Конспект урока по математике в 10 классе на тему ,, «Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля».

План­конспект урока  при подготовке к ЕГЭ Предмет – Алгебра и начала анализа. Дата проведения –  Класс – 10 «А». Тема: «Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля». Цель урока:  изучить методы решения уравнений и неравенств, содержащие модуль;  рассмотреть различные примеры их применения. Задачи урока:  рассмотреть понятие модуля;  рассмотреть методы решения уравнений и неравенств данного вида;  применить изученные методы к конкретным примерам. Ход урока: Сообщение темы урока. I. II. Содержание учебного материала:   модуль числа и его свойства; методы решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Модулем (абсолютной величиной) числа а называется само План­конспект число а, если а ≥ 0, и число –а, если а < 0. Свойства: 10. |а| ≥ 0. 0a . 1 20.   |а – b|   есть   расстояние   между   точками  a  и  b  числовой   оси;   в частности,   |а|   равен   расстоянию   от   точки  а  до   точки   0   числовой   оси (геометрический смысл модуля). 30. |–а| = |а|. 40. |аb| = |а|∙|b|;  a   (b0). b a b 50. |а|2 = а2 = |а2|. 60.  a  b 70.   b a 80.   b a , b  ,0 b   a b   a   a b ,  b a  a , b  b a            90.  a  b a b 2 2 a a b b  ba 100.  Из определения и свойств модуля вытекают основные методы решения 0 , причем  ba ab уравнений и неравенств с модулем: 1) «раскрытие» модуля (т. е. использование определения); 2) использование геометрического смысла модуля (свойства 2); 3) использование равносильных преобразований (свойства 6­10); 4) замена переменной (при этом используется свойство 5). Традиционным является «раскрытие» модуля (метод интервалов). Суть метода   заключается   в   том,   что   числовая   ось   разбивается   на   несколько интервалов нулями функций, стоящих под знаком модуля в данном уравнении (неравенстве). На каждом из этих интервалов любая из указанных функций 2 либо   положительна,   либо   отрицательна.   Поэтому   каждый   из   модулей раскрывается либо со знаком плюс, либо со знаком минус. Таким образом, остается   найти   решение   уравнения   (неравенства)   на   каждом   интервале   и объединить эти решения.  2 1 x .1 Пример 1. Решить неравенство: 3 x  2  2 x Решение. 3x­2 x­1 x 0 2 3 1 Рассмотрим четыре случая.  ,1   x 22  2 2 x x 1.  2.         x 3 2 3 x 3  x ,1   22 x  2 2 x 1   ,1  1 x x     1 x 2 3 x  x 1  1 2  x 3 1 1     3 3.      0   x , 2 3  22 3 x         x 0 , 2 3  x 1 3 1  x 3 2 3  2 2 x x 1 4.   ,0  x 3 22 x      2 x 2 x  1   ,0  1 x x     x 1 Объединим эти решения: ­1 1 3  1  ; 3  1; 1 x 2 3    . Ответ:     Пример 2. Решить уравнение: 2 x Решение.  5 x 2 x  9 x .10 Пусть   . Воспользуемся геометрическим смыслом модуля: найдем все точки числовой .   Тогда   уравнение   примет   вид    a 4  a 10 5 x 2 x a оси, сумма расстояний от каждой из которых до точек 0 и 4 равна 10. 4 10  2 4 4 10  2 4 ­3 0 4 7 Очевидно, искомые точки лежат вне отрезка [0; 4]. Рассмотрим точку, лежащую   левее   точки  0  на   оси.  Пусть   эта   точка  –  искомая.  Тогда   сумма расстояний от нее до точек 0 и 4 складывается из длины отрезка [0; 4] и удвоенного расстояния до точки 0. Таким образом, расстояние от искомой точки до точки 0 равно  4 10  2  3 . Поэтому искомой точкой является ­3. Очевидно, что вторая искомая точка – это точка 7. Итак, a  a 10 4  ,3  ;7 a a    2    x x  5 x  75 x ,3     2 2 x x  ,02 x  12 x 0   ,1  ,2  ,4  .3 x x x x       Ответ: {–4; –2; 1; 3}. Решением   примера   2   методом   интервалов   оказалось   бы   значительно более громоздким. Вообще, использование геометрического смысла модуля является целесообразным при решении уравнений и неравенств, левая часть которых представляет собой сумму вида  ax  b ax  c (либо одно из слагаемых), а правая часть равна некоторому положительному числу. Пример на применение свойства 5. Пример 3: Решить уравнение: 2 x  2 x  22 x  1 . 5 Решение: Уравнение равносильно следующему: Пусть  t 2 x ,  0t 2 x  4 x  x x  2 2  . Тогда  22 x  2  2  x 2  02 . 2  t , и уравнение примет вид: 2 t  t 02  ,1  .2 t t    Но  0t , поэтому  1t , откуда x  12  ,1  .3 x x    Ответ: {1; 3}. Свойство   5   целесообразно   использовать   при   решении   уравнений   и неравенств вида  af 2   x   xfb   cv 0 . Второй   основной   метод   решения   уравнений   и   неравенств   с   модулем заключается в использовании равносильных преобразований (свойства 6­10). Пример 4. Решить уравнение (неравенство): а)  б)  в)  г)  д)  2 x  3 x  20  x 2 3 x  ;2 2 x  3 x 3 x  2 x  3 2 x  1 x 3 ;2 ;1 2 x 4  x 2 5 x   4  ;1 2 3 x  2 x  1 2 2 x  x  1 x 2 x ; Решение:  а)   Так   как   обе   части   неравенства   неотрицательны,   то возведение в квадрат является равносильным преобразование:     20 20  3 2 3 x x x x x x         2 2 2 2 2 2 2     2 x 3 2 0    0 2 2 2 x 3 x 3 x   x 2 3 x  20  2 x  3 x   2 2 x  3 x  20 6   6 x   22 2 2 x  18 2   x 0     11 3    x   3 x  3 .0  Решим последнее неравенство методом интервалов: ­3 3 Ответ:     3;   ;3 11 3   . 11 3 Были использованы свойства 5 и 9. x б)  x x x 3          ,02   x 3 32 x   x x 3 3 2 2 2          ,2  2 x x x       x , 2 3  ,0  ,6  2   ,6  .2 x x    Ответ: {2; 6}. в)    3 3 x x    2 2 x x 3  ,1 1 x   x 1 1 3    xx x 2    ,1   1 x   1 .0 Решим   второе   неравенство   последней   совокупности   методом интервалов: ­1 0 1 x 7 Объединяя   найденные   решения   с   решением   неравенства   1x , получим ответ.  Ответ:    1:  1;0 .  1 г)  2 x 4  x  x 5  4 2  1       2 x 2 x 4 4  x  x  5 x  4  x 5  4 2 2   ,01  01           x  x x   2    xx     2 8 5  x  5  2   x  2  2  ,0  .0    Решим (1) методом интервалов: ­2 8 5 Решим (2) методом интервалов: 2 ­2 0 2 Найдем пересечение решений: ­2 0 8 2 8 5 5 2 5 2 (1) (2) x x x Ответ:  ;0   8 5   5 2  ; . д) Перепишем уравнение (так как  a  a ): 2 3 x  2 x  1 2 2 x  1 x x 2 x . Из свойства 10: a 0 ba ab b . Тогда уравнение равносильно неравенству: 0   x 1    1 0 x 2 2 x 2 x 3   x  2  2 x  2 3 x  2  1  x   x   1 2 Метод интервалов дает:    2   1    x     1 3 x   1 2  0 .     1 2    Ответ:  1 3  ; 1 2 1 3    1 . 1 x В   примере   4   а­г   применение   метода   интервалов   привело   бы   к существенно   сложным   и   громоздким   выкладкам.   Какой   из   двух   основных методов предпочтительнее, зависит от вида уравнения (неравенства). Метод интервалов   наиболее   рационален   при   решении   уравнений   и   неравенств   с модулем,  содержащих   более   одного   знака   абсолютной   величины,  если   под 9 знаками модуля находятся линейные функции. Если же функция под знаком модуля более сложная (например, квадратный трехчлен), то, скорее всего, более рационально использование равносильных преобразований. III. Закрепление   рассмотренных   методов   решений   уравнений   и неравенств. Упражнения для самостоятельной работы в классе и дома 1. Решите уравнение (неравенство): а)  б)  в)  x  ;x x  ;x x  ;x г)  д)  е)  x  ;x x  ;x x  .x 2. Решите уравнение (неравенство): а)  б)  2 x  2 x 3 x  4 x  x 2  4 x ;2 x 3 x ;  xx   1   xx  ;1 в)  г)   x   1 x   2 x   1  3  x 2   x 3  . x 3. Решите  уравнение (неравенство),  используя  геометрический  смысл модуля: а)  б)  в)  г)  д)  е)  3 x ;5 5 x ;7  x 2  ;2 3 x 5 ;4 7 x ;8 3  x  ;1 ж)  з)  2 x 5 ;3 x  3 1 x ;5 к)  л)  м)  н)  о)  п)  р)  с)  x  3  1 x ;5 21  x  21 x  ;4 x x x x  2 1 x ;1  2 1 x ;2  5 3 x ;5  2 1 x ;3 2 x  x  4  2 x  x  10  ;10 2 x  x  3 2 x  x 10  11 .10 и)  x  5 4 x ;9 4. Решите уравнение (неравенство) методом интервалов: а)  б)  в)  г)  27 x  3 x  32 x  ;34 x 1 x  21 3 x  x x ;1 2 x  ;13 x x 2 x  2 x  2 x  1 2 x  . x 5. Решите уравнение (неравенство), используя замену переменной: а)  2 3 x x   11 21    ;1 2 x в)   x 3 13   2 x ;1 б)  x   5 x  7 ;0  2 x г)   x   3  1 x 2   21 5   3 x 61  x  .0 6. Решите   уравнение   (неравенство),   используя   равносильные преобразования: а)  3 x  2 2 x ;3 и)  2 x  2  2 3 x x  x 3  ;1 б)  x  ;23 1 x в)  x 52  x  5 x к)  5 x  ;35 3 x ;9 л)  x  x 1 x  1 ;  x г)  2 x  ;74 x 5 м)  3 x  2 x  1 x 3 ;1 д)  е)  x 92  x  9 8 x ;8 2 x  4 x  2 x 2 2 x  ;2 ж)  52  x  3 x ;1 з)  4 3 x x   3 4  1  34 x ; н)  о)  п)  2 x  3 3 x  5 4 x ;7 7 x  5 5 x  6 2 x  ;11 2 3 x  8 x  4 2 2 x  5 x  2 x 2 3 x  .2 0x  .   ;1 0;  ;   в)   ;   г) Ответы для самоконтроля: ; б)  ; в)   0x ; д)    0x   0x  2;0 ; г)   ;   б)   0x 2; 0; ;2 ; е)  1. а)  0x  3;2 2.   а)      1;  . 11 3. а)  8;2 ; б)  2;12 ; в)  0;4 ; г)  ; д)    ;  15  ;1  ; е)   4;2 ;   ж)      5,1;   ;5,3    4; ;   л)   1;1  ;1 ;   з) ;   м)       2; ;1 ;     и)   ;   н)   5;4  ; 1;5    к) ;   о) 1 3  3;      5,1;5,3  4; ; п)   ;2     4 3    ; р)   4;2;1;3  ; с)    1;3   4;2 . 4. а)     2 5 ;  4   3     ; б)     1; ;5  ; в)  2;2 ; г)  ;1 . 5.  1;2   а)   0;1   1;1   3;2   7;   5;5    ;    б) 4;3  .  ;7  ;   в)   6;0 ;   г) 6.   а)   1;1 ;   б)      2 3 4;    ;   в)   9;3;1;3 ;   г)        1 ;   д)     5 18;4 ;   е)     2 3  1;0;   ; ж)     3 8 ; 1 2   ; з)      1 2 1;    ; и)     ;1 3 5   3 2  ; ; к)     1;  ;1 ; л)    ;1  1; ; м)    0; ;1   ; н)      4 3 ;    3  2 ;    ; о)      ; 6 5      5  7  ;    ; п)   1 2 ; 2 3    2 . IV. Домашнее задание. Задание для домашней работы определяется индивидуально. 12