Конспект урока "Сумма нескольких векторов"

На этом уроке учащиеся впервые увидят отличие векторов в пространстве и на плоскости при  построении многоугольника сложения нескольких векторов. В пространстве многоугольник  сложения может быть пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости. Конспект урока "Сумма нескольких векторов"    Материал урока. Вам уже известны правила сложения и вычитания двух векторов. Чтобы сложить два неколлинеарных вектора нужно от некоторой точки А отложить вектор точки B отложить вектор , равный вектору суммы двух векторов и . и по правилу треугольника, , равный вектору . Далее от является вектором . Вектор Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить от произвольной точки А векторы и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор векторов и равен сумме , равные векторам и и соответственно, . Также вам уже знакомы законы сложения векторов: переместительный и сочетательный. Ну, а убедившись в том, что разность векторов вектора, противоположного вектору вектора разности двух векторов. и и , мы получили два способа построения равна сумме вектора Сегодня мы будем учиться складывать несколько векторов в пространстве. Но сначала вспомним, как мы это делали на плоскости. Построим вектор суммы векторов и , . От некоторой точки А отложим вектор отложим вектор , равный вектору вектору . , равный вектору . Далее от точки B . А от точки C отложим вектор , равный Будем последовательно складывать наши векторы, пользуясь правилом треугольника. Сумма векторов и равна вектору . Теперь к вектору добавим вектор . В результате мы получаем вектор . Тогда можем сказать, что сумма векторов , и . равна вектору . Так, последовательно складывая первый вектор со вторым, затем их сумму с третьим и так далее, можно найти суммы четырёх, пяти и большего числа векторов. Такое правило построения суммы векторов называют правилом многоугольника, и оно позволяет построить вектор суммы неограниченного количества векторов. Задача. Построить вектор суммы попарно неколлинеарных векторов и , , , . Построение. Примеры, приведённые нами, подходят для векторов, лежащих в одной плоскости. А мы, изучая стереометрию, находимся в пространстве, поэтому правило многоугольника сложения векторов в пространстве может иметь и другую иллюстрацию. Задача. Рассмотрим векторы вектор не лежит в этой плоскости. Найдём сумму этих векторов. , такие, что и , , лежат в одной плоскости, а Решение. , а от точки А отложим вектор , равный вектору . Понятно, Выберем любую удобную точку О в пространстве и отложим от неё вектор равный вектору что через проведённые векторы можно провести плоскости. Далее, от точки B отложим вектор является вектор , равный вектору . . Вектором суммы данных векторов , Вы видите, что многоугольник сложения в данном случае является пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости. Сформулируем правило многоугольника для произвольных точек пространства А1, А2 ,…, Аn. Это равенство справедливо для любых точек А1, А2, …, An. И, в частности, для случая, когда некоторые из них совпадают. Например, если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то сумма данных векторов равна . Задача. Упростить выражения Выполним задание, где, пользуясь данной формулировкой, упростим выражения. а) б) в) г) = Так мы с вами рассмотрели примеры преобразования выражений с векторами, представленных в виде алгебраической суммы. , Задача. Представить вектор , , произвольные точки пространства. в виде алгебраической суммы векторов: а) , , б) , , в) , , Решение. В последнем задании рассмотрим параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Нужно указать вектор параллелепипеда. И чтобы истинными были данные равенства. , начало и конец которого являются вершинами Сумма векторов . По рисунку понятно, чтобы восстановить правило многоугольника, не достает вектора . Значит, вектор . Далее рассмотрим выражение, где сумма векторов . По рисунку понятно, что сумма известных векторов из левой части равенства равна вектору быть равен вектору . И чтобы вся сумма равнялась вектору , вектор должен . Перейдём к следующему равенству. Чтобы восстановить правило многоугольника, вектор равным ему вектором вектору . А вектор удобнее заменить . Тогда становится понятно, что вектор «- » равен отсюда равен вектору . Разберёмся с последним равенством. . Левую часть представим в виде суммы и заменим вектор «– » на . Изобразим данные векторы. Видим, что искомый вектор равен вектору . Подведём итоги урока. Сегодня мы сформулировали правило многоугольника сложения нескольких векторов в пространстве. И нашли его отличие от того же правила на плоскости. Оно заключается в том, что полученный многоугольник может являться пространственным, то есть не все его вершины лежат в одной плоскости. Также мы сформулировали правило многоугольника для произвольных точек пространства А1, А2 …, Аn. + Сумма векторов = ,+ ,. И если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то сумма данных векторов равна . Эти знания мы смогли применить при выполнении заданий.