Конспект урока "Сложение и вычитание векторов"

В пространстве сложение и вычитание векторов выполняют в точности так же, как и на  плоскости. На этом уроке учащиеся вспомнят правила треугольника и параллелограмма сложения двух векторов, теорему о разности двух векторов, и применят эти знания при решении  пространственных задач. Конспект урока "Сложение и вычитание векторов"    Материал урока. Вспомним, как мы вводили понятие суммы двух векторов в планиметрии. Сначала мы рассматривали такой пример. Под действием воздушных масс воздушный шар сначала двигался из точки А в точку B, а затем из точки B переместился в точку C. Каждое из этих двух перемещений можно представить в виде вектора. и . Но можно ведь сказать, что в результате воздушный шар из точки А попал в точку C. И это перемещение задает вектор . Так как перемещение из точки А в C складывается из перемещений из точки А в B и из B в C, то можно записать, что вектор . Этот пример подводит нас к понятию суммы двух векторов. Рассмотрим два ненулевых вектора: и . Отметим произвольную точку А и отложим от неё вектор . Далее от точки B отложим вектор , равный вектору , равный вектору .Можем изобразить вектор , который называется суммой векторов и . Данное правило сложения векторов в пространстве, так же, как и в планиметрии, будем называть правилом треугольника. Нужно отметить, что сумма векторов и не зависит от выбора точки А, от которой будет отложен вектор . Докажем это. Найдём сумму векторов , но начнём откладывать их от некоторой точки А1. и Нам необходимо доказать, что полученный вектор равен вектору . Из построений очевидно, что векторы сонаправлены и равны по длине. То есть стороны AB и A1B1 четырёхугольника ABB1A1 параллельны и равны. И этот четырёхугольник является параллелограммом. равны. А значит, они иСтороны AA1 и BB1 данного параллелограмма также равны и параллельны. Тогда получаем, равны векторы Аналогично, из равенства векторов BCC1B1 также является параллелограммом. А значит, равны векторы Из полученных равенств получаем, что равны векторы следует, что четырёхугольник и и и и . . . Поэтому четырёхугольник AA1C1C — параллелограмм. Его стороны AC и A1C1 параллельны и равны. А значит, равны векторы Что и требовалось доказать. Итак, в точности так же, как и на плоскости, мы ввели правило треугольника сложения двух векторов в пространстве. И доказали, что сумма векторов и зависит от выбора точки А, от которой будет отложен вектор и . . не Для любых трёх точек пространства А, B и C правило треугольника можно сформулировать так: сумма векторов и равна вектору . То есть даже не строя вектор суммы можно его найти. Если конец вектора, являющегося первым слагаемым, совпадаем с началом вектора, являющегося вторым слагаемым, то началом вектора суммы является начало первого вектора, а концом — конец второго вектора. Так же для сложения двух векторов можно применять правило параллелограмма, которое мы уже формулировали в планиметрии. Вспомним его. От произвольной точки А отложим векторы и соответственно. Теперь на этих векторах построим параллелограмм ABCD. Вектор вектором суммы векторов , равные векторам является и и .Для любых векторов законы сложения векторов. Эти законы мы уже записывали и доказывали для векторов на плоскости. действуют переместительный и сочетательный , и Выполним задание. На экране изображён параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Требуется назвать векторы, начало и конец которых совпадают с вершинами параллелепипеда, и которые равны соответствующей сумме векторов. Первой рассмотрим сумму векторов и Чтобы сложить векторы по правилу треугольника, они должны быть отложены друг за другом, а чтобы воспользоваться правилом параллелограмма, они должны быть отложены от одной точки. Данные векторы не подходят ни к одному правилу. Но здесь нам поможет знание о том, что от любой точки пространства можно отложить вектор равный данному, и притом только один. Так как перед нами параллелепипед и все его грани являются параллелограммами, то можно сказать, что есть вектор, который отложен от точки А и равен вектору сонаправленные векторы, длины которых равны. Напомним, что равными называютсяВектор параллелограмма, которые равны и параллельны. Ведь эти векторы лежат на противоположных сторонах От данной нам суммы перейдём к сумме векторов одной точки, поэтому воспользуемся правилом параллелограмма. Если построить параллелограмм на этих векторах, то мы получим грань ABCD. . Они отложены от и Диагональ AC и будет вектором суммы данных векторов. Следующей рассмотрим сумму векторов и . Они уже отложены от одной точки, и на этих векторах можно построить параллелограмм ABC1D1. Диагональ AC1 и будет являться вектором суммы. Далее рассмотрим сумму векторов и . равен вектору Вектор , не трудно заметить, что они отложены друг за другом, и именно поэтому можно применить правило треугольника. Вектор . И перейдя к сумме векторов — искомый. и Обратите внимание, пользуясь переместительным законом, можно записать, что сумма векторов . Тогда по правилу треугольника сложения векторов для трёх произвольных точек пространства, можно сразу записать вектор суммы — . Так мы получили тот же вектор. , равна сумме векторов , и и равен вектору Теперь рассмотрим сумму векторов Векторы полученной суммы отложены друг за другом, поэтому вектором их суммы будет вектор . Вектор и . .Последней рассмотрим сумму векторов вектора в сумме совпадает с началом второго вектора. Тогда можно сразу сказать, что вектором суммы является вектор . Этот же результат мы получим, пользуясь рисунком. . Видим, что конец первого и Далее поговорим о разности векторов вектором Проиллюстрируем это определение для данных векторов равна вектору и . Это такой вектор, сумма которого с . и .Итак, вектор должен являться суммой векторов от начала вектора вектора и , мы без труда проведём вектор . . Тогда, отложив вектор из конца вектора к концу Действительно, и . плюс равно . А значит, вектор равен разности векторов Таким образом, можно откладывать векторы уменьшаемое и вычитаемое от одной точки, а вектором разности будет являться вектор, направленный из конца вектора вычитаемого к концу вектора уменьшаемого. Вы помните, что векторы называются противоположными, если их длины равны, а направления противоположны Так вот если в данной иллюстрации у вектора заменить его на « и , а также, по правилу треугольника, сумме векторов », то мы получим, что вектор и « ». сменить направление, то есть равен разности векторов Так мы получили два способа построения вектора разности. Рассмотрим тот же параллелепипед, что и в предыдущей задаче. Нужно назвать векторы, начало и конец которых совпадают с вершинами параллелепипеда, и которые равны соответствующей разности векторов. Найдём вектор разности векторов и .Они отложены от одной точки, поэтому вектором разности будет являться вектор, направленный из конца вектора-вычитаемого . уменьшаемого . Так получаем вектор к концу вектора- Применим второй способ построения вектора разности. Нам известно, что разность векторов можно представить в виде суммы вектора уменьшаемого и вектора, противоположного вектору вычитаемому. Вектором противоположным вектору . По правилу треугольника сложения двух векторов мы также получим вектор является вектор . Далее рассмотрим разность векторов и .Они отложены от одной точки. и поэтому вектор разности будет направлен из конца вектора-вычитаемого образом мы получим вектор к концу вектора-уменьшаемого . . Таким Последней рассмотрим разность векторов равным ему вектором результате и разность векторов и . А разностью векторов и равна вектору . . Вектор заменим и будет вектор . В Подведём итоги нашего урока. В точности так же, как и на плоскости, на этом уроке мы с вами сформулировали правило треугольника и правило параллелограмма сложения двух векторов в пространстве, а также записали переместительный и сочетательный законы сложения векторов. Убедившись в том, что разность векторов противоположного вектору разности двух векторов. и равна сумме вектора и вектора, , мы получили два способа построения вектора Так мы рассмотрели сложение и вычитание векторов в пространстве.