Тема 1.3. Топографические планы и карты(40 часов)Геодезические задачи
Курс лекций и практикум
преподаватель Тихонова О.Н.
ГБПОУ ИО "Бодайбинский горный техникум"
ПМ 01. Выполнение геодезических работ МДК. 01.01. Топографо-геодезические изысканияРаздел 1. Топографические карты и планы, их построение, назначение и использование
Прямая геодезическая задача
В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А , горизонтальное расстояние SAB от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол αAB или румб rAB), можно определить координаты точки В. В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей.
Прямая геодезическая задача
Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные трудности. Для точек на плоскости она решается следующим образом.
Дано: Точка А( XA, YA ), SAB и αAB.
Найти: точку В( XB, YB ).
Непосредственно из рисунка имеем:
ΔX = XB – XA ;
ΔY = YB – YA .
Прямая геодезическая задача
Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат.
Прямая геодезическая задача
Значения приращений координат находим из прямоугольного прямоугольника АВС:
ΔX = SAB · cos αAB ;
ΔY = SAB · sin αAB .
Так как в этих формулах SAB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков cos αAB и sin αAB.
Прямая геодезическая задача
Вычислив приращения координат, находим искомые координаты другой точки:
XB = XA + ΔX ;
YB = YA + ΔY .
Таким образом можно найти координаты любого числа точек по правилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.
Обратная геодезическая задача
Величину угла rAB определем из отношения
tg rAB= ΔY/ΔX .
По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим αAB.
Для контроля расстояние SAB дважды вычисляют по формулам:
SAB= ΔX /соsαAB
SAB= ΔY/sin αAB
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Упражнение 1. Вычислить координаты точки 2 х2, у2, если известен дирекционный угол a1-2 , горизонтальное проложение стороны 1 – 2 d1-2 и координаты точки 1 х1, у1 . Данные приведены в таблице
.
Вариант | Абсцисса х1, м | Ордината у1, м | Дирекционный угол a1-2 | Горизонтальное проложение d1-2 | Вариант | Абсцисса х1, м | Ордината у1, м | Дирекционный угол a1-2 | Горизонтальное проложение d1-2 |
1 | 2154,35 | 6751,12 | 14˚54’ | 32,79 | 16 | 4612,55 | 896,54 | 293˚07’ | 215,75 |
2 | 5064,64 | 9786,21 | 17˚44’ | 83,98 | 17 | 6750,45 | 3454,77 | 110˚55’ | 206,84 |
3 | 9412,08 | 1324,20 | 96˚12’ | 124,65 | 18 | 4657,57 | 4520,59 | 129˚27’ | 115,72 |
4 | 4567,35 | 2045,69 | 83˚55’ | 50,93 | 19 | 1204,56 | 3010,21 | 89˚30’ | 43,85 |
5 | 3045,28 | 6706,31 | 146˚54’ | 126,45 | 20 | 6421,50 | 4656,41 | 215˚27’ | 94,34 |
6 | 5894,72 | 6289,34 | 77˚07’ | 201,55 | 21 | 6050,81 | 6951,30 | 241˚51’ | 146,70 |
7 | 1247,95 | 5657,09 | 308˚56’ | 190,72 | 22 | 649,04 | 6543,11 | 94˚50’ | 72,54 |
8 | 3054,98 | 6572,92 | 165˚47’ | 124,32 | 23 | 6612,61 | 9854,45 | 301˚06’ | 35,99 |
9 | 4635,04 | 3204,95 | 41˚09’ | 113,77 | 24 | 9756,24 | 4650,87 | 245˚45’ | 99,30 |
10 | 2164,55 | 4250,95 | 80˚13’ | 67,61 | 25 | 7352,09 | 7684,06 | 45˚12’ | 60,46 |
11 | 3152,09 | 5670,60 | 127˚37’ | 97,24 | 26 | 6408,97 | 2785,12 | 207˚51’ | 68,62 |
12 | 7651,24 | 5632,42 | 207˚34’ | 90,46 | 27 | 1298,07 | 6508,37 | 102˚27’ | 154,30 |
13 | 9851,12 | 4652,07 | 162˚04’ | 87,34 | 28 | 4560,23 | 3459,70 | 138˚18’ | 168,21 |
14 | 4675,20 | 1486,54 | 55˚23’ | 135,74 | 29 | 5632,78 | 2539,69 | 9˚03’ | 100,54 |
15 | 7659,45 | 954,57 | 143˚36’ | 108,54 | 30 | 9784,03 | 6754,21 | 65˚34’ | 58,34 |
Упражнение 2.Вычислить дирекционный угол a1-2 и горизонтальное проложение стороны 1 – 2 d1-2, если известны координаты точки 1 х1, у1 и координаты точки 2 х2, у2. Данные приведены в таблице.
Вариант | Координаты точки 1, м | Координаты точки 2, м | Вариант | Координаты точки 1, м | Координаты точки 2, м | ||||
х1 | у1 | х2 | у2 | у1 | х1 | х2 | у2 | ||
1 | 645,78 | 754,65 | 752,23 | 631,02 | 16 | 795,45 | 145,38 | 846,52 | 164,58 |
2 | 975,31 | 93,24 | 976,95 | 146,52 | 17 | 345,87 | 132,44 | 309,78 | 100,97 |
3 | 862,39 | 642,77 | 801,93 | 607,78 | 18 | 975,24 | 645,25 | 943,78 | 632,58 |
4 | 695,62 | 427,89 | 694,59 | 348,32 | 19 | 564,63 | 975,45 | 543,78 | 934,88 |
5 | 278,50 | 197,15 | 324,82 | 246,31 | 20 | 465,21 | 174,84 | 518,64 | 109,46 |
6 | 987,54 | 982,14 | 899,21 | 978,59 | 21 | 645,45 | 785,49 | 601,25 | 821,88 |
7 | 98,45 | 864,21 | 154,90 | 803,45 | 22 | 462,12 | 864,54 | 498,56 | 876,84 |
8 | 167,81 | 645,12 | 209,04 | 653,21 | 23 | 687,24 | 575,72 | 638,45 | 524,90 |
9 | 378,15 | 678,25 | 321,07 | 632,78 | 24 | 814,31 | 278,05 | 768,12 | 299,33 |
10 | 678,15 | 452,12 | 678,15 | 409,45 | 25 | 356,75 | 678,52 | 402,85 | 689,21 |
11 | 794,35 | 621,80 | 886,93 | 643,22 | 26 | 675,02 | 612,45 | 603,55 | 573,54 |
12 | 465,54 | 954,22 | 492,45 | 956,34 | 27 | 752,41 | 954,24 | 782,46 | 900,63 |
13 | 795,97 | 289,45 | 854,98 | 308,94 | 28 | 765,12 | 565,22 | 756,45 | 501,08 |
14 | 683,25 | 975,42 | 784,57 | 962,45 | 29 | 986,14 | 123,89 | 923,57 | 176,34 |
15 | 457,57 | 689,84 | 498,53 | 604,87 | 30 | 378,44 | 645,45 | 423,30 | 688,59 |
Последовательность выполнения работы:
Упражнение 1. Решение прямой геодезической задачи.
По приведенным формулам вычислить приращения координат Δ х, Δ у:
Координаты точки 2 вычисляется по формулам:
Упражнение 2. Решение обратной геодезической задачи.
Дирекционный угол вычисляется по формуле:
Для определения дирекционного угла a1-2 воспользуемся функцией арктангенса. При этом учтем, что компьютерные программы и микрокалькуляторы выдают главное значение арктангенса,
лежащее в диапазоне -90° ≤ ω ≤ +90°, тогда как искомый дирекционный угол a1-2 может иметь любое значение в диапазоне 0° ≤ a1-2 ≤ 360°.
Формула перехода от ω к α зависит от координатной четверти, в которой расположено заданное направление или, другими словами, от знаков разностей
Δy = y2 - y1 и Δx = х2 - х1
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.