Конспект урока "Второй признак равенства треугольников"

Повторив уже известный нам первый признак равенства треугольников, говорим о втором признаке  равенства треугольников. Мы приводим его доказательство и решаем задачи, используя этот  признак. Конспект урока "Второй признак равенства треугольников"    Первый признак равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: Пусть АВС и А1В1С1 - треугольники, у которых АВ=А1В1, ∠А=∠А1, ∠В=∠В1. Доказать, что ∆ АВС= ∆ А1В1С1. Наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 таким образом, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, сторона АВ - с равной ей стороной А1В1, а вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1. Так как ∠А=∠А1 и ∠В=∠В1, то сторона АС наложится на луч А1С1, а сторона ВС - на луч В1С1. Поэтому вершина С (общая точка сторон АС и ВС) окажется лежащей на лучах А1С1 и В1С1, а следовательно, совместится с общей точкой этих лучей - вершиной С1. Значит, совместятся стороны АС и А1С1, ВС и В1С1. Получаем, что ∆ АВС и ∆ А1В1С1 полностью совместятся, то есть они равны. Пример. Доказать, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, поведённые к боковым сторонам, равны между собой. Пусть треугольник АВС равнобедренный, у которого АВ=ВС. АМ и CN - биссектрисы. Рассмотрим треугольники АМВ и CNB. У них угол В - общий, АВ=ВС по условию, углы NСВ и МАВ равны как половинки двух равных углов при основании равнобедренного треугольника. Тогда получаем, что ∆ АМВ=∆ CNB по второму признаку. Откуда следует, что АМ=СN. Пример. Точки Е и F лежат соответственно на сторонах АВ и CD квадрата ABCD так, что ∠FВС=∠ЕDА. Доказать, что ∆ СBF= ∆ ADE. Рассмотрим ∆ СBF и ∆ ADE. У них сторона ВС=AD, так как все стороны квадрата равны, ∠ВСF=∠DAE, так как все углы квадрата прямые, ∠FВС=∠ЕDА по условию задачи. А следовательно, ∆ СBF и ∆  ADE равны по второму признаку равенства треугольников. Пример. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е, которая является серединой отрезка АВ, а ∠EAD  и ∠EBC ­ равны. Доказать, что ∆ СВЕ и ∆ ADE равны. Чему равна длина отрезка AD, если отрезок СВ=7 см? Рассмотрим ∆ СВЕ и ∆ ADE. У них сторона АЕ=ВЕ, так как Е - середина отрезка АВ. ∠EAD и  ∠EBC равны по условию задачи. А ∠СЕВ и ∠AED равны как вертикальные. Получаем, что ∆ СВЕ и ∆ ADE равны по второму признаку. Следовательно, у них соответственные стороны равны. Значит, сторона AD=СВ. То есть AD=7 см.