Конспект урока "Теорема о сумме углов треугольника"

В самом начале урока рассказываем о том, как великий учёный Блез Паскаль заметил, что у всех  треугольников сумма углов равна 180°. После этого мы доказываем теорему о сумме углов  треугольника. Также мы останавливаем внимание на свойствах, вытекающих из данной теоремы.  Далее на уроке мы даём определение внешнему углу треугольника, доказываем теорему о внешнем  угле треугольника и решаем задачи. Конспект урока "Теорема о сумме углов треугольника"    Блез Паскаль, великий французский учёный 17-го века, заметил, что у всех треугольников сумма 3-х углов равна 180 градусов. И у него возник вопрос: «Как это доказать?» И он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. В результате получился развёрнутый угол, градусная мера которого, как вам уже известно, равна 180 градусов. Теорема: Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Доказательство: Пусть АВС - произвольный треугольник. Доказать, что ∠А+∠В+∠С= 180 градусов. Проведём прямую а через точку В параллельно стороне АС.∠1 и ∠4 ­ внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых а и АС и секущей АВ. А значит, ∠1=∠4. ∠3 и ∠5 являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых а и АС и секущей ВС. Следовательно, ∠3=∠5. Сумма градусных мер ∠4, ∠2 и ∠5 равна градусной мере развёрнутого угла с вершиной в точке В, то есть  ∠4+∠2+∠5=180 градусов. А так как ∠1=∠4, ∠3=∠5, то получаем, что ∠1+∠2+∠3=180 градусов. То есть ∠А+∠В+∠С=180 градусов.  Теорема доказана. Из теоремы следует: 1. Углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов. 2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. Определение: Внешним углом треугольника называют угол, смежный с каким-либо углом треугольника. Например, ∠1 ­ внешний угол треугольника АВС, смежный с ∠ВАС. ∠2 ­ внешний угол, смежный с ∠АСВ. Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.Доказательство: Пусть АВС - произвольный треугольник. Доказать, что градусная мера ∠4 равна сумме  градусных мер углов 1 и 2, не смежных с ним. Сумма градусных углов 3 и 4 равна градусной мере развёрнутого угла, то есть ∠3+∠4=180  градусов. А по теореме о сумме градусных мер углов треугольника ∠1+∠2+∠3=180 градусов. Из полученных  двух равенств следует, что ∠1+∠2=∠4. Что и требовалось доказать. Пример. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны. ∠А=42 градуса. Чему равна градусная мера угла В? Так как АВ=ВС, то треугольник АВС является равнобедренным. Нам известно, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. А значит, ∠С=42 градуса. По теореме о сумме углов треугольника ∠А+∠В+∠С=180 градусов. Из этого равенства получаем: Пример. На рисунке ∠ВСD=110 градусов, а ∠ВАС=45 градусов. Найти градусную меру ∠АВЕ.Так как углы ВСD и ВСА - смежные, то: Тогда: Искомый ∠АВЕ является внешним углом нашего треугольника, смежным с ∠АВС. А значит: Пример. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС отрезок ВD является высотой. Найдите градусные меры углов треугольника ABD, если ∠АВС=56 градусов. Так как треугольник АВС - равнобедренный, то высота ВD, проведённая к основанию, является также и биссектрисой. Значит: ∠АDВ=90 градусов, так как ВD ­ высота. По теореме о сумме углов треугольника, получаем: