Конспект урока "Признаки параллелограмма"

На этом уроке мы закрепим представления о параллелограмме. Рассмотрим 3 признака, по которым можно определить, что указанный четырехугольник является параллелограммом. И закрепим полученные знания при решении практических задач. Конспект урока "Признаки параллелограмма" На прошлом уроке мы с вами говорили, что параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Также мы рассмотрели некоторые свойства параллелограмма. Вспомним их. Свойство 1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна . Свойство 2. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника. Свойство 3. У параллелограмма противоположные стороны равны. Свойство 4. У параллелограмма противоположные углы равны. Свойство 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. На этом уроке мы рассмотрим три признака параллелограмма. Отметим, что свойство – это то, чем обладает данная фигура. А признак – это то, чем фигура отличается от других, то есть черты, по которым мы можем отличить данную фигуру от других. Теорема. 1-й признак параллелограмма. Если у четырёхугольника две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Докажем это. Рассмотрим и . , . Сторона секущей – общая, . по условию, как накр. лежащие при и лежащие при по первому признаку. Следовательно, и и секущей . . , – накр. Так как , то . , ,следовательно, – параллелограмм. Теорема доказана. Теорема. 2-й признак. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Доказательство. Пусть в четырёхугольнике ABCD сторона , . Проведём диагональ AC, которая разделяет четырёхугольник на два треугольника ABC и CDA. Рассмотрим и . Сторона – общая, по условию, по условию. по третьему признаку. Следовательно, . Так как , – накр. лежащие при и и секущей ,то . , ,тогда по 1-му признаку – параллелограмм. Теорема доказана. Теорема. 3-й признак. Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Доказательство. Пусть в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Рассмотрим и . по условию, по условию, как вертикальные. по первому признаку. Следовательно, ,то секущей , . .Так как , – накр. лежащие при и и , ,тогда по 1-му признаку – параллелограмм. Теорема доказана. Теперь решим несколько задач. Задача. Докажите, что четырёхугольник диагональ, а Доказательство. и . является параллелограммом, если – , – накр. лежащие при и и секущей . Так как , то , – накр. лежащие при Так как параллелограмм. , то . . и и секущей . , ,следовательно, – Решим эту задачу ещё одним способом. Рассмотрим и .Сторона – общая, , по условию. по второму признаку, следовательно, , . Тогда – параллелограмм по 2-му признаку. Что и требовалось доказать. Задача. Отрезки в точке параллелограмм. Доказательство. и , а . – диагонали четырёхугольника , которые пересекаются . Докажите, что четырёхугольник – Рассмотрим и . по условию, по условию, как вертикальные. по второму признаку. Следовательно, . Тогда – параллелограмм по 3-му признаку. Что и требовалось доказать.