Конспект занятия по математике на тему "Основные понятия комбинаторики"

Тема:  Основные понятия комбинаторики.   Цели урока:  Обобщить   и   систематизировать   знания,   умения   и   навыки   учащихся   по   теме основные   понятия   комбинаторики:   факториал,   перестановки,   размещения, сочетания. Развить   наглядно­образное   мышление   и   внимание   при   работе   с  операциями   над множествами.  Развить коммуникативные навыки при оперировании математическими понятиями.     Воспитать аккуратность при записи в тетради.   Осуществить межпредметные связи с физикой, геометрией.   Повысить интерес учащихся к предмету.  Тип урока: изучение нового материала. Оборудование:      компьютер,  учебные материалы  научная литература,  презентация.  Прогнозируемый результат:  Знать и понимать понятия  комбинаторики: факториал, перестановки, размещения, сочетания. План урока: 1. Ознакомление с темой урока и планом урока.  2. Изучение нового материала. Ход урока: Комбинаторикой   называется   раздел   математики,   в   котором   исследуется, сколько   различных   комбинаций   (всевозможных   объединений   элементов), подчиненных   тем   или   иным   условиям,   можно   составить   из   элементов, принадлежащих данному множеству. Слово   «комбинаторика»   происходит   от   латинского   слова  combinare, которое означает «соединять, сочетать». Определение: Группы, составленные из каких – либо элементов, называются соединениями.    Различают три основных вида соединений: размещения, перестановки и сочетания.     Задачи,   в   которых   производится   подсчет   возможных   различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными. 1 Определение: Размещениями из n элементов по k (k < или = n) называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо сами элементами (хотя бы одним), либо порядком их следования.   Число размещений из n элементов по k обозначаются   А n k    (читается: «А из n по k»). k   = n · (n – 1) · (n – 2) · … · (n – (k – 1)). Формула вычисления:                              А n Пример: Обучающиеся 1 курса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков? Решение:  A6 10= 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 = 151 200 Ответ: 151 200 Определение:  комбинации   из  n­элементов,   отличающихся   друг   от   друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов.  Перестановки из n элементов обозначают Pn и вычисляют по формуле: Pn=n! n!=1 · 2 · 3 · 4 · … · n (n факториал) Свойство: 0!=1 Пример: Сколькими   способами   могут   разместиться   5   пассажиров   в   пятиместной каюте? Решение:  P5 = 5! =  1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120 Ответ: 120 С использованием формулы Рn = n! выражению А n · (n – (k – 1)) можно придать вид:                      k = n · (n – 1) · (n – 2) · …                                               А n    n  !   . k =    (n – k)! Определение:  Сочетаниями   из  n  элементов   по  k  называется   называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.  Число сочетаний из n элементов по k обозначают   С n k    (читается: «С из n по k»). Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле:                                                                                                                   С n Пример: В   группе   25   учеников.   Сколькими   способами   можно   из   них   выбрать   4  n  !      . k =    n! (n – k)!   учащихся для дежурства? С Решение: 4 25 !25  !21!4  25  24 23  4321 22  12650 Ответ:12650 Практические задания: 2 1.В   конкурсе   участвуют   20   человек.   Сколькими   способами   можно присудить первую, вторую и третью премии? Решение: A20 3 = 20 ∙ 19 ∙ 18 = 6840  2.Сколько   перестановок   можно   получить   из   букв,   составляющих   слово «апельсин».  Решение: P n= 8! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6∙ 7∙ 8= 40320    3.Сколькими   способами   можно   составить   трехцветный   полосатый   флаг, если имеются ткани 6 цветов?  Решение: С 3 6 !6  !3!3  456  321  20 Домашнее задание: 1.Теория: Учебник: Математика : учеб. для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 5 – е изд., стереотип. – М. : Дрофа, 2008. – 395, [5] с. : ил. Глава 16. §93. Пункты 1, 2, 3,  стр. 371 ­ 373. 2.Практика: Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторится? Решение:                5!    .  А 5 Ответ: 60 3 = (5 – 3)! = 60 На   тренировке   занимаются   12   баскетболистов.   Сколько   может   быть образовано тренером различных стартовых пятерок? Решение:                   12!      .  С 12 Ответ: 792 5 = 5! (12 – 5)! =  792 Литература: 1.   И.Д.   Пехлецкий.   Математика:   Учебник   для   средних   специальных   учебных заведений М., 2003. 2. Алгебра и начала анализа, под ред. Г.Н. Яковлева в 2­х ч. М., 2005 3.   Богомолов   Н.В.,   Самойленко   П.И.   Математика:   Учебник   для   средних специальных учебных заведений – М.: Дрофа, 2005.  4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие, 5­е изд. – М.: Высшая школа, 2006. 3