Конспект урока "Задачи на построение"

Прежде, чем приступить к рассмотрению задач на построение, даём определение окружности, а  также говорим, что является центром, радиусом, хордой, диаметром и дугой окружности.  Затем, выяснив, что можно построить с помощью циркуля и линейки без делений, учимся решать  задачи на построение, используя эти инструменты. Конспект урока "Задачи на построение"    Определение: Окружность - это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Точка О - центром окружности, а отрезок ОМ, соединяющий центр с точкой М, лежащей на окружности, называется радиусом окружности. Радиус окружности обычно обозначают буквой r. Из определения окружности следует, что все радиусы имеют равную длину. Возьмём некоторую окружность с центром в точке О. Отметим на этой окружности две произвольные точки А и В и соединим их. Полученный отрезок АВ называется хордой окружности. А вот хорда СD, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса, то есть СD=ОD. Также отметим, что центр окружности является серединой любого диаметра. Любые две точки окружности делят её на две части, каждая из которых называется дугой окружности. CDB и CAB - дуги окружности, ограниченные точками С и В. Для изображения окружности на чертеже используют циркуль. А вот на местности окружность можно провести с помощью верёвки. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Ранее вы уже проводили прямые и откладывали отрезки, чертили углы, треугольники и другие геометрические фигуры. При этом вы использовали такие инструменты как масштабная линейка, транспортир, циркуль, чертёжный угольник. В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить, используя только циркуль и линейку без масштабных делений. С помощью линейки можно: · провести произвольную прямую; · построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно: · провести окружность произвольного радиуса; · провести окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Пример. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Изобразим луч ОС и отрезок АВ. Построим окружность радиуса АВ с центром в точке О. Полученная окружность пересекает луч ОС в некоторой точке D. Отрезок OD и является искомым. Пример. Отложить от данного луча угол, равный данному. Возьмём некоторый угол с вершиной в точке А и некоторый луч ОМ. Нам нужно построить угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОМ. Проведём окружность произвольного радиуса с центром в точке А. Окружность пересекает стороны угла в точках В и С. Проведём окружность такого же радиуса с центром в точке О. Она пересекает луч в точке D. Затем построим окружность с центром в точке D, радиус которой равен ВС. Окружности с центрами О и D пересекаются в двух точках. Докажем, что ∠МОЕ ­ искомый угол. Рассмотрим ∆ АВС и ∆ ODE. Отрезки АВ и АС - радиусы окружности с центром в точке А. OD и OE - радиусы окружности с центром в точке О. По построению данные окружности имеют равные радиусы, поэтому АВ=OD и АС=ОЕ. А также по построению ВС=DE. Следовательно, треугольники АВС и ODE равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому ∠ВАС=∠DОЕ, то есть построенный ∠MOE равен углу с вершиной в точке А. Пример. Даны прямая а и точка М, лежащая на данной прямой. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную этой прямой. На лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ. Построим окружность с центром в точке А радиуса АВ и окружность с центром в точке В радиуса АВ. Полученные окружности пересекаются в точках P и Q. Проведя прямую МР, докажем, что эта прямая искомая. Для этого рассмотрим треугольник АРВ, который является равнобедренным, так как РА и РВ - равные радиусы окружностей с центром в точках А и В соответственно. РМ является медианой треугольника, проведённой к основанию. А значит, является и высотой, то есть прямая РМ перпендикулярна прямой а. Следует отметить, что не существует единого алгоритма решения задач на построение. Каждая задача требует индивидуального подхода для решения.