Система счисления - это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр). Задача учителя состоит в том, чтобы объяснить ребятам виды систем счисления, чем отличаются позиционные и непозиционные системы счисления, почему одну систему счисления называют двоичной, а другую десятичной?
Тема урока: Системы счисления
Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора
специальных знаков (цифр).
Запись числа в некоторой системе счисления называется кодом числа.
Отдельную позицию в изображении числа принято называть разрядом, а номер позиции
номером разряда. Число разрядов в записи числа называется разрядностью и совпадает с
его длиной.
Существуют системы позиционные и непозиционные.
В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она
занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать
два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.
Пример непозиционной системы счисления римская. В качестве цифр в римской системе
используются: I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000).
Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в
числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа
прибавляется.
Пример:
CCXXXII=232
IX =9
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее
позиции в последовательности цифр, изображающих число.
Любая позиционная сиситема характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления это количество различных знаков или
символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание можно принять любое натуральное число два, три, четыре, шестнадцать и
т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.
Примеры позиционной системы счисления двоичная, десятичная, восьмеричная,
шестнадцатеричная системы счисления и т. д.
Десятичная система счисления.
В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но
и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). Самая правая цифра числа
показывает число единиц, вторая справа число десятков, следующая число сотен и т.д.
Пример:
33310 = 3*100 + 3*10+3*1 = 300 + 30 + 3
Двоичная система счисления.В этой системе всего две цифры 0 и 1. Основание системы число 2. Самая правая цифра
числа показывает число единиц, следующая цифра число двоек, следующая число
четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное
число представить его в виде последовательности нулей и единиц.
Пример:
10112 = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=1110
Восьмеричная система счисления. В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить
каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что
для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его
на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной
цифрой.
Пример:
6118 =011 001 0012
1 110 011 1012=14358 (4 триады)
Шестнадцатиричная система счисления.
Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее
она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16
шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве
остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F.Перевод
из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогочно тому, как
это делается для восьмеричной системы.
Перевод целых чисел в другие системы счисления
Целое число с основанием 10 переводится в систему счисления с основанием 2 путем
последовательного деления числа , на основание 2 до получения остатка. Полученные
остатки от деления и последнее частное записываются в порядке, обратном полученному
при делении. Сформированное число и будет являться числом с основанием N2.Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного
ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается
значение суммы.
Пример.
а) Перевести 10101101 с.с.
101011012 = 1*2^7+ 0*2^6+ 1*2^5+ 0*2^4+ 1*2^3+ 1*2^2+ 0*2^1+ 1*2^0 = 173
б) Перевести 7038.
7038 = 7*8^2+ 0*8^1+ 3*8^0= 451
в) Перевести B2E16.
B2E16 = 11*16^2+ 2*16^1+ 14*16^0= 2862