На этом уроке мы закрепим представления о параллелограмме. Рассмотрим 3 признака, по которым можно определить, что указанный четырехугольник является параллелограммом. И закрепим полученные знания при решении практических задач.На прошлом уроке мы с вами говорили, что параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Также мы рассмотрели некоторые свойства параллелограмма. Вспомним их.
На этом уроке мы закрепим представления о параллелограмме. Рассмотрим 3
признака, по которым можно определить, что указанный четырехугольник
является параллелограммом. И закрепим полученные знания при решении
практических задач.
Конспект урока "Признаки параллелограмма"
На прошлом уроке мы с вами говорили, что параллелограмм – это четырёхугольник, у
которого противоположные стороны попарно параллельны. Также мы рассмотрели
некоторые свойства параллелограмма. Вспомним их.
Свойство 1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна
.
Свойство 2. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
Свойство 3. У параллелограмма противоположные стороны равны.
Свойство 4. У параллелограмма противоположные углы равны.
Свойство 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
На этом уроке мы рассмотрим три признака параллелограмма. Отметим, что свойство –
это то, чем обладает данная фигура. А признак – это то, чем фигура отличается от других,
то есть черты, по которым мы можем отличить данную фигуру от других.
Теорема. 1-й признак параллелограмма. Если у четырёхугольника две стороны равны
и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Докажем это.
Рассмотрим
и
.,
.
Сторона
секущей
– общая,
.
по условию,
как накр. лежащие при
и
лежащие при
по первому признаку. Следовательно,
и
и секущей
.
.
,
– накр.
Так как
, то
.
,
,следовательно,
– параллелограмм.
Теорема доказана.
Теорема. 2-й признак. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то
этот четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство.
Пусть в четырёхугольнике ABCD сторона
,
.
Проведём диагональ AC, которая разделяет четырёхугольник на два треугольника ABC и
CDA.
Рассмотрим
и
.
Сторона
– общая,
по условию,
по условию.
по третьему признаку.
Следовательно,
.
Так как
,
– накр. лежащие при
и
и секущей
,то
.
,
,тогда по 1-му признаку
– параллелограмм.
Теорема доказана.
Теорема. 3-й признак. Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство.Пусть в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О и делятся этой
точкой пополам.
Рассмотрим
и
.
по условию,
по условию,
как вертикальные.
по первому признаку.
Следовательно,
,то
секущей
,
.
.Так как
,
– накр. лежащие при
и
и
,
,тогда по 1-му признаку
– параллелограмм.
Теорема доказана.
Теперь решим несколько задач.
Задача. Докажите, что четырёхугольник
диагональ, а
Доказательство.
и
.
является параллелограммом, если
–
,
– накр. лежащие при
и
и секущей
.
Так как
, то
,
– накр. лежащие при
Так как
параллелограмм.
, то
.
.
и
и секущей
.
,
,следовательно,
–
Решим эту задачу ещё одним способом.Рассмотрим
и
.Сторона
– общая,
,
по условию.
по второму признаку, следовательно,
,
.
Тогда
– параллелограмм по 2-му признаку.
Что и требовалось доказать.
Задача. Отрезки
в точке
параллелограмм.
Доказательство.
и
, а
.
– диагонали четырёхугольника
, которые пересекаются
. Докажите, что четырёхугольник
–
Рассмотрим
и
.
по условию,
по условию,
как вертикальные.
по второму признаку.
Следовательно,
.
Тогда
– параллелограмм по 3-му признаку.
Что и требовалось доказать.