В ходе этого урока учащиеся узнают, что любой вектор пространства можно разложить по трём некомпланарным векторам. При решении задач они приобретут навык такого разложения и смогут без труда определять его коэффициенты.Аналогично тому, как на плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, наверняка, в пространстве любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам.
В ходе этого урока учащиеся узнают, что любой вектор пространства можно разложить по трём
некомпланарным векторам. При решении задач они приобретут навык такого разложения и
смогут без труда определять его коэффициенты.
Конспект урока "Разложение вектора по трем некомпланарным векторам"
Материал урока.
Аналогично тому, как на плоскости любой вектор можно разложить по двум
неколлинеарным векторам, наверняка, в пространстве любой вектор можно
разложить по трём некомпланарным векторам.
разложен по векторам
,
Говорят, что вектор
суммы произведений вектора
число z.
на число x, вектора
, если он представлен в виде
на
на число y и вектора
При этом числа x, y и z называют коэффициентами разложения.
Запишем теорему. Любой вектор можно разложить по трём некомпланарным
векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным
образом.
Докажем эту теорему для некомпланарных векторов
,
,
.
Отметим любую удобную точку пространства и отложим от неё векторы
,
равные векторам
соответственно.
и
,
,
,
Далее через точку P проведём прямую параллельную прямой OC. Точку
пересечения этой прямой с плоскостью ABC обозначим за P1.
Далее через точку P1 проведём прямую параллельную прямой OB. А точку
пересечения этой прямой с прямой ОА обозначим за P2.Пользуясь правилом многоугольника сложения нескольких векторов, запишем,
что
.
Из построений следует,
это значит, что
.
. А
.
Таким образом мы разложили вектор
.
по трём некомпланарным векторам
,
,
Осталось только доказать, что коэффициенты разложения x, y, z определяются
единственным образом.
Допустим, что кроме полученного нами разложения есть ещё одно, в котором
коэффициенты разложения равны x1, y1, z1.
Вычтем второе разложение из первого.
Понятно, что в разложении нулевого вектора по трём некомпланарным
ненулевым векторам все коэффициенты разложения должны быть равны нулю.
Отсюда соответственно равны коэффициенты:
А это противоречит нашему допущению о том, что коэффициенты второго
разложения вектора
отличны от коэффициентов первого разложения.Отсюда получаем, что коэффициенты разложения x, y, z определяются
единственным образом.
Что и требовалось доказать.
Выполним несколько заданий.
Задача.
Разложить:
параллелепипед.
а) вектор
по векторам
,
и
;
б) вектор
по векторам
,
и
.
Решение.
Изобразим все векторы, перечисленные в первом пункте. Пользуясь правилом
параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов, нетрудно заметить,
что
данным векторам. Причём каждый коэффициент данного разложения равен
единице.
. Таким образом мы разложили вектор
по
Обратимся к следующему пункту. Вектор
векторам
и
,
.
нужно разложить поДля начала запишем, что по правилу многоугольника сложения нескольких
векторов, вектор
.
Так мы разложили вектор
разложения y и x равны 1, а z равно -1.
по данным векторам, где коэффициенты
Задача.
диагоналей. Разложить векторы
Решение.
параллелепипед.
точка пересечения
и
по векторам
,
и
.
Сразу можно отметить, что
.
Поэтому в разложении этого вектора по данным векторам коэффициенты
разложения при векторах
равны 0, а при векторе
— -1.
и
Далее разложим вектор
по данным векторам.,
и
.
по
,
и
середина ребра
. Разложить векторы
тетраэдр.
. Если
Задача.
векторам
Решение.
Для начала стоит отметить, что на рёбрах DC и DB тетраэдра можно построить
параллелограмм. И отрезок DK будет являться половиной его диагонали DD1.
Действительно, точка К является серединой второй диагонали BC, а значит, она
является точкой пересечения диагоналей данного параллелограмма.
Рассмотрим каждый вектор этой суммы в отдельности.Подставим полученные суммы в выражение для вектора
.
Подведём итоги этого урока.
На нём вы узнали, что аналогично тому, как на плоскости любой вектор можно
разложить по двум неколлинеарным векторам, в пространстве любой вектор
можно разложить по трём некомпланарным векторам.
разложен по векторам
Говорят, что вектор
суммы произведений вектора
число z. При этом числа x, y, z называют коэффициентами разложения.
и
на число x, вектора
,
, если он представлен в виде
на число y и вектора
на
Также мы доказали, что любой вектор можно разложить по трём некомпланарным
векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным
образом.