Конспект урока "Свойство серединного перпендикуляра к отрезку"

На этом уроке мы узнаем, какими свойствами обладают точки, лежащие на серединном  перпендикуляре к отрезку. А именно, узнаем, что каждая точка серединного перпендикуляра к  отрезку равноудалена от концов этого отрезка. И каждая точка, равноудаленная от концов  отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. А также узнаем, что серединные  перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. И это есть вторая  замечательная точка треугольника. Конспект урока "Свойство серединного перпендикуляра к отрезку"    На этом уроке мы узнаем, какими свойствами обладают точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку. А также познакомимся со второй замечательной точкой треугольника. Мы с вами уже знакомы со свойствами точек, лежащих на биссектрисе угла. А точнее, мы знаем, что каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. И знаем, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют замечательной точкой треугольника. Перейдем к рассмотрению отрезка, его серединного перпендикуляра и свойства точки, которая лежит на серединном перпендикуляре. Итак, пусть дан отрезок AB. Прямая l – есть серединный перпендикуляр к отрезку AB. Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Это означает, что наша прямая l проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему. Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Доказательство. Докажем, что . , т.к. середина отрезка по условию. Рассмотрим и .,т.к. – общий катет, катеты равны по условию. равны по двум катетам. . Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от концов отрезка. Теорема доказана. Обратная теорема. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Доказательство. Докажем, что точка лежит на прямой Рассмотрим . . – равнобедренный, т.к. по условию. Отрезок – медиана . – высота . Значит, прямые и совпадают. Точка лежит на прямой . Теорема доказана. Прямую и обратную теоремы можно обобщить. Тогда справедлива теорема: Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудаленных от его концов. Задача. Серединный перпендикуляр к стороне пересекает сторону периметр Решение. равнобедренного см и , если в точке . Найдите см.– по условию. (см). Рассмотрим . – серединный перпендикуляр по условию. Значит, . (см). (см). Ответ: Как вы уже знаете, треугольник состоит из трех отрезков, значит, в нем можно провести три серединных перпендикуляра. Оказывается, эти перпендикуляры пересекаются в одной точке. Эту точку называют второй замечательной точкой треугольника. Следствие. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство.и Следовательно, все три серединных перпендикуляра пересекаются в точке . , и к сторонам Таким образом, точка – точка пересечения трех серединных перпендикуляров . Что и требовалось доказать. Повторим главное: На этом уроке мы узнали, какими свойствами обладают точки, лежащие на серединном перпендикуляре к отрезку. А именно, каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. А также узнали, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. И это есть вторая замечательная точка треугольника.