Лекционно-практический материал "Геодезические задачи"

В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А , горизонтальное расстояние SAB от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол αAB или румб rAB), можно определить координаты точки В. В такой постановке передача координат называется прямой геодезической задачей.

Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные трудности. Для точек на плоскости она решается следующим образом.
Дано: Точка А( XA, YA ), SAB и αAB.
Найти: точку В( XB, YB ).
Непосредственно из рисунка имеем:
 ΔX = XB – XA ;
 ΔY = YB – YA .

Разности ΔX и ΔY координат точек последующей и предыдущей называются приращениями координат. Они представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат.

Значения приращений координат находим из прямоугольного прямоугольника АВС:
ΔX = SAB · cos αAB ;
ΔY = SAB · sin αAB .
Так как в этих формулах SAB всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX  и  ΔY зависят от знаков cos αAB  и  sin αAB.

Вычислив приращения координат, находим искомые координаты другой точки:
 XB = XA + ΔX  ;
 YB = YA + ΔY  .
Таким образом можно найти координаты любого числа точек по правилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.

Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А( XA, YA ) и В( XB, YB ) необходимо найти длину SAB и направление линии АВ: румб rAB  и  дирекционный угол αAB .

Даннная задача решается следующим образом.
Сначала находим приращения координат:
 ΔX = XB – XA ;
 ΔY = YB – YA .

Величину угла rAB определем из отношения
tg rAB= ΔY/ΔX .
По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим αAB.

Для контроля расстояние SAB дважды вычисляют по формулам:
SAB= ΔX /соsαAB
SAB= ΔY/sin αAB
 
 

Тема: Решение прямой и обратной геодезических задач
Цель: Научиться решать прямую и обратную геодезические задачи.
Материальное обеспечение: лист бумаги формата А4, карандаш 3Т-4Т, линейка, инженерный калькулятор.
Задание:

.

Упражнение 1. Вычислить координаты точки 2 х2, у2, если известен дирекционный угол a1-2 , горизонтальное проложение стороны 1 – 2 d1-2 и координаты точки 1 х1, у1 . Данные приведены в таблице
.

Упражнение 2.Вычислить дирекционный угол a1-2 и горизонтальное проложение стороны 1 – 2 d1-2, если известны координаты точки 1 х1, у1 и координаты точки 2 х2, у2. Данные приведены в таблице.

Последовательность выполнения работы:
Упражнение 1. Решение прямой геодезической задачи.
По приведенным формулам вычислить приращения координат Δ х, Δ у:
Координаты точки 2 вычисляется по формулам:
 
Упражнение 2. Решение обратной геодезической задачи.
Дирекционный угол вычисляется по формуле:
Для определения дирекционного угла a1-2 воспользуемся функцией арктангенса. При этом учтем, что компьютерные программы и микрокалькуляторы выдают главное значение арктангенса,
лежащее в диапазоне -90° ≤ ω ≤ +90°, тогда как искомый дирекционный угол a1-2 может иметь любое значение в диапазоне 0° ≤ a1-2 ≤ 360°.
Формула перехода от ω к α зависит от координатной четверти, в которой расположено заданное направление или, другими словами, от знаков разностей
Δy = y2 - y1 и Δx = х2 - х1

Благодарю за внимание!