Конспект урока на тему "Понятие первообразной" (11 класс)

Конспект урока Тема: Понятие первообразной Класс: 11 Тип урока: урок ознакомления с новым материалом, урок­практикум № урока: первый Цели урока: Образовательные:   создавать   условия   для   введения   определения   первообразной   и основного свойства первообразной;  учиться пользоваться определением;  учиться пользоваться основным свойством первообразных. Развивающая:  развивать мыслительную деятельность учащихся, основанную на операциях сравнения и систематизации;  развивать внимательности, вычислительных навыков;  развивать математическую грамотность. Воспитательные:   воспитывать   культуру   мышления,  чувство   ответственности   за результат своей работы. Этапы урока: 1. Организационный момент (1 мин) 2. Актуализация знаний и умений (4 мин) 3. Изучение нового материала (13 мин) 4. Закрепление изученного материала (18 мин) 5. Домашнее задание (1 мин) 6. Итог урока (3 мин) Ход урока 1. Организационный момент.  Деятельность учителя Приветствие учащихся.  Проверка готовности к  уроку. Деятельность учащихся Дети рассаживаются по  местам. Проверяют наличие  принадлежностей. 2. Актуализация знаний и умений. Деятельность учителя Деятельность  учащихся Познавательные УУД Познавательные УУД Задание 1. Найдите  производные (устно). Учащиеся устно  находят производные Логические: синтез — составление (C)'=0 (C)'=¿ x (¿¿2)'=¿ ¿ (lnx)'=¿ x sin¿'=¿ ¿ (ex)'=¿ (x2 2 +tgx)' =¿ =x+ 1 cos2x целого из частей, в том  числе самостоятельное  достраивание с  восполнением  недостающих  компонентов. x (¿¿2)'=2x ¿ (lnx)'=1 x x sin¿'=cos⁡x ¿ (ex)'=ex (x2 2 +tgx)' Учащиеся открывают  тетради записывают  число, классную работу  и тему урока. Хорошо  поработали устно. А  теперь открываем  тетрадки записываем  число, классная работа и тема нашего сегодня  урока "Первообразная".  Сегодня мы дадим  определение  первообразной, введем  основное свойство и  закрепим знания на  практике. 3. Изучение нового материала.  Деятельность учителя В математике  существуют взаимно­ обратные операции и  действия. Сейчас мы с Вами  заполним таблицу, где  будем указывать для  операций и действий  обратные. Прямая Деятельность учащихся Учащиеся заполняют  таблицу. Познавательные УУД Обратная Возведение в квадрат х2 Синус угла sinα=a Дифференцирование  (xn)'=nxn−1 Извлечение из корня √х Арксинус числа arcsina=α,α∈[−1;1] Интегрирование ∫nxn−1dx=xn+C Извлечение из корня Арксинус операция отыскания  функции f'(x) по  заданной функции f(x) дифференцирование Да Назовите обратную  операцию для возведения в квадрат. Существует действие  нахождения sin числа: sinα=a . Существует ли  обратное действие? Какое? Дифференцирование ­  это? Операция нахождения  производной – это? Как вы думаете,  существует ли обратная  операция  дифференцированию? Действительно, обратная операция существует. Ее   называют  интегрированием.  Интегрирование функции  f(x) ­ это операция  отыскания для данной  функции f(x)) так  называемой первообразной  функции.  Определение.  Первообразной называют  такую функцию F(x), по  отношению к которой  исходная функция f(x)  является производной: F(x) f(x)= d dx Существует и другое  определение, которое вы  должны найти в учебнике и затем дома выучить. Задание (работа с  учебником) Работаем с учебником.  Находим определение в  учебнике. Читаем. Или  в  ресурсах Интернета. Если мы раньше  отыскивали по заданной  функции f(x) производную  функцию f'(x), то теперь мы будем рассматривать  функцию, когда заданная  функция f(x) сама является производной некоторой  функции F(x). Например, функция  F(x)=sin x является  первообразной функции  f(x)=cos x, так как  (sinx)'=cos x, функция F(x)=x4 4 первообразной функции   является  f(x)=x3, так как  (x4 4)' =x3. Задание. Показать,  что функция F(x) является  первообразной для  Общеучебные:  поиск и выделение  необходимой  информации;  применение методов  информационного  поиска, в том числе с  помощью компьютерных средств Учащиеся находят  определение,  записывают в тетрадь и  зачитывают. Определение из  учебника.   Функция F(x)  называется  первообразной функции  f(x) на некотором  промежутке, если для  всех x из этого  промежутка F'(x)=f(x).  Учащиеся записывают  пример в тетрадь. Логические:  сравнение данных; подведение под понятие – распознавание объектов, выделение  существенных признаков и их синтез. Учащиеся  высказывают свои  выводы. функции f(х): F(x)=sin2x+2, f(x)=2cos2x, F(x)=sin2x+9, f(x)=2cos2x. Сравнивая данные  примеры, какие можно  сделать выводы?  Сравнивая можно  сделать вывод, что для  F(x)=sin2x+C  первообразной будет  любая функция, где  С=const. Данную запись  первообразной  F(x)=sin2x+C будем  называть общим видом  первообразной. Основное   свойство первообразных. Если  F(x)– первообразная для функции  f(x)  на некотором промежутке, то функцияF(x)+C  также является   первообразной функции  f(x)  на   этом промежутке, – произвольная постоянная. Выбором С можно    где      C  добить того, чтобы график  первообразной проходил  через данную точку. Пример. Для  функции f(x)=x найти  Учащиеся  записывают пример в  тетрадь. такую первообразную,  график, которой проходит  через точку (2;5). Решение. Все первообразные  функции f(x)=x находятся  по формуле  F(x)=x2 2 +C   ­ общий вид, так как  F'(x)=x. Найдем число С,  такое, чтобы график  функции  y=x2 2 +C   проходил через точку (2;5). Подставляя х=2, у=5,  получаем  5=22 2 +С,   откуда С=3.  Следовательно, мы  получили частный вид  первообразной: F(x)=x2 2 +3. Задание.  Составить план   решения   работы   по данному примеру.  Учащиеся  составляют план. 1. Находим общий  вид первообразной. Общеучебные:  структурирование  знаний. Логические: Составление плана  решения. 2. Находим С,  подставляя известные х и у в первообразную. 3. Выражаем С. 4. Подставляем С в общий вид. 5. Получаем  частный вид  первообразной.  4. Закрепление изученного материала. Деятельность учителя Деятельность учащихся Познавательные УУД Перейдем к  закреплению. Открываем  учебники.  стр. 293, №983.  1) (учитель у доски) Читаем задание. Т.е.  мы должны найти  исходную функцию. Для  этого мы найдем  производную  первообразной. Находим  производную. F'(x)=6x5 Проанализируем  6 =x5=f(x) нашу полученную  функцию. Будет ли она  являться первообразной на  R. Отсюда следует, что  является  F(x) первообразной на R. 2)  Что мы должны  сделать для того, чтобы  выполнить задание? Ученики открывают  учебники, выполняют  задания. Учащиеся записывают. Да. Учащийся у доски Найти производную  первообразной. F'(x)=5x4 5 +0=x4=f(x) Отсюда следует,  что  F(x)  является №985. 1) (учитель у доски) Для того, чтобы  5 −¿   доказать что  x5 является первообразной  для х4. Необходимо найти  производную  первообразной. Это мы  умеем делать. Тем самым доказали, осталось найти все  первообразные/написать  общий вид для этого мы  должны добавить С­const.  Получим следующее  равенство: 5 +C F(x)=x5 2) ­ Первое, что мы  делаем? Для чего мы ее  находим? ­ Далее, что мы  делаем? 3) первообразной на R. Учащиеся диктуют. (x5 5)' =1 5 ∙5x4=x4 Учащийся у доски Находим производную. Для того, чтобы  доказать что эта та  первообразная. (x4 4)' =1 4 ∙4x3=x3=f(x) Записываем общий вид. Общий вид: F(x)=x4 4 +C Учащиеся выполняют  самостоятельно. =−2x−3 Общий вид:  (−x−2 2 )' −2 =x−3=f(x) №986.  1)  Почему по этой? Общеучебное: Осознанное и  произвольное  построение речевого  высказывания в устной  форме. Логические: Осуществление плана  решения. 2 +C F(x)=−x−2 Учащийся у доски. Учащийся  объясняет по примеру. Сначала, находим  все первообразные  функции f(x)=x. Они  находятся по формуле: F(x)=x2 2 +C   ­общий вид записали. т.к. F'(x)=f(x) Затем находим  точку С, подставив  точку (­1;3). Подставляя  х=­1, у=3. Получаем ,F(x)=x2 2 +5 2 2 +С,С=5 2 3=12 и тем самым нашли  частный вид. Деятельность учащихся Учащиеся открывают  дневники, записывают домашнее задание. Познавательные УУД Общеучебные: установление  причинно­ следственных связей; построение  логической цепи  рассуждений. 5. Домашнее задание.  Деятельность учителя Открываем дневники и  записываем домашнее  задание. §54(учить), № 984 (1),  986(2), 987 Дополнительное  задание. Самостоятельно  попытайтесь выполнить  задание. На рисунке изображён  график функции y = F(x) —  одной из первообразных  функции f(x), определённой на интервале (−2; 6). Найдите количество решений  уравнения f(x)=0 на отрезке  [−1; 5]. 6. Итог урока. ­ Первообразной называют? ­ Как звучит основное свойство первообразной? ­ Мы много говорили о производной и первообразной. Что делает  производная? Она «производит» новую функцию на свет. А что же делает  первообразная? Выставление оценок.