Конспект урока "Разложение вектора по трем некомпланарным векторам"

В ходе этого урока учащиеся узнают, что любой вектор пространства можно разложить по трём  некомпланарным векторам. При решении задач они приобретут навык такого разложения и  смогут без труда определять его коэффициенты. Конспект урока "Разложение вектора по трем некомпланарным векторам"    Материал урока. Аналогично тому, как на плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, наверняка, в пространстве любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам. разложен по векторам , Говорят, что вектор суммы произведений вектора число z. на число x, вектора , если он представлен в виде на на число y и вектора При этом числа x, y и z называют коэффициентами разложения. Запишем теорему. Любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Докажем эту теорему для некомпланарных векторов , , . Отметим любую удобную точку пространства и отложим от неё векторы , равные векторам соответственно. и , , , Далее через точку P проведём прямую параллельную прямой OC. Точку пересечения этой прямой с плоскостью ABC обозначим за P1. Далее через точку P1 проведём прямую параллельную прямой OB. А точку пересечения этой прямой с прямой ОА обозначим за P2. Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов, запишем, что . Из построений следует, это значит, что . . А . Таким образом мы разложили вектор . по трём некомпланарным векторам , , Осталось только доказать, что коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом. Допустим, что кроме полученного нами разложения есть ещё одно, в котором коэффициенты разложения равны x1, y1, z1. Вычтем второе разложение из первого. Понятно, что в разложении нулевого вектора по трём некомпланарным ненулевым векторам все коэффициенты разложения должны быть равны нулю. Отсюда соответственно равны коэффициенты: А это противоречит нашему допущению о том, что коэффициенты второго разложения вектора отличны от коэффициентов первого разложения. Отсюда получаем, что коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом. Что и требовалось доказать. Выполним несколько заданий. Задача. Разложить: параллелепипед. а) вектор по векторам , и ; б) вектор по векторам , и . Решение. Изобразим все векторы, перечисленные в первом пункте. Пользуясь правилом параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов, нетрудно заметить, что данным векторам. Причём каждый коэффициент данного разложения равен единице. . Таким образом мы разложили вектор по Обратимся к следующему пункту. Вектор векторам и , . нужно разложить по Для начала запишем, что по правилу многоугольника сложения нескольких векторов, вектор . Так мы разложили вектор разложения y и x равны 1, а z равно -1. по данным векторам, где коэффициенты Задача. диагоналей. Разложить векторы Решение. параллелепипед. точка пересечения и по векторам , и . Сразу можно отметить, что . Поэтому в разложении этого вектора по данным векторам коэффициенты разложения при векторах равны 0, а при векторе — -1. и Далее разложим вектор по данным векторам. , и . по , и середина ребра . Разложить векторы тетраэдр. . Если Задача. векторам Решение. Для начала стоит отметить, что на рёбрах DC и DB тетраэдра можно построить параллелограмм. И отрезок DK будет являться половиной его диагонали DD1. Действительно, точка К является серединой второй диагонали BC, а значит, она является точкой пересечения диагоналей данного параллелограмма. Рассмотрим каждый вектор этой суммы в отдельности. Подставим полученные суммы в выражение для вектора . Подведём итоги этого урока. На нём вы узнали, что аналогично тому, как на плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, в пространстве любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам. разложен по векторам Говорят, что вектор суммы произведений вектора число z. При этом числа x, y, z называют коэффициентами разложения. и на число x, вектора , , если он представлен в виде на число y и вектора на Также мы доказали, что любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.