Конспект урока "Некоторые свойства прямоугольных треугольников"

Урок начинаем с повторения того, какой треугольник называют прямоугольным, а также теоремы о сумме углов треугольника. После знакомимся с тремя свойствами прямоугольных треугольников  и их доказательствами. А затем решаем задачи на эти свойства. Конспект урока "Некоторые свойства прямоугольных треугольников"    Вспомним, что прямоугольным называют треугольник, который содержит прямой угол. Две стороны, образующие прямой угол, называют катетами, а противолежащую сторону - гипотенузой прямоугольного треугольника. Теорема: Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Свойство: Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. Доказательство: Пусть АВС - прямоугольный треугольник, у которого ∠С=90 градусов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то: Что и требовалось доказать. Свойство: Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.Пусть АВС - прямоугольный треугольник, у которого ∠С=90 градусов, а ∠А=30 градусов. А тогда по теореме о сумме углов треугольника ∠В=60 градусов. Докажем, что катет ВС равен половине гипотенузы АВ. Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АСD следующим образом: Получили, что у треугольника АВD все углы равны по 60 градусов, то есть он является равносторонним. Получаем: Что и требовалось доказать. Свойство: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусов. Доказательство: Пусть АВС - прямоугольный треугольник, у которого катет ВС равен половине гипотенузы АВ. Докажем, что угол ВАС=30 градусов.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АСD следующим образом: Получили равносторонний треугольник АВD. Известно, что все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам. Полуаем: Что и требовалось доказать. Пример. Сумма гипотенузы и катета, лежащего против угла в 30 градусов, равна 15 сантиметров. Найти длину гипотенузы.Пусть АВС - прямоугольный треугольник. ∠А=30 градусов. Получим: Подставим это в предыдущее равенство и получаем: Пример. В прямоугольном треугольнике АВС, ∠С=90 градусов, а ∠ВАС=60 градусов. Найти длину катета ВС,  если высота СD треугольника АСВ равна 5 сантиметров. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. ∠АСВ=90 градусов, ∠ВАС=60 градусов. А так как  сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, то ∠АВС=90­60=30 градусов. Рассмотрим треугольник ВСD, который является прямоугольным, так как СD - высота и ∠СВD=30 градусов, то катет СD лежит против угла в 30 градусов. Следовательно, по выше доказанному свойству, гипотенуза ВС=2*5=10 см. Пример. Отрезок СD - высота прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, ВС=2*ВD. Доказать, что АВ=4*ВD. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD:У него ∠ВСD=30 градусов, так как по условию ВС=2*ВD. По условию задачи ∠АСВ=90 градусов, а ∠ВСD=30 градусов, значит, ∠АСD=60 градусов. Так как СD - высота, то треугольник АСD - прямоугольный. ∠АСD=60 градусов. Следовательно,  ∠САD=30 градусов. Теперь рассмотрим треугольник АВС. У него ∠ВАС=30 градусов. Следовательно, гипотенуза АВ=2*ВС, так как катет ВС лежит против угла в 30 градусов. По условию задачи ВС=2*ВD. Получаем, что АВ=4*ВD.