Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"

Практическая работа  «Нахождение площади криволинейной трапеции» «Люди, незнакомые с алгеброй, не  могут представить себе тех  удивительных вещей, которых  можно достигнуть… при помощи  названной науки».  Г.В. Лейбниц. Цель работы: закрепление навыков вычисления площади криволинейной трапеции. Тип урока: практическая работа Краткие теоретические сведения: Историческая справка. Символ введен Г. Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы  «S» (первой буквы слова «сумма»). Само слово «интеграл» придумал в 1690 г. Я. Бернулли.  Вероятно, оно происходит от латинского «integero», которое переводится как «приводить в  прежнее состояние, восстанавливать». Действительно, операция интегрирования  «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой была получена подынтегральная  функция. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.  Бернулли, и с 1696 г. появилось название новой ветви математики – «интегральное  исчисление». Понятие «неопределенный интеграл» выделил Г. Лейбниц, а «определенный  интеграл» ввел К. Фурье. Связь операций дифференцирования и интегрирования независимо  друг от друга установили И. Ньютон и Г. Лейбниц». Понятие о криволинейной трапеции. Пусть на отрезке  [a;b]  оси Ох задана непрерывная функция f(x), не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком   прямыми x= a , х= b , называют криволинейной трапецией (рис.1) [a;b]  и Теорема  Если f­ непрерывная и неотрицательная на отрезке  [a;b]  функция, а F­ ее  первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции  равна приращению первообразной на отрезке  , т.е. S=F(b)­F(a) [a;b] Формула Ньютона­ Лейбница Если F­первообразная для f  на  [a;b] , то  ∫ b a f(x)dx=F(b)−F(a) Для удобства записи разность F(b)­F(a) (приращение первообразной на отрезке  принято обозначать F(x) [a;b] )  Итак, если f(x) ≥ 0 на отрезке  трапеции выражается формулой:  f(x)dx(1) S=∫ b a [a;b] , то площадь S соответствующей криволинейной Пусть f­ непрерывная на отрезке  [a;b]  функция, график которой расположен ниже оси Ох (рис.2). Значение интеграла будет отрицательным, поэтому для расчета площади криволинейной трапеции берем значение интеграла по модулю:                                          b S=|∫ a f(x)dx|(2) Рассмотрим примеры. Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2­2x+2, x=­1, x=2 и  осью Ох.  Решение: Изобразим эти линии. 2 х y 2 ­1 5 0 2 1 1 3 5 2 Площадь криволинейной трапеции найдем по формуле  Ньютона­ Лейбница. S=∫ =6 кв.ед. (x2−2x+2)dx=(x3 3 −x2+2x) ❑2 ❑−1 −1 3 −22+2∙2−( (−1)3 =23 3 −(−1)2+2∙(−1))= 8 Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x2+1  и y=­ x+3 Решение: Построим графики функций.  y=x2+1   0 x y 1 y=­x+3 x 1 2 y ­2 5 1 2 2 5 Данная фигура представляет собой разность криволинейных трапеций.  S=S2­S1 3 +(−2))=1 3 +1+ 8 3+2=6  кв.ед. (x2+1)dx=(x3 3 +x) ❑1 ❑−2 3 +1−¿( (−2)3 =13 S1=∫ ¿ 1 −2 2 +3x) ❑1 ❑−2 −12 2 +3∙1−(−(−2)2 2 +3∙(−2))= −1 2 +3+2+6=10 1 2 = S=10 1 Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2+1, y=­x+3, y=0,  2   кв.ед. 1 S2=∫ −2 (−x+3)dx=(−x2 2−6=4 1 кв.ед.  x=0. Решение: Изобразим эти линии.  Данная фигура представляет собой сумму  криволинейных трапеций.  S=S1+S2 (x2+1)dx=(x3 3 +1−¿( 03 =13 3 +0)=¿ 3 +x)❑1 ❑0 S1=∫ 1 0 кв.ед. ¿ ¿ 1 3 +1+0=1 1 3 S2=∫ 3 1 (−x+3)dx=(−x2 3 +2=3 1 3  кв.ед. 2 +3x)❑3 ❑1 = −32 2 +3∙3−(−12 2 +3∙1)= −9 2 +9+ 1 2−−3=2кв.ед. S=1 1 Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x2­5х+6  и  осью Ох. Решение: Построим график функции y=x2­5х+6. x y Данная фигура расположена ниже оси Ох, поэтому  применим формулу (2). 2,5 3 ­0,25 0 1 2 2 0 4 2 3 2 (x2−5x+6)dx|=|(x3 S=|∫ ¿|33 2 +6∙3−( 23 3 −5∙32 6 |=1 3|=|−1 ¿|2 1 2−2 2 ❑2|=¿ 2 +6x)❑3 3 − 5x2 2 +6∙2)|=|9−22,5+18−( 8 3 −5∙22 кв.ед. 6 3−10+12)|=¿ Задания для самостоятельной работы №1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=9­x2, y=0 №2. Вычислите площадь заштрихованной фигуры. №3. Вычислите площадь заштрихованной фигуры. №4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=(x­4)2, y=2x №5.  Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями f(x)=x2+2, g(x)=4­x.