Конспект урока "Параллелограмм и его свойства"

В этом уроке мы рассмотрим такую геометрическую фигуру, как параллелограмм. Введем понятие параллелограмма. Рассмотрим 5 свойств, которыми обладает параллелограмм, и докажем их. А также выполним несколько практических упражнений на закрепление изученного материала. Конспект урока "Параллелограмм и его свойства" На предыдущем уроке мы говорили о четырёхугольнике. Напомним, что четырёхугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. Причём никакие три точки не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются. На этом уроке мы познакомимся с новой геометрической фигурой, которую называют параллелограммом. Сформулируем определение: параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Любой параллелограмм является выпуклым четырёхугольником. Давайте посмотрим на следующие четырёхугольники. Первый является параллелограммом, так как у него противоположные стороны попарно параллельны. Следующий четырёхугольник также является параллелограммом, ведь у него противоположные стороны попарно параллельны. А вот четырёхугольник в пункте в не является параллелограммом, так как у него две стороны параллельны, а две другие – нет. У четырёхугольника в пункте г противоположные стороны попарно параллельны, а значит, он – параллелограмм. И последний четырёхугольник не является параллелограммом, так как у него стороны не параллельны. Поговорим о свойствах параллелограмма. Свойство 1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. . По определению параллелограмма стороны AB и CD параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Прямая AD, которая проходит через две соседние вершины, является секущей. А тогда углы BAD и ADC – внутренние односторонние. Нам известно, что если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна ста восьмидесяти градусам. Следовательно, . А так как эти углы являются углами при соседних вершинах параллелограмма, то свойство доказано. Свойство 2. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника. Доказательство. Рассмотрим и . Сторона – общая, как накр. лежащие при и секущей , как накр. лежащие при и секущей . по второму признаку. Что и требовалось доказать. Свойство 3. У параллелограмма противоположные стороны равны. Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и CDA. Доказывая предыдущее свойство, мы выяснили, что эти треугольники равны, то есть у них соответствующие стороны равны. И сторона AB = DC, а сторона AD = BC. Свойство доказано. Свойство 4. У параллелограмма противоположные углы равны. Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведём диагональ AC. как накр. лежащие при при и секущей , и секущей , как накр. лежащие , , следовательно, . Что и требовалось доказать. Также равенство противоположных углов параллелограмма следует из равенства треугольников ABC и CDA, которое мы доказали в предыдущем свойстве. Свойство 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть точка О – точка пересечения диагоналей AC и BD. Рассмотрим и . как противоположные стороны, как накр. лежащие при и секущей , как накр. лежащие при и секущей . по второму признаку. Следовательно, , . Что и требовалось доказать. Теперь для закрепления материала решим несколько задач. Задача. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Доказательство. Пусть ABCD – некоторый параллелограмм. Проведём, например, из вершины А биссектрису АМ. ,так как – биссектриса. как накр. лежащие при и секущей . Следовательно, . Тогда – равнобедренный. Задача. У параллелограмма сторона Решение. диагональ равна 16 см, диагональ – 10 см, а – 8 см. Найдите периметр треугольника . Рассмотрим . (см), (см), (см). (см). Ответ: 21 см.