Конспект урока "Сфера и шар. Уравнение сферы"

В этом уроке мы вспомним понятия сферы и шара. Узнаем, какие окружающие нас предметы  имеют форму близкую к форме сферы и шара. Дадим их определения. Поговорим об отличии  сферы от шара. Рассмотрим их основные элементы. А также выведем уравнение сферы радиуса R  с центром в точке C(x; y; z). Конспект урока "Сфера и шар. Уравнение сферы"    На этом уроке мы вспомним понятия сферы и шара. Дадим их определения. Рассмотрим их основные элементы. А также выведем уравнение сферы радиуса с центром в точке . Итак, рассмотрим понятия сферы и шара. В окружающем мире предметы имеют очень разнообразные формы. Среди них встречаются так называемые «круглые тела». Особое место среди круглых тел занимает шар. Итак, шар – это геометрическое тело. Форму, близкую к форме шара, имеют шарики мороженного, снежный ком, бусинки, светильники. Некоторые архитектурные сооружения. Декоративным растениям также придают форму шара. Поверхность шара называют сферой. Можно сказать, что сфера – это как-бы оболочка или граница шара. Как окружность, есть граница круга, так и сфера – это граница шара. Представление о сфере дают полые круглые предметы, например, мячи (футбольный, баскетбольный, волейбольный и т.д.), шарики для украшения ёлки, мыльные пузыри. А также ставший популярным видом отдыха в наше время «аквазорбинг». Зорб даёт представление о сфере. Сфера входит в число наиболее привлекательных пространственных фигур. Использование в строительстве и архитектуре конструкций, имеющих форму сферы, придает сооружениям особое величие и служит подтверждением тому, что сфера – достаточно гармоничная геометрическая фигура. Чтобы уяснить разницу между понятиями шар и сфера, давайте внимательно посмотрим на экран. Перед вами изображены воздушный шар и бильярдный шар. Отметим, что оба этих предмета называют шарами. Однако в первом случае мы имеем дело со сферой, а во втором с полноценным шаром со своим содержимым внутри. Определение: Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. А теперь назовём основные элементы сферы. . Данная точка называется центром сферы (в нашем случае это точка О), а данное расстояние – радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают латинской буквой Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Все радиусы одной сферы равны между собой. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Любой диаметр сферы равен двум радиусам Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Определение: Шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Центр, радиус, хорда и диаметр сферы называются также центром, радиусом, хордой и диаметром шара. . Т.е. отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром шара, называется радиусом шара. Отрезок, соединяющий две точки сферы называется хордой шара. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиусам Рассмотрим чертёж. . с центром О содержит все точки пространства, расположенные от Перед нами математическое изображение шара. Точка О – это центр шара. Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Понятно, что шар радиуса точки О на расстоянии, не превышающем содержит других точек. Хотелось бы обратить внимание на то, что шар может быть получен путём вращения полукруга вокруг его диаметра. (включая саму точку О), и не При этом сфера образуется в результате вращения полуокружности вокруг её диаметра. – хорда сферы, не проходящая через центр сферы . , если радиус Задача: отрезок Вычислите расстояние от центра сферы до середины хорды сферы равен Решение: обозначим середину хорды см, а длина хорды точкой . равна см. . Он равнобедренный, т.е. Рассмотрим как мы знаем, все радиусы одной сферы равны между собой. Отсюда, (см). , так как Теперь рассмотрим серединным перпендикуляром проведённым к хорде . Он прямоугольный, так как отрезок . Его . А является катет (см). Воспользовавшись теоремой Пифагора найдём катет есть расстояние от центра сферы до середины хорды что (см). , который как раз таки и . Получаем, Запишем ответ. Перейдём к уравнению сферы. Для начала вспомним, что уравнение с тремя переменными называется уравнением поверхности , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности точки, не лежащей на этой поверхности. Напомним, что уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярной к ненулевому вектору и не удовлетворяют координаты никакой имеет следующий вид: и , , где Теперь давайте выведем уравнение сферы радиуса точке . с центром в Напомним, что расстояние от произвольной точки точки вычисляется по формуле: до Если точка т.е. координаты точки лежит на данной сфере, то расстояние удовлетворяют уравнению: , или , Если же точка или не лежит на данной сфере, то расстояние , не удовлетворяют уравнению сферы. , т.е. координаты точки Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса с центром в точке : Если уравнение относительно прямоугольных координат в пространстве, то ею является сфера. Задача: напишите уравнение сферы с центром в точке равным Решение: запишем уравнение сферы в общем виде, где центра сферы. см. определяет поверхность радиусом , и – координаты Подставим заданные координаты центра сферы в уравнение. Получим, что уравнение данной нам сферы выглядит так: Запишем ответ. Задача: найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: Решение: запишем уравнение сферы в общем виде, где центра сферы. , . и – координаты Тогда не трудно заметить, что координаты центра сферы будут равны 2, - 1, 0. А радиус заданной сферы равен . Не забудем записать ответ. Задача: какую поверхность определяет уравнение ? Решение: запишем уравнение сферы в общем виде, где центра сферы. , и – координаты Преобразуем наше уравнение. Разделим почленно это уравнение на 4. Получим, . Затем выделим полные квадраты. Получим, Преобразуем слагаемые получившегося выражения. Получим, . . Теперь сравним последнее уравнение с уравнением сферы в общем виде. Заметим, что исходное уравнение определяет сферу с центром в точке и . Запишем ответ. Итоги: На этом уроке мы вспомнили понятия сферы и шара. Узнали, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. А шар – это совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Назвали основные элементы сферы и шара. А также вывели уравнение сферы радиуса с центром в точке .