Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"
Оценка 4.8

Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"

Оценка 4.8
Разработки уроков
docx
математика +1
Взрослым
06.11.2019
Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"
Практическая работа по теме "Площадь криволинейной трапеции". В работе представлены краткие теоретические сведения: историческая справка, понятие о криволинейной трапеции, теорема о площади криволинейной трапеции, формула Ньютона- Лейбница; четыре примера нахождения площади криволинейной трапеции, а также предложены пять заданий для самостоятельной работы.
площадь криволинейной трапеции.docx
Практическая работа  «Нахождение площади криволинейной трапеции» «Люди, незнакомые с алгеброй, не  могут представить себе тех  удивительных вещей, которых  можно достигнуть… при помощи  названной науки».  Г.В. Лейбниц. Цель работы: закрепление навыков вычисления площади криволинейной трапеции. Тип урока: практическая работа Краткие теоретические сведения: Историческая справка. Символ введен Г. Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы  «S» (первой буквы слова «сумма»). Само слово «интеграл» придумал в 1690 г. Я. Бернулли.  Вероятно, оно происходит от латинского «integero», которое переводится как «приводить в  прежнее состояние, восстанавливать». Действительно, операция интегрирования  «восстанавливает» функцию, дифференцированием которой была получена подынтегральная  функция. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я.  Бернулли, и с 1696 г. появилось название новой ветви математики – «интегральное  исчисление». Понятие «неопределенный интеграл» выделил Г. Лейбниц, а «определенный  интеграл» ввел К. Фурье. Связь операций дифференцирования и интегрирования независимо  друг от друга установили И. Ньютон и Г. Лейбниц». Понятие о криволинейной трапеции. Пусть на отрезке  [a;b]  оси Ох задана непрерывная функция f(x), не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком   прямыми x= a , х= b , называют криволинейной трапецией (рис.1) [a;b]  и Теорема  Если f­ непрерывная и неотрицательная на отрезке  [a;b]  функция, а F­ ее  первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции  равна приращению первообразной на отрезке  , т.е. S=F(b)­F(a) [a;b] Формула Ньютона­ Лейбница Если F­первообразная для f  на  [a;b] , то  ∫ b a f(x)dx=F(b)−F(a) Для удобства записи разность F(b)­F(a) (приращение первообразной на отрезке  принято обозначать F(x) [a;b] )  Итак, если f(x) ≥ 0 на отрезке  трапеции выражается формулой:  f(x)dx(1) S=∫ b a [a;b] , то площадь S соответствующей криволинейной Пусть f­ непрерывная на отрезке  [a;b]  функция, график которой расположен ниже оси Ох (рис.2). Значение интеграла будет отрицательным, поэтому для расчета площади криволинейной трапеции берем значение интеграла по модулю:                                          b S=|∫ a f(x)dx|(2) Рассмотрим примеры. Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2­2x+2, x=­1, x=2 и  осью Ох.  Решение: Изобразим эти линии. 2 х y 2 ­1 5 0 2 1 1 3 5 2 Площадь криволинейной трапеции найдем по формуле  Ньютона­ Лейбница. S=∫ =6 кв.ед. (x2−2x+2)dx=(x3 3 −x2+2x) ❑2 ❑−1 −1 3 −22+2∙2−( (−1)3 =23 3 −(−1)2+2∙(−1))= 8 Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x2+1  и y=­ x+3 Решение: Построим графики функций.  y=x2+1   0 x y 1 y=­x+3 x 1 2 y ­2 5 1 2 2 5 Данная фигура представляет собой разность криволинейных трапеций.  S=S2­S1 3 +(−2))=1 3 +1+ 8 3+2=6  кв.ед. (x2+1)dx=(x3 3 +x) ❑1 ❑−2 3 +1−¿( (−2)3 =13 S1=∫ ¿ 1 −2 2 +3x) ❑1 ❑−2 −12 2 +3∙1−(−(−2)2 2 +3∙(−2))= −1 2 +3+2+6=10 1 2 = S=10 1 Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2+1, y=­x+3, y=0,  2   кв.ед. 1 S2=∫ −2 (−x+3)dx=(−x2 2−6=4 1 кв.ед.  x=0. Решение: Изобразим эти линии.  Данная фигура представляет собой сумму  криволинейных трапеций.  S=S1+S2 (x2+1)dx=(x3 3 +1−¿( 03 =13 3 +0)=¿ 3 +x)❑1 ❑0 S1=∫ 1 0 кв.ед. ¿ ¿ 1 3 +1+0=1 1 3 S2=∫ 3 1 (−x+3)dx=(−x2 3 +2=3 1 3  кв.ед. 2 +3x)❑3 ❑1 = −32 2 +3∙3−(−12 2 +3∙1)= −9 2 +9+ 1 2−−3=2кв.ед. S=1 1 Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x2­5х+6  и  осью Ох. Решение: Построим график функции y=x2­5х+6. x y Данная фигура расположена ниже оси Ох, поэтому  применим формулу (2). 2,5 3 ­0,25 0 1 2 2 0 4 2 3 2 (x2−5x+6)dx|=|(x3 S=|∫ ¿|33 2 +6∙3−( 23 3 −5∙32 6 |=1 3|=|−1 ¿|2 1 2−2 2 ❑2|=¿ 2 +6x)❑3 3 − 5x2 2 +6∙2)|=|9−22,5+18−( 8 3 −5∙22 кв.ед. 6 3−10+12)|=¿ Задания для самостоятельной работы №1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=9­x2, y=0 №2. Вычислите площадь заштрихованной фигуры. №3. Вычислите площадь заштрихованной фигуры. №4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=(x­4)2, y=2x №5.  Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями f(x)=x2+2, g(x)=4­x.

Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"

Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"

Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"

Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"

Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"

Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"

Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"

Конспект урока "Площадь криволинейной трапеции"
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
06.11.2019