Конспект урока "Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора

Этот урок посвящен знакомству с такими геометрическими телами, как шаровой сегмент,  шаровой слой и шаровой сектор. В видеофрагменте мы введем понятия шарового сегмента,  шарового слоя и шарового сектора. А также выведем формулы для вычисления их объемов. Конспект урока "Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора"    На этом уроке мы введём понятия шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. А также выведем формулы для вычисления их объёмов. Прежде чем приступить к рассмотрению данной темы, давайте вспомним, что такое шар. Определение: Итак, шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного. Причём, данная точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Самой простой фигурой, которую можно начертить, используя шар, является шаровой сегмент. Определение: Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью., проходящая через точку На экране вы видите, как секущая плоскость разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков диаметра называются высотами сегментов. Верно следующее утверждение: если радиус шара равен равна шарового сегмента можно вычислить по формуле: , перпендикулярного к секущей плоскости, , и , а высота сегмента , то объем Докажем это утверждение. Доказывать будем с помощью определённого интеграла. Проведём ось площадь перпендикулярно к плоскости . Тогда , при . Вычислим объём шарового сегмента с помощью основной формулы объёма тела. Вспомним её: . Итак, применим основную формулу для вычисления объёмов тел получаем, что объём шарового сегмента равен Что и требовалось доказать. .Заметим, что если высоту в формуле объема шарового сегмента нахождения объёма шара: заменить на , то получим формулу для А если заменить высоту объёма полушара. на радиус , то получим формулу для нахождения Кстати, в жизни нас также окружают некоторые объекты, имеющие форму очень близкую к форме шарового сегмента. В современной авиации наиболее популярны парашюты в виде сегмента. Форму шарового сегмента нередко используют и в архитектуре, интерьере, декоре.Перейдём к шаровому слою. Определение: Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. На экране вы видите изображение шарового слоя. Круги, получившиеся в сечении шара плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями – высотой шарового слоя.Нетрудно заметить, что объём шарового слоя можно вычислить, как разность объёмов двух шаровых сегментов. Объём шарового слоя, изображённого на экране, равен разности объёмов шаровых сегментов, высоты которых равны и . Если высота шарового слоя равна шарового слоя соответственно, то объем шарового слоя можно вычислить по формуле: – радиусы оснований , а радиусы и Декоративная свеча может служить примером шарового слоя в жизни. И теперь перейдём к шаровому сектору. Определение: Шаровым сектором называется тело, которое получается при вращении кругового сектора с углом, меньшим 90о, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.Обратите внимание, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Причём шаровой сегмент имеет высоту шара. , а конус высоту , где – радиус Понятно, что шаровая поверхность пересекается с конусом по окружности. Радиус этой окружности равен . Если радиус шара равен шарового сектора можно найти по формуле: , а высота шарового сегмента равна , то объем Для того чтобы получить данную формулу необходимо сложить объём конуса (с вершиной O), лежащего под плоскостью, и объём шарового сегмента, лежащего над плоскостью. Большой воздушный шар имеет форму близкую к форме шарового сектора в жизни.Перейдём к задачам. Задача: радиус шара равен высота равна см. см. Вычислите объем шарового сегмента, если его Решение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сегмента. И подставим в неё радиус шара и высоту шарового сегмента. Запишем ответ. Задача: по разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью Определите объём получившегося шарового слоя. см2. Расстояние между сечениями равно и см.Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя. Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований. По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна . Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен (см), радиус второго основания равен (см). Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен Не забудем записать ответ . Задача: радиус шара равен высота шарового сегмента равна см. см. Найдите объем шарового сектора, еслиРешение: запишем формулу для вычисления объёма шарового сектора. Подставим в неё радиус шара и высоту шарового сегмента. Посчитаем. Получим, что объём данного шарового сектора равен . Запишем ответ. Итоги: На этом уроке мы ввели понятия шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора. Узнали, что шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара, заключённая между двумя параллельными секущими плоскостями. Шаровым сектором называется тело, которое получается при вращении кругового сектора с углом, меньшим 90о, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов. А также вывели формулы для вычисления объёмов этих тел.