Конспект урока по алгебре на тему "Логарифмы" (10 класс)

Шевелева Марина Станиславовна, Шевелева Марина Станиславовна, учитель математики первой квалификационной категории учитель математики первой квалификационной категории

«Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней словно удваивает жизнь астрономов» П.С. Лаплас

Цель урока Цель урока Познакомиться с понятием  основным логарифмическим  логарифма,  тождеством;  научиться применять их на  практике

Невозможно изучить  Невозможно изучить  новое без повторения новое без повторения уже изученного уже изученного

Установите соответствие Установите соответствие  г) y = k/x  д) y = a  , a>1 x  е) y = a  1) 4) 1 у у a 2) у 5) у 1 х х 3) 6) у у х х х х

Проверьте Проверьте  а  б  в  г  д  е 2 3 5 6 1 4

Решить уравнения: Решить уравнения: 1) x = 3 2) x = ­2/3 3) Корней нет 4) 5) x ‚ =   6) ? ₁ ₂ ±2

Рассмотрим подробнее уравнение 3   = 6. x Для исследования его возможных корней, воспользуемся графическим способом. x y = 3     экспонента y = 6 горизонтальная           прямая Получили один корень Ответ:  ? 6 x₁

Решая последнее уравнение, мы столкнулись с проблемой записи полученного ответа. Прежних знаний для этого явно недостаточно. Можно оценить корень 1 < x  ₁ < 2, т.к.          3 < 3  < 9.   x чxчxx

Выводы:  • уравнение имеет один корень • корень – число  (показатель степени числа 3) Такой вывод можно сделать для любого уравнения вида            , где           ,

Для корней показательных уравнений    используют запись                    ,                 где               ­ логарифм числа b                      по основанию    . x x 1) 12  = 5;   x = log  5₁₂ 2) 4   = 9;   x = log₄ 9 3) 0,7   = 0,49;   x = log ‚ 0,49 ₀ ₇ ;   x = 2

Мы получили новую математическую модель – логарифм числа. Логарифмом числа      по основанию    называется такой показатель степени k, в который надо возвести    , чтобы  получить    , т.е. log   b = k,  Примеры:  log₂16 = 4, т.к. 2  = 16.                    log ‚ 0,09 =2,   т.к. 0,3²=0,09   ⁴ ₀ ₃

Примеры: 1) log  4 =₂ 2 натуральное число ₂ ₂  2) log  1/2 = 3) log        = 4) log  9 =₂ ­1 целое число 0,5 рациональное число иррациональное число Вывод: значение логарифма –               действительное  число.

Из определения логарифма следует: Из определения логарифма следует: a ba  b Основное логарифмиче ское тождество log 2 x 2 x  7  log 7 2 2  log 7 7 5 3 10 log 7 log 3 7 10 ,   8 5 10 8  log 10 ,

Из определения логарифма следует: Из определения логарифма следует: log log log 1aa ; 01 a a  ac ; c ; a  1 . a 0 a .1 a  c .c a

Взаимно обратные действия:  Взаимно обратные действия:  72  ;49 103  1000 ; 5 3  1 125 ; log7  49 .2 log10 1000  .3 log5 1 125  .3

Историческая справка Историческая справка    На протяжении 16 века быстро возрастало количество  приближенных  вычислений, прежде всего, в астрономии.  Совершенствование инструментов, исследование планетных  движений и другие работы потребовали колоссальных, иногда  многолетних, расчетов. Астрономам грозила реальная  опасность утонуть в невыполненных расчетах.      Проблемы возникали и в других областях, например, в финансовом и страховом деле нужны были таблицы сложных  процентов для различных значений процента.  Главную трудность представляли умножение, деление  многозначных чисел.

Историческая справка Историческая справка Логарифмы были придуманы для ускорения и  упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде  степени одного и того же основания, принадлежит  Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля  математика была не столь развита и идея логарифма не  нашла своего развития.  Логарифмы были изобретены позже одновременно и  независимо друг от друга шотландским учёным  Джоном Непером(1550­1617) и швейцарцем Иобстом  Бюрги(1552­1632). Джон Непер В1614г. была опубликована работа Непера под названием «Описание  удивительной таблицы логарифмов» Слово «логарифм» введено Непером, происходит от греческих  слов logoz и ariumoz ­ оно означает буквально “числа отношений”.

Ценность логарифмов Ценность логарифмов состоит в сведении сложных действий возведения в степень и  извлечения корня к более простым действиям ­ умножению и  делению, а последних к ­ самым простым – сложению и вычитанию.     Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление  чисел к сложению и вычитанию их логарифмов упростило жизнь  тех, кто по роду своей деятельности был связан с громоздкими  вычислениями и сложными расчетами. Палочки Непера Логарифмическая линейка

Докажите, что: Доказательст во:

Вычислите Вычислите

Вычислите Вычислите

Выясните при каких значениях xx   Выясните при каких значениях  существует логарифм существует логарифм Нет таких х

Оказывается Оказывается математическим символом соотношения формы и роста  является логарифмическая спираль раковина моллюска семена подсолнечника рога горных баранов

Оказывается Оказывается По логарифмическим спиралям закручены и многие  галактики, в том числе и Галактика, которой  принадлежит Солнечная система

Ответьте на вопросы Ответьте на вопросы 1. Где встречается понятие логарифма? 2. Для чего нужен логарифм числа в математике? 3. Действие нахождения логарифма числа называют… 4. Чему равно основание данного логарифма? log5  2 25 5.Каким числом может быть логарифм?

Домашнее задание Домашнее задание 1. Параграф 15 – выучить определение логарифма. 2. Решить в тетрадях для домашних работ:     ­ первый уровень ­ №271­273(четные), №283(2).     ­ второй уровень ­ №279­281(четные), №284(четные).