Конспект урока по теме "Пирамида" (1 курс, геометрия)

Пирамида. Площадь полной поверхности пирамиды.

Цель: познакомить с новым видом многогранника

Задачи: образовательная – дать понятие пирамиды, её основных элементов, понятие полной поверхности пирамиды;

развивающая - развивать умение самостоятельно мыслить, делать выводы;

воспитательная – воспитывать дисциплинированность, аккуратность.

Вид урока: комбинированный: лекция и практикум по решению задач.

Средства обучения: презентация.

Оборудование: компьютер, экран, мультимедийный проектор, модели пирамид.

План урока:

Организационный момент (2 мин).

Объяснение нового материала (20-25 мин).

Закрепление материала (15 мин).

Подведение итогов. Домашняя работа (3 мин).

Ход урока:

1.Учитель организует учащихся к уроку.

2. Учитель: Тема нашего сегодняшнего урока «Пирамида», сегодня на уроке мы должны познакомиться с новыми видом многогранника, с его основными элементами, научиться решать простейшие задачи на пирамиду. (Демонстрируется слайд № 3) Начнем с истории. Слово пирамида нам знакомо с детства, это детская игрушка, а также при слове пирамида мы вспоминаем о египетских пирамидах - величайших архитектурных памятниках, которые историки относят к эпохе Древнего Египта, среди которых одно из «семи чудес света» — пирамида Хеопса. Пирамиды представляют собой огромные каменные сооружения пирамидальной формы (оттуда и название), предположительно построенные в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта. Всего в Египте было обнаружено 118 пирамид (на ноябрь 2008 года).

А теперь давайте познакомимся с пирамидой как с многогранником. (Демонстрируется слайд № 4). Рассмотрим многоугольник и точку, не лежащую в плоскости этого многоугольника, соединим отрезками точку и вершины многоугольника, получим треугольники. Многогранник, состоящий и многоугольника и треугольников, называется пирамидой.

Как же называются основные элементы пирамиды? (демонстрируется слайд №5).

В зависимости от вида многоугольника существуют разные виды пирамид (демонстрируется слайд № 6).

Как и призма, пирамида имеет поверхность. Из чего же состоит поверхность пирамиды? Как найти площадь полной поверхность пирамиды? (демонстрируется слайд № 7). Таким образом, говоря о полной поверхности пирамиды, мы подразумеваем площадь основания и площадь боковой поверхности, которая складывается из суммы площадей боковых граней. Так как в основании пирамиды лежит многоугольник, а боковыми гранями являются треугольники, то чтобы найти площадь основания или боковой грани, нужно знать формулы.

А какие формулы вы знаете для нахождения площади треугольника и многоугольника?

Учитель: А теперь решим устно задачи (демонстрируется слайд № 9).При решении задач необходимы дополнительные построения, поэтому можно из презентации вызвать интерактивный режим (если есть в наличии интерактивная доска) и проводить построения, параллельно решая задачу на слайде.

Задача 1. В основании пирамиды квадрат. Высота пирамиды равна стороне квадрата и проходит через одну из его вершин. Найти двугранные углы при основании.

Решение: боковые грани АЕО и СЕО перпендикулярны основанию, так как ЕО высота. Следовательно, двугранные углы при ребрах АЕ и СЕ прямые. Треугольники АЕО и СЕО равнобедренные, так как высота ЕО равна стороне квадрата. Значит углы ОСЕ и ЕАО равны 45º, следовательно, двугранные углы, линейными углами которых они являются, тоже равны 45º.

Задача 2. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямоугольного треугольника и равна 12 см. Найти высоту пирамиды.

Решение: боковые ребра пирамиды равны и высота пирамиды общая, следовательно, и равны их проекции и они являются радиусами описанной около основания окружности. Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. Треугольник АВА2 равносторонний, его высота ВВ1 является медианой, а также и высотой пирамиды. По теореме Пифагора находим, что высота равна .

Учитель: Решим задачи из учебника № 239.

Задача № 239. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Решение: (чертеж к задаче выполняется на доске). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Δ АВО прямоугольный с катетом 4 см и гипотенузой 5 см, отсюда по теореме Пифагора находим

АО =3 см. Δ ASO прямоугольный, так как SO - высота пирамиды. Отсюда по теореме Пифагора находим боковое ребро AS=см. Δ SOB прямоугольный, следовательно, SB= см. SC=AS, SD=SB.

Задача № 241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м . Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности.

Решение: (чертеж к задаче выполняется на доске). Площадь полной поверхности равна сумме площадей основания и боковой поверхности. По теореме косинусов найдем косинус острого угла параллелограмма =,, отсюда S=4*5* м2. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей боковых граней, так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то и боковые грани, опирающиеся на эти стороны, тоже будут равны, поэтому достаточно найти площади только двух граней. Найдем высоту параллелограмма 12=5*H1, отсюда H1= м . Найдем высоту боковой грани по теореме Пифагора, она будет равна = м. Найдем другую высоту параллелограмма 12=4*H2, отсюда H2=3 м. Найдем высоту другой боковой грани, она будет равна  м. Найдем теперь площадь боковой поверхности, она равна S= м2. Площадь полной поверхности равна S = 12+10+2м2.

4. Учитель: Давайте подведем итог.

Что такое пирамида?

Назовите основные элементы пирамиды (на модели).

Как найти площадь полной поверхности пирамиды?

Учитель оценивает работу учащихся. При оценивании учитывается полнота, логически правильный, сформулированный ответ.

Задает домашнее задание: п. 28, задача из учебника № 242.