Курсовая работа на тему "Модуль действительного числа в школьном курсе математики"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный федеральный университет» ШКОЛА ПЕДАГОГИКИ Кафедра математики, физики и методики преподавания Шаныгина Ольга Александровна МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ КУРСОВАЯ РАБОТА Студент гр. Б2304 _________________                                          (подпись) Руководитель: доцент кафедры математики,                           физики и методики преподавания ________________ Я. В. Делюкова Регистрационный №_____________                          Оценка _________________________  ____________     _________________     (подпись)             (И.О.Фамилия)                            __________         _________________                                                                                  (подпись)               (И.О.Фамилия) «____» ____________________2014 г                                                                                                   «___»_____________________2014 г. г. Уссурийск 2015 г. Оглавление Введение............................................................................................................................... 3 1Изучение темы «Модуль числа» в школьном курсе математики....................................4 1.1 Изучение темы «Модуль числа» по учебникам «Математика» под редакцией А. Г. Мордкович.....................................................................................................................4 1.2 Классификация задач на тему «Модуль числа»................................................12 2 Примеры решений заданий по теме «Модуль числа»..................................................15 2.1 Способы и методы решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.......................................................................................15 2.2 Решение заданий по теме «Модуль числа» в контрольно измерительных материалах ОГЭ при итоговой аттестации учащихся за курс средней школы.............19 Упражнение 3 ([1], вариант 9, №23). Постройте график функции у=|х2 +6х+5| и найдите , при каких значениях m прямая у = m пересекает построенный график ровно в трех точках............................................................................................................22 Заключение.........................................................................................................................24 Список литературы.............................................................................................................25 2 Введение Понятие   связанные   с   абсолютной   величиной   действительного   числа используется в различных разделах школьного курса алгебры, и в курсе школьной геометрии.   Темы,   связанные   с   модулем   являются   сложными   для   восприятия учеников. Задачи с модулем встречаются на математических олимпиадах, в заданиях ОГЭ и ЕГЭ. В различных учебниках первоначальное понятие модуля вводится по– разному:   как   расстояние   от   точки,   изображающей   число   до   начала   отсчёта (Математика.   Н.Я.   Виленкин,   и   А.   Г.   Мордкович),   как   число   «без   знака» (Математика. Г.В. Дорофеев).  Целью   данной   работы   является   изучение   темы   «Модуль   числа»   в   курсе школьной математики в учебнике «Математика» под редакцией А. Г. Мордкович.  Задачи исследования:  –   ознакомиться   с   методикой   темы   «Модуль   числа»   в   курсе   школьной математики (на примере учебника «Математика» под редакцией А. Г. Мордкович;  –  рассмотреть различные способы и методы решения уравнений и неравенств в курсе школьной математики;  –   рассмотреть различные примеры, способы и методы решения уравнений и неравенств в курсе школьной математики в контрольно – измерительных материалах ОГЭ за курс основной школы;  Курсовая работа состоит из введения, двух параграфов, списка литературы и заключения.  Все   упражнения   были   решены   самостоятельно   и   снабжены   ссылкой   на задачник. 3 1Изучение темы «Модуль числа» в школьном курсе математики 1.1   Изучение   темы   «Модуль   числа»   по   учебникам   «Математика»   под редакцией  А. Г. Мордкович Впервые   понятие   модуль   числа,   а   также   его   обозначение,   встречается   в   «Модуль   числа. учебнике   А.Г.   Мордкович   «Математика.   6   класс»,  в   §3.   Противоположные числа».  Это понятие  вводится при   помощи числовой прямой, и трактуется следующим образом: «Расстояние от точки А(а) до начала отсчета, т.е. до точки О(0), называют модулем числа (а) и обозначают  |а| ».  При этом оговаривается, что « |0|=0 ». Далее приводятся примеры и правильное произношение данного понятия: «Например,     |−4|=4,|6|=6   (читается:   «модуль   минус   четырех   равен четырём», «модуль шести равен шести»).» После всего этого, приводится система упражнений на закрепление данного понятия. Например, такие упражнения как: – нахождение модуля от данного числа ([2], №62, №63), – из данных чисел выбрать то, которое имеет наибольший модуль ([2], №64).  В учебнике приводятся упражнения и на сравнение чисел под знаком модуля и без   ([2],   №85,№86).   В   упражнениях   ([2],   №91,   №92,   №105,   №106)   необходимо вычислить арифметическое выражение, в котором два или же оба члена под знаком модуля, или всё оно ([2], №91, №92, №105, №106). В   §5   «   Параллельность   прямых»   приводится   ряд   упражнений,   связанных   с понятием модуль. Здесь встречаются упражнения на: − сравнение двух чисел под знаком модуля, и где одно из них не под знаком модуля (№152), − выполнение арифметических действий с модулями ([2], №154, №155, №163, №166, №167). 4 Далее,   в   §9   «Расстояние   между   точками   координатной   прямой»,   вновь встречаются   понятие   модуль.   Здесь   приводиться   система   упражнений,   которая поможет ввести новое понятие при помощи модуля: − сравнение двух чисел ([2], №289, №290) с модулем и, где одно из них не под знаком модуля, и ([2], №293) двух выражений; −   ([2],   №292)   приводиться   упражнение   на   использование   знака   модуля,   в текстовой форме: Используя знак модуля, запишите: а) модуль суммы чисел a и b; б) сумму модулей чисел a и b; в) модуль разности чисел a и b; г) разность модулей чисел a и b; Далее приводить упражнение ([2], №294), на   сравнение   |a−b|   и   |b−а| , при   различных   значениях.   После   этого   делается   вывод:   «Значения   выражений |a−b|  и  |b−а| , равны при любых значениях а и b.». В  учебнике А.Г. Мордкович  «Математика. 6 класс»   §9 «Расстояние между точками координатной прямой» впервые вводиться понятие расстояние между двумя точками, а также его прочтение, которое записывается в символьной форме, при помощи модуля: «Расстояние   между   точками  a  и  b  равно   модулю   разности   координат   этих точек:  |a−b| . Обычно вместо A(a) и В(b) пишут просто а и b, а расстояние между точками а и b  обозначают   ρ (а,  b), ( ρ−¿ «ро», буква греческого алфавита). Запись   ρ (а,  b) читается: «ро от а, b». Таким образом  ρ (а, b) =  |a−b| » ([2]). После, на данное определение приводиться система упражнений: − найти расстояние между двумя точками ([2], №296); 5 − найти координату середины двух данных точек ([2], №297). В учебнике А. Г. Мордкович «Алгебра. 7 класс», вновь встречается понятие модуль   в  §5   «Координатная   прямая».   В   данном   параграфе,   вновь   встречается понятие   расстояние   между   двумя   точками,   а   также   прочтение   данного   понятия, которое записывается в символьной форме, при помощи модуля. Оно аналогично тому, что приводиться в учебнике «Математика. 6 класс» в §9 «Расстояние между точками координатной прямой». В учебнике Мордкович «Алгебра. 8 класс» вновь встречается понятие модуль в §16 «Модуль действительного числа. Функция у =  |х| ». В пункте 1 §16 «Модуль действительного   числа   и   его   свойства»   приводится   определение   модуля действительного числа и его свойства: «Определение. Модулем неотрицательного действительного числа х называют само   это   число:   |х|   =   х;    модулем   действительного   числа   х   называют противоположное число:  |х|  = − х. Например,  |5|  = 5;  |−5|  = − (−5); |√5−2|=√5−2  (так как  √5−2>¿ 0); |√5−3|=−(√5−3)=−√5+3  (так как  √5−3<¿ 0); Свойства модуля: 1.  |a|≥0 . 2.  |ab|=|a||b|. 3.  |a b|=|a| |b| . 4.  |a|2=a2. 5.  |a|=|−a|. 6 6.  |a|≥a . 7.  |a+b|≤|a|+|b| .» ([4]) Последние два свойства приводятся с доказательством. В пункте 2 «Геометрический смысл модуля действительного числа» этого же параграфа, вновь встречается понятие расстояние между двумя точками, но уже для действительных чисел охватывающие три случая: «Вернемся   к   множеству   R     действительных   чисел   и   его   геометрической модели  –  числовой прямой. Отметим на прямой две точки а и b ( ρ−¿ «ро», буква греческого алфавита). Это расстояние равно b – а, если b > а (рис. 21, а), оно равно а – b, если а > b, (рис. 21, б), наконец, оно равно нулю, если а = b. Рисунок 21 Все три случая охватываются одной формулой ρ (а, b) =  |a−b| .». ([4]) Здесь впервые встречаются уравнения с модулем и неравенства. В примерах 1,2,3   приводятся   уравнения,   содержащие   переменную   под   знаком   модуля,   с подробным решением. Например: «Пример 1. Решить уравнения: а)  |х−2|=3 .; б)  |х+3,2|=2 ;  в) |х|=2,7 ; г)  |х−√2|=0 ;  7 Рисунок 22 Решение. а) Переведём соотношение  |х−2|=3   на геометрический язык: нам надо найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию ρ(х,2)=3 , то есть удалены от точки 2 на расстояние, равное 3. Это − точки −1 и 5 (рис. 22). Следовательно, уравнение имеет два корня: −1 и 5.» А в примере 4, встречаются неравенства содержащие переменную под знаком модуля. Здесь приводиться подробное решения данного типа заданий. Например: «Пример 4. Решить неравенства: а)  |х−2|<3 .    Решение. а) Переведём соотношение  |х−2|<3  на геометрический язык: нам  надо   найти  на   координатной   прямой  такие   точки   х,  которые   удовлетворяют условию ρ(х,2)<3 , то есть удалены от точки 2 на расстояние меньшее, чем 3. На расстояние, равное 3, удалены от точки 2 точки –1 и 5 (см. рис. 22). Следовательно, решениями интересующего нас неравенства являются все числа из интервала (–1; 5) (см. рис. 22).» В   пункте   3   «Тождество   √а2=|а| »   объясняется   как   вычислять   или   же упрощать  числовое или алгебраическое выражение. Производиться сравнение двух √а2и|а| , выясняется, что они равны, то есть данное и данное тождество имеет место   √а2   =   |а|   верно. При этом отмечается, что в роли а может выступать любое числовое или алгебраическое выражение, например, √(3х−4)2=|3х−4|, 8 √(2−√7)2=|2−√7|и так далее. В   тексте   учебника   приводятся   примеры   с   подробным   решением.   Например: «Пример 7. Упростить выражение  √52−30√3−√43−24√3. Решение. 1) Рассмотрим подкоренное выражение  52−30 √3 . Имеем: 52−30 √3=52−2∙5∙3∙√3. Положим а = 5, b =  3√3 ; тогда а2+b2=52+(3√3)2=25+27=52. Это   значит,   что   рассматриваемое   выражение   можно   представить   в   виде а2+b2−2ab , т. е. в виде (а−b)2 . Итак, 52−30 √3=25+27−2∙5∙3√3=52−2∙5∙3√3+(3√3)2=(5−3√3)2. Значит, √52−30√3=√(5−3√3)2=|5−3√3|=3√3−5. 2) Рассмотрим подкоренное выражение  43−24√3 . Имеем: 43−24√3=43−2∙2∙2∙3∙√3. Положим а = 4, b =  3√3 ; тогда а2+b2=42+(3√3)2=16+27=43. Это   значит,   что   рассматриваемое   выражение   можно   представить   в   виде а2+b2−2ab , т. е. в виде (а−b)2 . 9 Итак, 43−24√3=16+27−2∙4∙3√3=42−2∙4∙3√3+(3√3)2=(4−3√3)2. Значит, √43−24√3=√(4−3√3)2=|4−3√3|=3√3−4. (3√3−5)−(3√3−4)=−1. » ([4]). 3)  В пункте 4 «Функция   у=|х| » этого же параграфа рассматривается график данной функции и устанавливаются её свойства. Далее, в пункте 5 «Разные графики функций с модулями» приводятся примеры на   закрепление   свойств   функций,  содержащих   знак   модуля.   В   этих   упражнениях рассматривается построение графиков. В   §23 «Как построить график функции  у=|f(х)|  и  у=f(|х|) , если известен график функции    у=f(х) » приводится подробное описание построения данных функций и примеры с подробным решением. В   §37 «Уравнения с модулями» впервые встречаются уравнения с модулями. В   данном   параграфе   приводятся   примеры   с   подробным   решением.   Описаны несколько способов решения данных уравнений, первый – по определения модуля, второй   –   сведение   к   совокупности   уравнений,   третий   –   графический.   Например, решить уравнение х2+2|х−1|−6=0 .  «Второй   способ.   Выше,   в   §16,   уже   говорилось   о   том,   что   при   решении уравнений с модулями часто рассуждают так. Равенство  |с|=а  при а < 0 неверно, при а > 0 эквивалентно совокупности двух равенств с = а, с = –а, при а = 0 сводится к с = 0 (впрочем, последний случай можно объединить со случаем а > 0). Поэтому если дано уравнение  |f(х)|=h(х)  < 0 оно не имеет решений, а при  h(х) , то при  h(х) 10 ≥   0   надо   рассмотреть   два   случая:   f(х)=h(х) ,   f(х)=−h(х)   (совокупность уравнений). Для   заданного   уравнения   потребуем   выполнения   условия   5х−9 3 ≥0   и рассмотрим совокупность уравнении: х2−6х+7= 5х−9 3 ;х2−6х+7=−5х−9 3 . Оба   эти   уравнения   решены   выше   (при   первом   способе   решения   заданного уравнения), их корни таковы: 6,  5 3 , 3,  4 3 . Условию  5х−9 3 ≥0  из этих четырех значении удовлетворяют лишь два: 6 и 3. Вывод: заданное уравнение имеет корни 6 и 3.» ([4]). В учебнике Мордкович «Алгебра. 9 класс» вновь встречается понятие модуля в §1 «Линейные и квадратные неравенства» в примере 5, содержится неравенство с модулем, при этом приводиться решение. «Пример 5. Решить неравенство:  а) |х−2|<3 ; б)  |х+3,2|≤2 ; в)  |10х|>27 . Решение. Напомним геометрическое истолкование выражения   |х−а|   – это расстояние   на   координатной   (числовой)   прямой   между   точками   х   и   а,   которое обозначают  ρ (х, а), ( ρ−¿ буква греческого алфавита «ро»): |х−а|=ρ(х;а). Пример,  |х−2|=ρ(х;2);|х+3,2|=ρ(х;3,2);|х|=ρ(х;0). а)   Неравенство  |х−2|<3   можно   истолковать   так:   нужно   найти   на координатной   прямой   все   такие   точки   х,   которые   удовлетворяют   условию ρ(х;а)<3 ,  т.  е.  удалены  от   точки  2  на   расстояние,  меньшее 3.  Это  все  точки, 11 принадлежащие интервалу (–1; 5), и только они (рис. З). Интервал (–1; 5) – решение заданного неравенства. Остальные задания решаются аналогично. Рисунок 3». ([5]). В   §11   «Четные   и   нечетные   функции»,   в   примере   4   встречается   функция , и на полуинтервале б)   х∈¿ . Также y=|x| , на промежутке под а)   х∈[−2;2] приводиться подробное решение. В учебнике Мордкович «Алгебра. 10–11 класс» вновь встречается модуль, в §42   «Преобразование   выражений,   содержащих   радикалы»   приводится   обобщение используемой в курсе алгебры за 8 класс –   √a2=|a| , на случай любого чётного показателя корня  2n√a2n=|a|. Далее, в §57 «Решение неравенств с одной переменной», пункт 4 «Неравенства с   модулями»   вновь   встречаются   неравенства   с   модулями.   Здесь   приводиться подробное решение данных уравнений. 1.2 Классификация задач на тему «Модуль числа» Задачи на тему модуль числа, содержащихся в школьных учебниках можно классифицировать следующим образом: 1. Найти модули чисел. 2. Упростить выражение. 1)  |a|,еслиa<0 , 2)  3)  |−|а||,еслиа>0 |–а|,еслиа<0   |−a|,еслиa<0 , |−|a||,еслиa>0 , 12 4)  −|−|a||,еслиa=0. 3. Доказать  тождество. 1)   |а−5|=а−5 2) |а−7|=|7−а|    |a−7|=|7−a| . |a−5|=a−5 , ||x|−2|=4 , 4. Решить уравнение: 1)  ||х|−2|=4 2)  |2х−3|=3−2х |2x−3|=3−2x , 3)  |х−х2−1|=|2х+3−х2| |x−x2−1|=|2x+3−x2| . |x2−1|≥1 , 5. Решить неравенства с одним неизвестным. 1)  |х2−1|≥1 2)  |х2−4х+3|≤х+3 | 4 x+5|> 6 3)  | 4 |x2−4x+3|≤x+3 , х+5|> 6 11 , 11 (|х|−1)(|х|−2)≤0 4)  (|x|−1)(|x|−2)≤0 . 6. Неравенства с двумя неизвестными. 1)  |x−y|<2 , 2)  |y|+|x−2|<3 . 7. Система уравнений с двумя неизвестными. у=5+|х−1| 1)  {|х−1|+|у−5|=1 2)  {у−2|х|+3=0 3)  {|х2−2х|+у=1 |у|+х−3=0 , х2+|у|=1 , , 13 4)  {3у+х=2 у|=2 . |х−1 8. Система неравенств |х−5|<5 , 1)  { |х|≥6 2)  {|2х−5|<3 3)  { |3х−1|≤4 , |х−4|<х−3 |х−5|+|х−6|+|х−7|>15 . 9. Модуль и преобразование корней Упростите выражение: 1)  √(b+2)2−8b÷(√b− 2 √b),приb>0, х х2+1 ∙√1+(х2−1 2х ) 2 , у−2 √у+2√у−1 1 ∙ √у−2√у−1 , 2)  3)  10. Модуль и иррациональные уравнения Решить уравнение: 1) √х+5−4√х+1+√х+10−6√х+1=1 , 2)  х2−5√х2−6=0 , 3)  √х2−8х+16+√4х2−4х+1 = 10, 4)  √(√х−1−2)2+√(√х−1−5)2=3 , 5)  √х+5−4√х+1+√х+2−2√х+1=1 , 6)  √х+√2х−1+√х+4+3√2х−1=√32 . 14 11. Построение графиков функций с модулем: 1)  у=|2х−6| , 2)  у=|6 х| , 3)  у=|||х−2|−2|−2| , 4)  у=|2х−4|+|6+3х| , 5)  у=х+√х2 6)  у=(sin2x+cos2x)−|x| x . , 2 Примеры решений заданий по теме «Модуль числа» 2.1 Способы и методы решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля 1) Способ последовательного раскрытия модулей. Упражнение 1. Решить уравнение ||3−2х|−1|=2|х|. Решение: Для   решения   необходимо   последовательно   освобождаться   от   знаков модуля, начиная с внутреннего. Рассмотрим два случая: Первый: 3–2х < 0; второй: 3–2х ≥ 0. Первый. 3–2х < 0, x >   3 2 .  Тогда   |3−2х|=2х−3 ,   |х|=х , и уравнение запишется   в   виде   |2х−3−1|=2х   или   |2х−4|=2х   или   |х−2|=2−х .   Опять рассматриваем случаи а) х – 2 < 0. Тогда  3 2  < x < 2 и  |х−2|=2−х .  Тогда 2– х = х, х = 1. Найденное значение х=1 не удовлетворяет условию  3 2 15 < x < 2. б) х–2 ≥ 0. Тогда х ≥ 2 и  |х−2|=х−2 . Получаем х – 2 = х. Это уравнение не имеет решения.  Второй. 3 – 2х ≥ 0, х ≤ 1,5, тогда  |3−2х|=3−2х . Получим  |3−2х−1|=2|х| , откуда  |2−2х|=2|х| ,  |1−х|=|х| . Теперь последовательно раскрываем оставшиеся модули: а) 1–х < 0, 1,5 > x >1, тогда  |1−х|=х−1 ,  |х|=х , уравнение принимает вид х–1=х, –1≠0. Следовательно, на этом промежутке решений нет. б) 1–х ≥ 0, х ≤ 1,  |1−х|=1−х ,  1−х=|х| . Опять рассматриваем два случая х < 0 и х ≥ 0. При х < 0 имеем 1–х=–х, откуда следует 1=0, что неверно.  образом, этот случай не даёт решения. Таким При   х   ≥   0   имеем   1–х=х,   откуда   следует   2х=1, х=0,5.  Ответ х=0,5. 2)  Способ одновременного раскрытия модулей. Рассмотрим способ одновременного раскрытия модулей на том же примере. Упражнение 1. Решить уравнение  ||3−2х|−1|=2|х| . Решение: При х < 0 разность (3–2х) положительна, поэтому можно раскрыть сразу два модуля. ||3−2х|−1|=−2х |2−2х|=−2х x<0 ⟷{x<0 2=0 . x≥15 ⟷{ 1:{ 2:{ В этом случае нет решения. При х ≥ 1,5 также можно раскрыть сразу два модуля. x≥15 |2х−3−1|=2х ⟷{ x≥15 |х−2|=2х . 16 Уравнение системы приводит к рассмотрению двух случаев. ⟷{1,5≤х<2 х=1 ,системанеимеетрешений.   −х+2=х x<2 2.1:{ x≥15 2.2:{ x≥15 x≥2 х−2=х ⟷{ х≥2 −2=0 ,системанеимеетрешений.   Осталось рассмотреть случай х ≥ 0 и х < 1,5. 3:{ x≥0 x<15 |3−2х−1|=2х ⟷{0≤х<1,5 |1−х|=х  . Решим уравнения системы: x≥1 х−1=1 3.1:{0≤х<1,5 3.2:{0≤х<1,5 1−х=х x<1 ⟷{1≤х<1,5 −1=0 ,системанеимеетрешений.   ⟷{0≤х<1 х=0,5.   Ответ. x=0,5. 3) Метод интервалов. Упражнение 1. Решить уравнение  |х−1|−2|х−2|+3|х−3|=4. Решение: 1) х –1 = 0, х = 1 2) х –2 = 0, х = 2 3) х – 3 = 0, х = 3. Данные точки разобьют числовую ось на интервалы: х < 1, 1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 3 и х ≥ 3. 1:{ x<1 −х+1+2х−4−3х+9=4 ⟷{x<1 х=1 ⟷х=1–неподходящийкорень. 17 1≤х<2 x−1−2х+4+3х+9=4 х−1+2х−4−3х+9=4 2:{ 3:{ 4:{ Ответ:  1≤х<2,х=2,х=5. х−1−2х+4+3х−9=4 4=4 ⟷{1≤х<2 ⟷{2≤х<3 ⟷{x≥1 х=2 х=5 2≤х<3 x≥3 ⟷1≤х<2. ⟷х=2. ⟷х=5. 4) Способ возведения в квадрат. Упражнение 1. Решить уравнение  |3−2х|=3|х+1| . Решение: Так как обе части уравнения неотрицательны, возведём их в квадрат. (3–2х)2 = 9(х+1)2, (3–2х)2– 9(х+1)2 = 0, (3–2х–3(х+1))(3–2х+3(х+1))=0, –5х(х+6)=0. Отсюда получаем х = 0, х = –6.  Ответ: х = 0, х = –6. Упражнение 2. Решить неравенство  |х−1|>|х−2| . Решение: Применим способ возведения в квадрат:    (х−1)2>(х−2)2 . Решая полученное неравенство, находим х > 1,5. Ответ: х > 1,5. 5)   Способ,   использующий   свойства   функций,   входящих   в   уравнение   или неравенство. 1. Использование свойств четной функции Упражнение 1. Найти сумму корней уравнения  ||х|−7|=6−х2 4 . Решение:  Используем свойство четности функций, входящих в данное уравнение. Тогда если  х0 – решение уравнения, то – х0 также является его решением. Например, х = 18 2 является решением данного уравнения, значит и х = –2, также является решением.   корни   уравнения   существуют   и   являются   попарно Следовательно, противоположными числами, поэтому их сумма равна 0. 2. Использование свойства периодичности. Упражнение 2. Решить уравнение  3tg=√3|sin(х)|. Решение: Обе   функции   входящие   в   уравнение,   являются   периодическими   и   имеют период, равный  π . Потому можно найти решение на промежутке [0;  π ] и учесть периодичность. х = 0 – решение. При х ≠ 0 имеем sin(x) ≠ 0, то есть  cos(x)=√3  – нет решения. Ответ: х =  π k, k  ∈Z 2.2 Решение заданий по теме «Модуль числа» в контрольно измерительных материалах ОГЭ при итоговой аттестации учащихся за курс средней школы Упражнение   1   ([1],   вариант   7,   №23).   Постройте   график   функции у=х2−5|х|−х   и   определите,   при   каких   значениях   прямая  y   =   m    имеет   с графиком, не менее одной, но не более трех общих точек. Решение:  При x   <   0 функция   имеет   вид   у=х2+5х−х=х2+4х.    Графиком   этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (так как а = 1 > 0), с вершиной в точке с координатами  х=−b 2а=−2 , y(–2) = –4, пересекающая ось ОХ в точках 0 и –4 (корни уравнения x2+4x = 0). При x > 0 функция имеет вид  у=х2−5х−х=х2−6х . Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (так как а = 1 > 0), с вершиной в 19 точке с координатами  х=−b 2а=3 , y(3)=–9, пересекающая ось ОХ в точках 0 и 6 (корни уравнения  х2−6х=0 ). Строим для x < 0 часть первой параболы, а для x > 0 часть второй параболы. Из рисунка видно, что прямая y = m имеет с графиком функции не менее одной Рисунок 1 и не более трёх общих точек при  m=[−9;−4]∪[0;∞].   Ответ:  m=[−9;−4]∪[0;∞].   Упражнение   2   ([1],  вариант   8,   №23).  Постройте   график   функции у=|х|(х−2)+2   и   определите,   при   каких   значениях   m   прямая   у   =   m   имеет   с графиком ровно две общие точки. Решение:  При x < 0 функция имеет вид  у=−х2+2х+2 . Графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами х=−b 2а=1 , у(1) = 3. Ось ОХ парабола пересекает в точках  х1=¿  –0,73,  х2=¿   2,73 (корни уравнения  −х2+2х+2=0 ), ось ОУ – в точке у=–02+2∙0+2=2 20 При x > 0 функция имеет вид  у=х2−2х+2 . Графиком является парабола с ветвями,   направленными   вверх.   Вершина   параболы   находится   в   точке   с координатами  х=−b 2а=1 , у(1) = 1. Ось ОХ парабола не пересекает (действительных корней уравнение  х2−2х+2=0  не имеет), ось ОУ пересекает в точке у=02–2∙0+2=2 Для  x <  0  строим   часть   первой   параболы,  для  x >  0  строим   часть   второй параболы. Прямая у   =   m параллельна   оси   ОХ.   Из   рисунка   видно,   что   в   двух   точках график функции такая прямая будет пересекать при значениях m=2 и m=1. Рисунок 2 Рисунок 3 21 Ответ:  m = 2, m = 1. Упражнение  3 ([1], вариант 9, №23). Постройте график функции у=|х2 +6х+5| и найдите , при каких значениях m прямая у = m   пересекает построенный график ровно в трех точках. Решение:  Сначала,   строим   график   функции   у   =   х2+6х+5.   Для   этого   находим   точки пересечения с осями и координаты вершины параболы. Затем,   часть   графика,   находящуюся   ниже   оси   Ох,   отображаем   в   верхнюю Рисунок 4 полуплоскость.  22 Рисунок 5 Прямая у = m – прямая, параллельная оси Ох, имеет 3 точки пересечения с графиком при m=4. Это прямая у=4. Ответ: m=4. 23 Заключение Понятие «модуль» впервые вводиться в 6 классе, а далее в процессе изучения курса   математики   добавляются   новые   функции,   а   значит   и   новые   возможности приложения   этого   понятия   (построение   графиков   функций,   аналитическое выражение   которых   содержит   знак   модуля,   решение   уравнений   и   неравенств, содержащих   переменную   под   знаком   модуля).   Задачи   подобного   типа   часто встречаются на математических олимпиадах, в задачниках ОГЭ и ЕГЭ.  В курсовой работе приведены примеры решения задач заданий ОГЭ 2015 год. По результатам анализа учебника можно сделать следующие выводы: 1.   Понятие   модуля   действительного   числа   вводиться   геометрически   как расстояние между двумя точками числовой прямой, а затем дается аналитическое определение модуля. 2. Упражнения с модулем встречаются в учебниках с 6 по 11 класс. 3. Задачи содержащиеся в рассмотренных учебниках интересны и разнообразны (уравнения содержащие переменную под знаком модуля, преобразование выражений, содержащих модуль, построение графиков функций, содержащих модули). 24 Список литературы 1. Лаппо, Л. Д., Попов, М. А. Математика: сборник заданий / Лаппо Л. Д., Попов М. А. – М. : «Экзамен», 2015. – 157 с. 2. Мордкович,   А.   Г.,   Зубарева,   И.   И.   Математика.   6   класс   :   учебник   для общеобразовательных организаций /  А. Г. Мордкович, И. И. Зубарева – 14–е издание, стереотипное  –  М. : Мнемозина, 2014. – 264 с. 3. Мордкович,   А.   Г.   Алгебра.   7   класс.   В   2   ч.   Ч   1   :   учебник   для общеобразовательных учреждений /  А. Г. Мордкович – 17–е издание, дополненное  – М. : Мнемозина, 2013. – 175 с. 4. Мордкович,   А.   Г.   Алгебра.   8   класс.   В   2   ч.   Ч   1   :   учебник   для общеобразовательных учреждений /  А. Г. Мордкович – 10–е издание, дополненное  – М. : Мнемозина, 2013. – 256 с. 5. Мордкович,   А.   Г.   Алгебра.   9   класс.   В   2   ч.   Ч   1   :   учебник   для общеобразовательных учреждений /  А. Г. Мордкович – 12–е издание, дополненное  – М. : Мнемозина, 2010. – 224 с. 6. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 ­11 класс. В 2 ч. Ч 1 : учебник для общеобразовательных учреждений /  А. Г. Мордкович – 2–е издание, дополненное –  М. : Мнемозина, 2001. – 335 с. 25