Конспект урока по математике "Основные понятия комбинаторики" (11 класс)

КГБПОУ «Шушенский сельскохозяйственный колледж» УЧЕБНО­МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ЗАНЯТИЯ № 41 Специальность: 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет Дисциплина: Математика Преподаватель: Григорьева В.В. Тема: Основные понятия комбинаторики.  Вид занятия (тип урока): урок, урок изучения нового материала Цели: Образовательная: ознакомить с понятием «комбинаторика»; обеспечить в ходе урока усвоение понятия размещений, перестановок и сочетаний; сформировать умения решать комбинаторные задачи. Развивающая: развивать   логическое   мышление   посредством   решения комбинаторных   задач,   математической   речи,   внимания;   способствовать формированию ОК.4 Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях, ОК.6 Работать в коллективе и команде, обеспечивать её сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителем. Воспитательная:  воспитывать   аккуратность,   эстетическое   отношение   к оформлению математических решений, воспитывать  умения слушать и вступать в диалог; настойчивость в достижении цели и заинтересованность в конечном результате труда. МПС: литература, история, информатика Литература:  учебник   «Математика»(авт.   М.И.   Башмаков,­   Академия,   2012), задачник «Математика»(авт. М.И. Башмаков,­ Академия, 2012). Оборудование:  мультимедийный проектор,   компьютер,   экран,   презентация, доска, задачники «Математика»(авт. М.И. Башмаков,­ Академия, 2012). Содержание занятия Этапы   занятия,   основное   содержание,   необходимые методические пояснения и рекомендации I.Организационный момент.    ­Проверить готовность к уроку кабинета и студентов.    ­Взаимное приветствие.    ­Перекличка.    ­ Сообщение плана урока II.Актуализация опорных знаний. Контрольные вопросы по остаточным знаниям. Время, мин. 2 1­2 Формы,   методы, приёмы обучения Слово преподавателя Фронтальная беседа 2 Слово преподавателя. Сообщение  преподавателя 2­3 30­40  мин Лекция с  элементами  эвристической  беседы, заполнение таблицы, работа с  презентацией,  демонстрация  решения задач III. Начальная мотивация учебной деятельности. Комбинаторика  ­   это   раздел   математики,   в   котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных   объектов.   Впервые   ввел   этот   термин   Лейбниц   в 1666г.   Основы   комбинаторики   очень   важны   для   оценки вероятностей   случайных   событий,   т.к.   именно   они позволяют   подсчитать   принципиально   возможное количество различных вариантов развития событий. I V. Сообщение темы урока, постановка целей, задач. Тема:   Основные понятия комбинаторики Цели и задачи урока:   ознакомиться с понятиями  «комбинаторика», размещения, перестановки и сочетания;  учиться решать комбинаторные задачи. V.  Изучение нового материала Рассмотрим несколько типичных для комбинаторики задач. Пример 1. В группе 20 учащихся. Сколькими способами  могут быть выбраны староста и заместитель старосты? Решение. Пусть сначала избирается староста. Поскольку  каждый член группы может быть выбран старостой, то,  очевидно, есть 20 способов его выбора. Тогда заместителем  старосты может стать каждый из оставшихся 19 человек.  Любой из 20 способов выбора старосты может  осуществиться вместе с любыми из 19 способов выбора  заместителя старосты. Поэтому всего существует 20 ∙ 19 =  380 способов выбора старосты и его заместителя.  Пример 2. На собрании пожелали выступить четыре  человека. Сколькими способами можно расположить их в  списке ораторов? Решение. Первого оратора можно выделить четырьмя  способами; второго, очевидно, тремя способами. На третье  место будут претендовать только два человека, и,  следовательно, есть два способа заполнить третье место.  Для четвертого оратора места уже не остается, и он  выступает последним. Составим схему: Пример 3. Группу учащихся техникума должна  экзаменовать по математике комиссия из двух  преподавателей. Сколькими способами может быть  составлена такая комиссия, если в техникуме пять  преподавателей. Решение. Обозначим преподавателей буквами A, B, C, D, E,  можно выписать все возможные экзаменационные комиссии, а именно: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Мы  видим, что их число равно десяти. ­ Выявим сходства и различия между этими задачами: 1) Сходства. Во всех примерах речь идет о некотором  конечном множестве элементов и о количестве его  подмножеств, удовлетворяющих некоторым заданным  требованиям. 2) Различия. В примерах 1, 3 различия состоят в порядке  следования элементов подмножества. Если в примере 3  преподаватели Иванов и Петров это тоже самое, что Петров  и Иванов, то в задаче 1 если Ваня – староста, а Коля – его  заместитель, то наоборот это уже будут разные множества. Определение 1.  Перестановками из n элементов  называются такие соединения из n элементов, которые  отличаются друг от друга лишь порядком следования  элементов.  В задаче 2 требовалось найти число всех перестановок  ораторов. Это число оказалось равным 24, следовательно, P4  = 24. В общем случае число перестановок из n элементов  и, следовательно, его можно найти по формуле (1): P  n A n n P n  A n n n !  nn ( )!  ! n ! n !0 ! n 1 .  Таким образом Pn                                                                    !n  Пример 4. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти,  можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что все  числа не повторяются. Решение. Так как число кратно пяти, следовательно, цифра  пять должна стоять на последнем месте. Остальные пять  цифр могут стоять на оставшихся местах в любом порядке.  Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. P 12345!5 120 5 . Определение2. Пусть имеется множество, содержащее n  элементов. Размещениями из n элементов по m  называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их  следования.  Am n  n !  mn   !   ...321 n  ...321 ( mn )                                             В 1 задаче получим A 2 20  !20  20  !2   ...321 18  ...321 19 18 20  20 19 380 0 An  ! n  )!0 ( n  ;1 ! n n ! Если условиться, что 0! = 1, то  A .1 0 0 !0 !0 получим  Символ n! (читается: «эн факториал»). Используя знак  факториала, можно, например, записать   ,1!1  ,212!2  ,6123!3  1234!4 ,24  12345!5 ,120         Пример 5. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин.  Сколькими способами можно составить расписание занятий  на понедельник, если в этот день недели должно быть 4  различных урока?       Решение. Число способов равно числу размещений из 7  элементов по 4, т.е. равно  7А  По формуле получаем .4 A 4 7 !7   !47    7654321  321  7654 840   Определение 3.  Сочетаниями из n элементов по m  называются такие соединения, которые отличаются друг от  друга хотя бы одним элементом. (Подмножества,  отличающиеся друг от друга только порядком следования  элементов, не считаются различными.) Число сочетаний из n элементов по m обозначается символом  m nС  и вычисляется по формуле: С m n  A m n P m ( ! n mmn ! )!                                                                Пример 6. Сколько матчей будет сыграно в футбольном  чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз? Решение. Матчей состоится столько, сколько существует  двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из  16 элементов, т.е. их число равно 13 15  14  1... 16 15  14 13 121..   16 2 С 2 16 !16  16( !2)!2  120 , т.е.  30­35  мин Решение задач Индивидуальная  работа у доски всего будет сыграно 120 матчей. VI. Закрепление изученного материала 1.Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе.  Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по­разному.  Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения? 5! =120. 2. Девять карточек пронумерованы цифрами от 1 до 9. Из  этих карточек 4 наугад выкладывают в ряд. Сколько при  этом различных четырёхзначных чисел можно получить? Суть задачи состоит в том, что из 9 данных цифр нужно  составить всевозможные четырёхзначные числа, не повторяя цифры в числе. Следовательно, решение задачи сводится к  отысканию числа размещений из 9 элементов по 4. Запишем  формулу для нахождения числа размещений. Представим  числитель и знаменатель в виде произведения. Сократим  дробь. Остаётся вычислить произведение. В результате  получим, 3. Турист запланировал взять с собой в поездку 8 футболок, при  этом всего их у него насчитывается 12. Сколькими способами он  может сделать выбор? Применим формулу сочетаний из   элементов по  мог возникнуть вопрос, почему мы не ищем число  размещений? Но вспомнив отличие размещений от  сочетаний, становится ясно, что туристу не важно, в каком  порядке он соберёт футболки. Ему важно, какие именно из  . У вас них он возьмёт с собой. Итак, запишем формулу числа сочетаний из 12 элементов по 8. Получаем,  4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый  Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами  они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту  из 10 данных различных инструментов?  Ответ:  Решение задач из задачника: А Б размещения перестановки №4.34(1­3)   Стр. 79 № 4.44, 4.45, 4.48     Стр. 80     Сколькими способами можно заполнить карточки "Спортлото"(зачеркнуть   6 номеров из 49)? Во скольких случаях их выбранных шести номеров   после   тиража   три окажутся угаданными правильно?   Во   скольких случаях   правильно   будут угаданы   4   номера?   5 номеров? 6 номеров?  , СС .1, , С 1 44 C 6 49 , 3 46 2 45 сочетания Сколькими способами можно составить команду из 4 человек   для соревнования по бегу, если имеется   7 бегунов?  4 7C Ответ: Ответ: 4.61 Заполнение кроссворда VI. Домашнее задание § 4­1,4.62 Заключительная часть занятия. Самостоятельное  индивидуальное  решение  разноуровневых  задач с  последующей  проверкой у доски  1­2 1 Фронтальный  опрос Слово преподавателя Сообщение о   достижении   целей урока,   подведение итогов Преподаватель ________________________