и а н т  1 1. Запишите пример неполного квадратного уравнения, 2. Запишите, чему равен второй коэффициент квадратного уравнения 2х2+х­3=0. 3. Запишите, чему равны: a, b, c в уравнении: ­ 3х2 + 5х = 0. 4. Сколько корней может иметь неполное квадратное вида ах2 + с = 0? 5. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант положительный? 6. Напишите формулу дискриминанта квадратного уравнения. 7. Сколько корней имеет уравнение вида ax2=0? 8. Сколько корней имеет уравнение х2+3х+3=0? В а р и а н т  2 Запишите пример приведённого квадратного уравнения. Запишите,   чему   равен   первый   коэффициент   в   уравнении: 1. 2. ­х2 + 4х – 7 = 0. 3. 4. + bх = 0? 5. отрицательный? 6. Запишите, чему равны: a, b, c в уравнении:  5х2 ­ 8= 0.  Сколько корней может иметь неполное квадратное вида           ах2 Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант Напишите формулу корней квадратного уравнения. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант 7. равен нулю? 8. Сколько корней имеет уравнение х2­2х+2=0? Меняемся тетрадями, проверяем, оцениваем. Ответы 1 вариант 2 вариант  ­4х = 0 или 4х2 – 9 = 0. 1. 5х2 2. 1  3. ­3, 5, 0 4. два или не имеет корней. 5. два 6. D = b2 – 4ac. 1. х2 – 5х – 1 = 0. 2. ­1 3. 5, 0, ­8 4. два 5. не имеет корней. 6. х1,2= −b±√D 2a 7. один 8. не имеет корней. 7. один 8. не имеет корней. III. Объяснение нового материала. Пример 1 Произведение двух натуральных чисел, одно их которых на 5 больше другого, равно 104. Найдите эти числа. Решение: 1. Проанализируем   условие   задачи:   О   чём   говориться   в   задаче? Натуральные числа – это какие? Что должно получиться в ответе? 2. Переходим   к   построению  математической   модели  задачи: Обозначим неизвестное через х. Пусть х – меньшее число,  3. Выразим второе число через х:  тогда (х + 5) – большее число.  4. Известно, что произведение этих чисел равно 104.  5. Составим уравнение и решим его: Значит: х∙(х + 5) = 104 или х2 + 5х ­ 104 = 0 х2 + 5х ­ 104 = 0; D= (b)2 – 4ac = 52 – 4 ∙ 1 ∙ ( ­ 104) = 25 + 916 = 441 > 0;  х1 = ­ 13; х2 =  8;  6. Сопоставим полученные результаты с условием задачи:  х1 = ­ 13 – не удовлетворяет условию задачи; 1) х=8 – меньшее число 2) 8 + 5 = 13 – большее число.  Ответ: 8 и 13.   ­   Что   нового   вы   увидели   в   процессе   решения   задачи?   ­  корень уравнения,   составленного   по   условию   задачи,   может   не удовлетворять этому условию.  ­   Давайте   составим  алгоритм  решения   задачи   алгебраическим методом: 1.  Анализ условия задачи. 2. Переход   к   построению  математической   модели  задачи: Обозначить неизвестное через х. (Пусть)  3. Выразить все величины через х. (Тогда).  4. Найти взаимосвязь между величинами. (Известно).  5. Составить уравнение и решить его. (Значит). 6. Сопоставить полученные результаты с условием задачи.  (приложение1   ­   возьмите   листочки   с   алгоритмами   и   ещё   раз прочтите) Давайте   более   подробно   остановимся   на   пункте   6:   выделим несколько самых распространённых ситуаций: 1)   Корень   уравнения   является   отрицательным   числом,   когда   за неизвестное принята какая­то мера, которая может выражаться только положительным числом (н а п р и м е р, длина, площадь, объём и т. п.). 2)   Корень   уравнения   является   числом   из   более   широкого множества, чем то, которое описывается в задаче (н а п р и м е р, получено дробное число, когда в условии задачи речь идет о целых числах). 3)   Несоответствие     полученных     положительных     размеров     с реальными (н а п р и м е р, скорость пешехода равна 80 км/ч и т. п.). IV. Физминутка. V. Формирование умений и навыков. 1. № 560, № 564.№ 569. №560 Р е ш е н и е Пусть  х  см   –   ширина   прямоугольника,   тогда   (х+4)   см   –   длина прямоугольника. Известно, что площадь прямоугольника равна 60 см2. Значит:  х ∙ (х+4) = 60; х2 +4х– 60 = 0; D = 42 – 4 ∙ 1 ∙ (­60) = 256;    D > 0;    2 корня. x1 = ­10; x2 = 6. x1 = ­10 не удовлетворяет условию задачи. 1) х=6 – ширина 2) 6+4=10 – длина 3) Р=2*(10+6)=32 О т в е т: 32 см № 564. Пусть х – одно число,  тогда  (х + 1) – другое число. Известно, что произведение этих чисел на 109 больше их суммы. Значит: х∙(х + 1) = 109+х+х+1 х2 – х – 110 = 0; D= (b)2 – 4ac = 12 – 4 ∙ 1 ∙ ( ­ 110) = 441 > 0;  х1 = 11; х2 = ­ 10­ не удовлетворяет условию; 1) х =  11 – первое число;  2) 10+1=12 – второе Ответ: 11 и 12. № 569. Пусть  х  обезьян   было   в   стае,   тогда   ( 1 8 х)2  –   резвилась   в   лесу. Р е ш е н и е Известно, что 12 обезьян – на вершине холма. Значит:    х 8 2    12 х х²­64х=­768 Х² ­64х +32²=­768 +32² (х­32)² = 256 х­32=±16  х= 48  или х= 16 VI Слайды (устно +С.р.)  VII. Итоги урока. В о п р о с ы   у ч а щ и м с я: – Что понимается под математической моделью текстовой задачи? –   Расскажите   алгоритм   решения   задачи   алгебраическим   методом выделяют? –   Приведите   примеры,   когда   полученное   решение   противоречит условию задачи. Домашнее задание: № 562, № 567. Приложение 1.  Алгоритм  решения задачи алгебраическим методом: 1.  Анализ условия задачи. 2. Построить математическую модель задачи:  Обозначить неизвестное через х. (Пусть)  3. Выразить все величины через х. (Тогда).  4. Найти взаимосвязь между величинами. (Известно).  5. Составить уравнение и решить его. (Значит). 6. Сопоставить   полученные   результаты   с   условием задачи. Приложение 1.  Алгоритм  решения задачи алгебраическим методом: 1.  Анализ условия задачи. 2. Построить математическую модель задачи:  Обозначить неизвестное через х. (Пусть)  3. Выразить все величины через х. (Тогда).  4. Найти взаимосвязь между величинами. (Известно).  5. Составить уравнение и решить его. (Значит). 6. Сопоставить   полученные   результаты   с   условием задачи.