Конспект урока "Свойства равнобедренного треугольника"

Вначале даём определение равнобедренного и равностороннего треугольников. Затем формулируем  и доказываем свойства равнобедренного треугольника о равенстве углов при основании и о  биссектрисе, проведённой из вершины к основанию. И для закрепления знаний решаем задачи. Конспект урока "Свойства равнобедренного треугольника"    Среди множества треугольников выделяют те, которые имеют особые свойства. К таким треугольникам можно отнести, например, равнобедренные треугольники. Определение: Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Возьмём треугольник АВС, у которого стороны АВ и АС равны. Эти стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона ВС называется основанием равнобедренного треугольника. Точка А называется вершиной равнобедренного треугольника, а точки В и С - вершинами при его основании. Угол А называется углом при вершине, а углы В и С - углами при основании. Определение: Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. Любой равносторонний треугольник является равнобедренным. Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Доказательство: Пусть АВС равнобедренный треугольник, боковые стороны которого АВ и АС. Докажем, что ∠В=∠С. Пусть АF - биссектриса треугольника АВС. Треугольники АВF и АСF равны по первому признаку, так как сторона AF у них общая, стороны АВ и АС равны по условию, ∠ВAF и ∠СAF ­ равны, так как АF ­ биссектриса треугольника АВС.Из равенства треугольников АВF и АСF следует, что ∠В=∠С. Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Доказательство: Пусть треугольник АВС равнобедренный, у которого АВ=АС. Пусть АF - биссектриса этого треугольника. Треугольники АВF и АСF равны по первому признаку, так как сторона AF у них общая, стороны АВ и АС равны по условию, углы ВAF и СAF равны, так как АF - биссектриса треугольника АВС. Из равенства треугольников следует, что BF равняется CF, то есть F - середина стороны ВС, а следовательно, АF - медиана треугольника АВС. Также из равенства треугольников АВF и АСF следует, что ∠AFB=∠AFC. А так как эти углы  смежные и равные, то они прямые. А это означает, что AF является и высотой треугольника АВС. Теорема доказана. Утверждения:1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. 2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой. Пример. АВСD - квадрат. Точка Е - середина стороны СD. Доказать, что треугольник ВЕА является равнобедренным. Рассмотрим треугольники ВСЕ и АDE. У них ВС=AD, так как все стороны квадрата равны, и СЕ=DE, так как точка Е - середина стороны CD. А ∠ВСЕ=∠ADE, так как все углы квадрата ­ прямые. Значит, ∆ ВСЕ = ∆ АDE по первому  признаку равенства треугольников. То есть у них соответственные стороны равны. Следовательно, ЕВ=ЕА. Получаем, что треугольник ВЕА имеет две равные стороны ЕВ и ЕА, а значит, он равнобедренный. Пример. В равнобедренном треугольнике АВС, где АВ=ВС, Р=20 см., а основание больше боковой стороны на 2 см. Найти стороны треугольника. Пусть АВ=ВС=х см., тогда сторона АС=(х+2) см. Получаем:Тогда АВ=ВС=6 см, а сторона АС=6+2=8 см.