Конспект урока на тему "Независимые повторения испытаний с двумя исходами" (11 класс)

Название предмета: алгебра и начала анализа Класс: 11 УМК: 1. Мордкович А. Г.Математика: алгебра и начала математического анализа,  геометрия.  10 – 11 классы. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч.1.  Учебник для учащихся общеобразовательных организаций (базовый уровень) / А. Г.  Мордкович, П. В. Семенов. ­ 2­е изд., стер. ­  М. : Мнемозина, 2014. 2. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 10 – 11 классы.  Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся  общеобразовательных организаций (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. ­ 2­е изд., стер. ­  М:.  Мнемозина, 2014. Уровень обучения: базовый Тема: Независимые повторения испытаний с двумя исходами Общее количество часов, отведенное на изучение темы: 3 Место урока в системе уроков по теме: 1 Тип урока: объяснение нового материала Цель урока:  ознакомление   обучающихся с формулой Бернулли, её значением в теории вероятностей. Задачи: Обучающие:  ­закрепить знания и умения решать комбинаторные задачи;  ­ формировать навыки применения схемы Бернулли при решении задач; Развивающие:  ­формировать   у   обучающихся   единую   научную   картину   мира   и   элементы   научного мировоззрения   путем   исследования   межпредметных   связей   теории   вероятностей   и различных наук; ­формировать вероятностно­статистическое мышление обучающихся;  Воспитательные: ­ развитие самостоятельности и навыков самоконтроля. ­мотивация учащихся к изучению тем теории вероятностей. Планируемые результаты: ­ решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с  использованием  известных формул; ­ вычислять, в простейших случаях, вероятности событий на основе подсчета числа  исходов; ­формулировать схему Бернулли; ­ применять теорему Бернулли при решении задач. Техническое обеспечение урока: компьютер, мультимедиапроектор, презентация. ХОД УРОКА I. Организационный момент. Приветствие. Проверка присутствующих. II. Актуализация знаний  Фронтальный опрос. 1. Что называется факториалом числа n?  2.   Сколькими   способами   можно   расставить   5   различных   книг   на   полке? 3.   Сколькими   способами   можно   распределить   I,   II,   III   места   между   8   участниками соревнования? 4. Сколькими способами можно составить график дежурства 3 учащихся из 6?  5. Что мы называем вероятностью случайного события? 6. Сформулируйте классическое определение вероятности. III. Изучение нового материала При практическом применении теории вероятностей и математической статистики часто приходится   встречаться   с   задачами,   в   которых   один   и   тот   же   опыт   повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие A, причем нас интересует не результат каждого опыта, а общее число появлений события A в серии опытов. Например, если производится серия выстрелов по одной и той же цели, то нас, как правило, интересует не результат каждого отдельного выстрела, а общее число попаданий.   При   этом   результаты   предыдущих   опытов   никак   не   сказываются   на последующих. Такая   стандартная   схема   часто   встречается   и   в   самой   теории   вероятностей.   Она называется схемой независимых испытаний или схемой Бернулли.  Несколько   опытов   называются  независимыми,   если   вероятность   исхода   каждого   из опытов   не   зависит   от   того,   какие   исходы   имели   другие   опыты.   Например,   несколько последовательных   бросаний   монеты   –   это   независимые   опыты.   Несколько последовательных выниманий карты из колоды – независимые опыты при условии, что вынутая карта каждый раз возвращается в колоду и карты перемешиваются. В противном случае – это зависимые опыты.  Швейцарский математик XVII в. Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа   в   единую   вероятностную   задачу­схему   (работа   "Искусство   предположений" опубликована в 1713 году). Википедии: Пару о ЯЯ коб Берн лли (нем. JakobBernoulli, 27 декабря 1654, Базель, — 16 августа 1705, там же) — швейцарский математик. Один из основателей теории вероятностей и математического анализа. Старший брат Иоганн Бернулли, совместно с ним положил начало вариационному исчислению.   Доказал   частный   случай   закона   больших   чисел   —   теорему   Бернулли. Профессор   математики   Базельского   университета   (с   1687   года).   Иностранный   член Парижской академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701).  Схема Бернулли.  Рассматривают   независимые   повторения   одного   и   того   же   испытания   с   двумя возможными исходами, которые условно называют «успех» и «неудача». Требуется найти вероятность того, что при n  таких повторениях произойдет ровно к «успехов». Необходимо   подчеркнуть   еще   раз   три   условия,   которым   должна   удовлетворять   схема Бернулли: 1) у каждого испытания должно быть два исхода, называемых  «успех» и «неудача»;  2) в  каждом опыте вероятность события   А должна быть неизменной;   3) результаты опытов должны быть независимыми. Учитель:  Для  получения численных значений в таких задачах  необходимо заранее знать вероятность   «успехов» и «неудач». Обозначив вероятность «успеха»   p, а вероятность «неудач»  q, где  q = 1­  p,   Бернулли доказал замечательную теорему: Пусть вероятность появления события А в каждом опыте постоянна и равна p. Тогда  вероятность того, что в  n независимых испытаний событие А появится ровно k  раз,  вычисляется по формуле: Pn(k)=Cn где  Cn IV.  Закрепление.  k  ­ число сочетаний, q = 1­  p. kpkqn−k, великом   математики   из уЯ   слов 1. Работа в парах.        А теперь перейдем к работе в парах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в тетрадях и рассказать о проделанной  совместной  работе. Листочки  с заданиями  на столах. Помогайте друг другу при решении. (Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь). Объясните, почему следующие вопросы укладываются в схему Бернулли. Укажите, в  чем состоит «успех» и чему равны n и k.   а)   Какова   вероятность   трехкратного   выпадания   «четверки»   при   девяти   бросаниях игрального кубика? б) В черном ящике находятся 10 белых, 4 красных и 6 синих шаров. Шары извлекаются, записывается их цвет и возвращаются обратно. Какова вероятность того, что все из   20 извлеченных красными? в) Какова вероятность того, что при ста бросаниях монеты «решка» появится 62 раза? г) Двадцать раз подряд бросили пару игральных кубиков. Какова вероятность того, что сумма восьми? д) Из колоды в 36 карт вытащили три карты, записали результат и возвратили их в колоду, затем карты перемешали. Так повторялось 4 раза. Какова вероятность того, что каждый раз среди вытащенных карт была дама пик? 2.  Закрепление теоремы Бернулли. шаров будут очков равна была разу ни     не               P4(3)=C4 ;q=1 2   (противники равносильны).  и  P8(5). Задача 1. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 из 8? Решение: p=1 2 Необходимо сравнить  P4(3) 3∙0,53∙0,51=4∙(0,5)4=1 4 ∙(0,5)8= 7 5∙0,55∙0,53=5!∙6∙7∙8 32 5!∙2∙3 P8(5)=C8 Итак, P4(3)≥P8(5). Задача 2. Четыре студента, готовясь к экзамену, выучили только 5 билетов из 20. Сдавать ; . экзамены они будут в разных аудиториях. Какова вероятность того, что: А) все четыре друга сдадут экзамен? Б) никто из студентов не сдаст экзамен? В) сдадут экзамен 3 из 4­х студентов? Г) сдаст экзамен хотя бы один из студентов? Решение: n=4; p= 5 20 =1 4 ; А)  P4(4)=( 1 4)4 = 1 256 . . Б)  P4(0)=( 3 4)4 = 27 256 ∙( 3 В)  P4(3)=4∙( 1 4)3 4)1 = 3 64 256= 229 Г)  1−P4(0)=1− 27 . 256 . 3.  Самостоятельное решение задачи. Какова вероятность того, что при 8 бросании монеты выпадет: 1) Ровно 5 раз – орел; 2) Поровну орлов и решек? Решение: 1) P8(5)= 7 ; 32 2) P8(4)= 35 128 . V. Заключительное слово учителя. Подведение итогов урока.     Ученики проговаривают, что нового узнали на уроке, отвечая на вопросы: 1.Какие ключевые слова урока можно выделить? Объясните их значение. 2.Какой ключевой факт сегодня изучен? 3.Что общего и в чем отличие статистики и вероятности?         Учитель оценивает работу ребят.  При выходе из кабинета каждый ученик выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписями “всё понятно и усвоено”, “трудно и не всё понятно”, “не понятно и не усвоено”, и опускает в соответствующий конверт. VI. Домашняя работа: 1). Доклад на тему «Семейство Бернулли». 2). §54, № 54.2, 54.5