Конспект урока «Теорема Виета».

МКОУ «Ирганайская СОШ им. М. А. Заргалаева» Конспект урока «Теорема Виета». Класс: 8 б Учитель: Магомедова М.М. Тема урока: Теорема Виета. Тип урока: Урок усвоения новых знаний. Цели урока: Личностные:      создать условия для формирования у учащихся положительной мотивации к учению,  для   развития коммуникативной культуры: формировать умения преодолевать посильные трудности, чувства коллективизма, взаимовыручки и уважения друг к другу, умения вести диалог. 1 условия для формирования умений общения, культуры математической речи.  Метапредметные:   создать   условия   для развития интеллектуальной и исследовательской культуры: формировать умения наблюдать, сравнивать, анализировать и формулировать умозаключение; развивать умения самоконтроля и самооценки; развивать        логическое мышление, познавательную активность и формировать культуру математической речи.  Предметные:        познакомить   учащихся   с   формулировкой   теоремы   Виета,   научить   доказывать   её   и   применять   к   решению   квадратного   уравнения   на   уровне   обязательного   минимума:   находить   сумму   и произведение корней квадратного уравнения по их коэффициентам, составлять уравнения по данным его корням. Методы обучения: наглядный, словесный, практический, частично­поисковый, репродуктивный. Используемые   приёмы   учебной   деятельности   на   уроке:  приёмы   наблюдения   и   сравнения индуктивных   умозаключений;   приёмы   работы   с   учебником   с   теоремой;   приёмы   тождественных преобразований алгебраических выражений. Оборудование урока: доска, цветные мелки, плакат с формулами Виета, карточки­задания для групповой работы, карточки для индивидуальной работы, мультимедийный проектор, компьютер. Форма работы: групповая, индивидуальная, фронтальная Ход урока. 1. Организационный момент. Приветствие, проверка подготовленности, организация внимания. 2. Постановка цели и задач урока.  Мотивация учебной деятельности учащихся. Подготовка учащихся к восприятию нового материала. 1. Сегодня на уроке продолжаем работать над темой «Квадратные уравнения». Учитель: Что было задано на дом? Ученики: Решить приведенные квадратные уравнения и выполнить проверку методом подстановки. Учитель: Все справились с заданием? Ученики: Да! Учитель: Правильность выполнения домашнего задания нам потребуется для изучения новой темы. Раз вы все   хорошо   владеете   методом   проверки   корней   квадратного   уравнения,   тогда   я   предлагаю   задание следующего характера. Слайд№1 Ученик решил приведенное квадратное уравнение   х 2 ­ 1999х + 1998 = 0  и нашёл его корни х1=1, х2 =1998.  Верно ли его решение?  Выполните проверку решения приведённого квадратного уравнения за 10 секунд. Создаю ситуацию, когда первый корень х1=1 проверить методом подстановки можно устно и быстро, а для проверки второго корня требуется время и устно его не проверить. Безусловно, учащиеся не справляются с поставленной перед ними задачей, т.е. они не укладываются во   времени.   Это   приводит   их   на   мысль,   что,   наверное,   существуют   другие   более   рациональные методы проверки корней квадратного уравнения. Учитель: Время вышло, отвечаем на вопрос задания. Кто успел проверить правильность решения? Ученики: Первый корень х1=1 найден верно, а второй корень проверить не успели. Учитель: Ребята, в алгебре существует такая теорема, с помощью которой проверку корней квадратного уравнения можно выполнить в считанные секунды. Хотите узнать такую теорему? Ученики: Хотим! 2. Учитель: Запишем число и тему сегодняшнего урока:  Слайд №2  «Теорема Виета» 2 Постановка   цели:  Сегодня   на   уроке   мы   «откроем»   теорему,   докажем   её,   выясним   условия существования   теоремы   Виета   и   ответим   на   вопрос   задания,   предложенного   в   начале   урока.   Между корнями   квадратного   уравнения   и   его   коэффициентами   существует   очень   интересная   связь,   которая позволяет очень быстро проверить правильность решения квадратного уравнения. И эту связь вы сегодня самостоятельно должны выявить, сформулировать и доказать, для того чтобы использовать в дальнейшей работе.  3. Актуализация знаний.  Фронтальная работа с классом. Цель: восстановить в памяти учащихся  сведения, необходимые для изучения нового материала. 1) Записать на доске квадратное уравнение общего вида и формулы для нахождения его корни. 2) Записать на доске общий вид приведенного квадратного уравнения и формулы для нахождения его корней. 3) Выполнить преобразование полного квадратного уравнения в приведённое. Пока трое учащихся готовятся к ответу у доски,  остальные учащиеся отвечают на вопросы устно. Даны квадратные уравнения: Слайд №  3   2    0 2  6 12 3)1 x   3 0 )2 x   12)3 4 0 x 7 x  2 6 0 x 9)4 x x x 2 Вопросы: (учащиеся отвечают поочерёдно) 1) Для каждого уравнения назовите коэффициенты. 2) Под какими номерами записаны приведенные квадратные уравнения?  3)   Замените   каждое   уравнение   равносильным   ему   приведенным   уравнением   (задание,   провоцирующее учащихся на ошибку). 4) Проверим учащихся, работавших у доски. Ответы учащихся, работающих у доски, оценивают учащиеся группы. Первая группа оценивает правильность ответа первого ученика, вторая группа – второго ученика, третья группа – третьего ученика.  4. Первичное усвоение новых знаний. Изучение новой темы начинается с самостоятельной работы в группах. Цель задания:  Силами   самих   учащихся   сформулировать   свойство   корней   приведенного   квадратного уравнения, которое составляет теорема Виета. 1)  Каждая   группа   получает   карточку   с   заданием.   В   карточке   записаны   приведённые квадратные   уравнения,   которые   учащиеся   группы   решали   дома   с   проверкой   найденных   корней уравнения методом подстановки. Учитель:  Ребята,   каждая   группа   получила   карточку­задание.   Первый   пункт   данного   задания   вы   уже выполнили   дома,   т.е.   решили   приведенные   квадратные   уравнения.   Остальные   пункты   задания   вам предстоит выполнить сейчас. Будьте внимательны и наблюдательны. Содержание одной из карточек. Карточка-задание. № Уравнение 1 2 3 4 х2 ­ 6х + 8 = 0 х 2 + 8х + 15 = 0 х2 ­ 5х – 6 = 0 х2 + 3х – 10 = 0 Корни уравнения    х1 и х2 Сумма корней уравнения х1+х2 Произведение корней уравнения  х  1 х 2 3 Задания: 1. Решите данные уравнения (этот пункт выполнен дома) 2. Найдите для каждого уравнения: а) сумму корней; б) произведение коней. 3. Сравните сумму и произведение корней каждого приведенного квадратного уравнения с его коэффициентами. 4. Подметьте закономерность и сделайте вывод. 2) Обсуждение результатов выполнения заданий. На слайдах №4, №5, №6 демонстрируются карточки­ задания каждой группы. Представители каждой группы рассказывают о результатах своей работы и делают вывод, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Учитель:  ребята,   вы   сделали   вывод,   рассмотрев   несколько   частных   примеров.   И   вы   действительно обнаружили свойство корней, которыми обладают исследуемые вами, приведенные квадратные уравнения. Но можем ли мы утверждать, что этими свойствами обладают сумма и произведение корней любого квадратного уравнения  имеющего корни? Ученики: Нет, надо доказать эти свойства для уравнения общего вида.  (Если учащиеся затрудняются ответить на поставленный вопрос, то необходимо напомнить, что в геометрии недоказанные утверждения не используются в решении задач). 3) Доказательство теоремы.  3.1Учитель:  Нам   предстоит   доказать   теорему.   При   доказательстве   будем   использовать   известные   вам приёмы работы с теоремой. Задание: 1. Откройте учебник на стр. 130.                 2. Прочитайте формулировку теоремы Виета.                 3. Выделите условие и заключение. После   самостоятельной   работы   учащихся   с   формулировкой   теоремы   и   фронтального обсуждения с классом на доске появляется запись. Слайд№7.    .   Дано:  2  x xx 1 , 2 px  q  корни ,0 D  0 Доказать:   и  x 1  2 3.2  Доказательство ведут работая   в   группах. посильна,   так   как теоретические знания были воспроизведены и записаны на доске. От учащихся требуются умения по сложению и умножению алгебраических дробей. Учитель:  Ребята,   запишите   в   тетрадь   формулы   корней   приведенного   квадратного   уравнения. Самостоятельно, работая в группах, найдите сумму и произведение корней. теоремы   самостоятельно, Эта работа учащимся необходимые  2 x учащиеся x 1 q p x Пока учащиеся работают в группах, вызываю к доске двух учащихся, которые работают на крыльях доски с обратной стороны. Один из них находит сумму корней приведенного квадратного уравнения, второй произведение коней. В это же время получают индивидуальное задание ещё двое более сильных учащихся, которые работают   на   центральной   части  доски:   один   из   них  находит   сумму   корней  полного   квадратного уравнения, а второй произведение корней. 3.3. Проверка доказательства теоремы. После окончания работы в группах, крылья доски закрываются. Центральная часть доски закрыта. 4 Учащиеся,   работавшие,   над   доказательством   теоремы   для   приведённого   уравнения   поочерёдно комментируют свои решения, проговаривая условие и заключение, а остальные слушают и проверяют своё доказательство. На крыльях доски соответствующие записи: x 1  x 2  P  2  P D   2 D   P   PD  2 D   P 2 2  P ;  0D x 1  x 2  P  2 D   P  2   D  P  D P     4  D    P 2  2  D   4 2 P   4 D  2 P    4 q 2 P 4  q 4 4 q ,  0D 1.4. Учитель:  Ребята, давайте   выясним   условие   существования   данной   теоремы.   В   теореме   говорится   о   свойствах   корней приведённого квадратного уравнения, а при каком условии уравнение имеет два корня? Ученики: Уравнение имеет два корня, если дискриминант неотрицательный, т.е. D 0 Учитель: А как найти сумму и произведение, если дискриминант равен нулю? (D=0) Ученики:   Если   D=0, то уравнение имеет один корень, и тогда теорема Виета не существует  (ученики могут допускать неверное толкование т. Виета при условии D=0 Учитель: Если D=0, то условно принято считать, что квадратное уравнение имеет два равных корня, т.е. х1=х2 и  поэтому теорема Виета применима и в этом случае. 4)  Учитель: Слайд №8 Ребята,   открытая   и   доказанная   вами   теорема   была   действительно   открыта   и   доказана выдающимся   французским   математиком   Франсуа   Виетом   (1540­1603гг),   хотя   о   связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения знали уже математики Древнего Вавилона и Древнего Египта. 5. Учитель: Используя теорему Виета, легко вывести соответствующие формулы и для не приведённого (полного)   квадратного   уравнения.   Постарайтесь   самостоятельно   записать   формулы,   выражающие соотношения между корнями не приведённого квадратного уравнения и его коэффициентами. Учащимся   данное   задание   посильно,   т.к.   вначале   урока   было   воспроизведено   в   памяти   учащихся преобразование  не приведённого квадратного уравнения в приведенное и на доске сохранена запись: 2 ax  ,0 a 0 2 x   0  bx b a x c c a 2 x  px  q ,0 p  b a , q  c a Ученики:  Любое   не   приведенное   квадратное   уравнение   можно   преобразовать   в   приведенное.   Зная зависимость между коэффициентами можно записать формулы Виета для полного  квадратного уравнения x 1 x 1  x 2 b a  x 2 c a 5 Учитель:   Ребята,   вы   смогли   записать   формулы   Виета   для   не   приведенного   (полного)   квадратного уравнения используя зависимость между коэффициентами, т.е. зная что  .     p b  , a q  c a  А вот двое учащихся (…) доказали теорему Виета для не приведенного квадратного уравнения. (Открываю крылья доски и на центральной её части записано доказательство теоремы Виета для не приведенного (полного) квадратного уравнения) x 1  x 2 b  a 2  b D   2 a D   b  bD 2  a D   2 b a 2  b a , D  0 D    b    D 2 4 a b   D   2  b    2 a 4 2  D  2 b 4 D 2  a  x 1  x 2 D b  2 a 2 b   4 ac  2 b 4 2 a  c a ,     b  2 a 0D  Учащиеся, работавшие у доски,  комментируют свои решения, проговаривая условие и заключение. В   итоге   силами   учащихся   формулируется   теорема   Виета   для   не   приведенного   (полного) квадратного уравнения.  После   этого   вывешиваю   плакат.   «Теорема   Виета»,   где   соответствующим   цветом   выделены коэффициенты в уравнениях общего вида и в формулах Виета). Для лучшего запоминания теоремы Виета для полного квадратного уравнения вниманию учащихся предлагаю стихотворение.  Слайд№9 По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножить ты корни и дробь уж готова,  В числителе «с» в знаменателе «а»,  А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, это что за беда? В числителе «в» в знаменателе «а». 5. Первичная проверка понимания 1). Слайд№9 Каждое из следующих уравнений имеет два корня х1 и х2.  Не решая уравнение, найдите сумму и произведение корней:   x 1  x ? x ? x 1   2 2   1­группа                      2­группа                     3­группа     1. х2 ­7х ­ 9=0           1.            1.  2 x  5 x  6 0 2 x  4 x  5 0   2. х2+13х+25=0        2.  2 x  x 7  12 0         2.  2 x  x 12  32 0   3. 2х2+8х­19=0         3. 3х2­15х+12=0       3.  3 2 x  x 7  2 0 6 Каждая группа устно решает соответствующее уравнение и обосновывает решение, проговаривая теорему Виета. 2) Задание, провоцирующее на ошибку. Дано уравнение: 2х2­5х+4=0 а) Запишите в тетрадь данное уравнение. б) Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней. в) Решите уравнение и выполните проверку предыдущего решения. Цель   задания:  акцентировать   внимание   учащихся   на   условии   применения   теоремы   Виета.   (В результате решения данного уравнения учащиеся видят, что D = ­7, т.е. уравнение не имеет корней, следовательно, теорему Виета для данного уравнения применять было нельзя) 3)  Предлагаю учащимся ответить на вопрос задания, поставленный вначале урока. Ученики: Если квадратное уравнение имеет два корня, то D 0, и если корни уравнения найдены, верно, то  согласно теореме Виета их сумма должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену уравнения. 1) 1+1998=­(­1999)       2)  1  1999  1998 1998=1998                     1999=1999 Вывод: Корни уравнения найдены, верно. 6. Первичное закрепление. 1) Задание:  Помогите восстановить уравнение, зная его корни. 2 x  x _  _ 0  и  ,   1 x 8 2 x 4 Каждая     группа     решает   задание   самостоятельно     устно   и   представитель   группы   записывает, полученное уравнение на доске. После обсуждения предлагаю  слайд №10  со способами письменного оформления и с целью самоконтроля. 1 способ. Так как по теореме Виета х1+х2= ­p, то 8 + 4 = ­p, т.е. –p=12,  p = ­12 х1 .х2=q, то 8.4=q,  т.е. q=32  Уравнение имеет вид:    2 x  12 x  32 0 Или другое оформление: используя формулы Виета, получу  2 x   48   x  0 48 , 2 x  12 x  32 0 . 2   способ.  Используя   формулу   разложения   квадратного   трёхчлена   на   множители   и ,   получу   произведение   множителей ( x  )(8 x  )4 0 2 ах  bx  c ( xa  x 1 )( x  x 2 ) уравнение  2 x  12 x  32 0 . 2) Работа в группах. Слайд №11 1­группа                       2­группа                           3­группа   1. № 513(г)                 1. № 513(д)                     1. № 513(е)              2. № 516(а)                 2. №516 (б)                     2. № 516(в)     3. №520 (а)                   3. №520 (б)                      3. №520 (в) 7 Каждая группа учащихся выполняет  задание письменно и тетради  сдают на проверку. 7. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению      Задание на дом:  А­ №514(д, е), №515(в, г)                                  Б­ №521(а, б), №523(а), №524(а) Учащиеся из предложенных заданий может выбрать любые задания. 8. Рефлексия (подведение итогов занятия) 1) Что нового узнали за урок?  2) Чему научились?  3) Пригодятся ли полученные знания и умения в дальнейшем? 4) Какие приёмы учебной деятельности использовали на уроке? 5)  Консультанты групп оценивают работу учащихся на уроке.       (у каждого консультанта имеется памятка с критериями оценивания).     8