Лекция по дисциплине "Информатика" на тему "История и классификация систем счисления"

ЛЕКЦИЯ 6. ИСТОРИЯ И КЛАССИФЦИКАЦИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

Рассматриваемые вопросы:

1.   Представление о числах и системах счисления.

2.   Понятие и классификация систем счисления.

3.   Позиционные системы счисления.

1.     ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ЧИСЛАХ И СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

Подсчитывать числа люди научились еще в каменном веке – палеолите, десятки тысяч лет назад. Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше животных и т.п. То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: 1 – «энэа» и 2 – «петчевал». Другие числа они выражали составными числительными: 3 – «петчевал-энэа», 4 – «петчевал-петчевал» и т. д. У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Например, жители остров Фиджи число 10 называли «боло» – считая лодки, «каро» – считая кокосовые орехи. Аналогично поступали живущие на Сахалине и берегах Амура нивхи. Люди и сейчас используют разные числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча» и т.д.

С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у двух лодок и двух быков, десяти яблок и десяти стрел. Племена часто вели обмен «предмет за предмет», к примеру, обменивали 5 фруктов на 5 рыб. Таким образом, было замечено, что число 5 одно и то же и для фруктов, и для рыб, а значит, называть его можно одним словом. Далее постепенно люди начали использовать для счета камешки, палочки, части собственного тела, например, пальцы рук или ног. Так возникли нумерации, основанные на счете пятерками, десятками, двадцатками. Важная особенность такого счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово «двадцать три» – не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий «два раза по десять и три». Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать. На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерений или вычислений использовались основания 12 и 60. Таким образом, возникло понятие «система счисления».

Рассмотрим подробнее развитие и обозначение чисел различных народов мира.

1.   Развитие и обозначение чисел в Америке.

Исследователи, путешествовавшие в 16 веке по Центральной Америке, обнаружили цивилизации с высокоразвитыми системами счисления, отличными от тех, которые были известны в Европе. Племя Майя жило в Центральной Америке в течение первого тысячелетия и во время своего расцвета имело одну из наиболее развитых и очаровательных культур этого периода. Хотя они и не знали, что такое колесо и упряжные животные, но зато превосходили других в областях плетения, архитектуры и изготовления глиняной посуды. Но истинно поразительны были их достижения в областях астрономии и математики. Пока Европа тащилась через темное средневековье, жрецы и астрономы племени Майя определили по солнцу, что продолжительность года составляет 365.242 дня (современное измерение: 365.242198), а длина лунного цикла равна 29.5302 дням (современное измерение: 29.53059). Такие удивительно точные результаты были едва возможны без мощной системы записи числа. Жрецы и астрономы племени использовали систему счисления с основанием 20. Необычная, по тому времени, их система включала позиционность и нуль. Оба этих понятия были полностью неизвестны европейцам в это время. Первые девятнадцать чисел системы счисления были представлены точками и черточками, согласно следующей таблице, представленной на рисунке 1.

Рис. 1. Система счисления племени Майя

Нуль записывался как символ, похожий на раковину (домик улитки). Многозначные числа большие 19, записывались вертикально, начиная с единиц высшего разряда сверху вниз. А числа данной системы счисления носили следующие названия: «кин» – единицы, «виналь» – двадцатки, «тун» – 400, «катун» – 8 000, «бактун» – 160 000 и т.п.

2.   Развитие и обозначение чисел в Вавилоне.

В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Письменность шумеров является, по-видимому, столь же древней, как и письменность египтян. Развитие способов представления чисел в Месопотамской долине вначале шло так же, как и в долине Нила, но затем жители Междуречья ввели совершенно новый принцип. Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигались на солнце или в печи. Эти записи оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира хранятся десятки тысяч клинописных табличек. Однако жесткость материала, на котором жители Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений. Для малых чисел вавилонская нумерация в основных чертах напоминала египетскую. Как представлено на рисунке 2, одна вертикальная клинообразная черта (в раннешумерских табличках – небольшой полукруг) означала единицу; повторенный нужное число раз, этот знак служил для записи чисел меньше десяти; для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый коллективный символ – более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку, (в раннешумерских текстах – небольшой кружок).

Рис. 2. Шумерская «Клинопись»

Вавилонская система (шестидесятеричная) одна из первых известных систем счисления мира, основанная на позиционном принципе. Система счисления Вавилона сыграла огромную роль в развитии математики, астрономии и других точных наук будущего мира, ее следы находят по наши дни. В наше время мы делим один час на 60 минут, а минуту делим на 60 секунд. Также окружность мы делим на 360 частей.

3.   Развитие и обозначение чисел в Египте.

Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (около 2850 до н.э.), была существенно облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Как представлено на рисунке 3, единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Если штрихов нужно изобразить несколько, то их объединяли в группы из трех или четырех черт и изображали в несколько рядов, причем в нижнем должно быть столько же штрихов сколько и в верхнем, или на одну больше.

Рис. 3. Древнеегипетская иероглифическая нумерация

Иероглифическая запись чисел использовалась преимущественно в официальных документах и текстах.

4.   Развитие и обозначение чисел в Риме.

Римские обозначения чисел известны ныне лучше, чем любая другая древняя система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько тем огромным влиянием, которым пользовалась Римская империя в сравнительно недавнем прошлом.

Римская нумерация, представленная на рисунке 4, используется и в настоящее время, например, при написании номера глав в учебнике или книге, при обозначении цифр на часах.

Рис. 4. Римская нумерация

Данная нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы – до XVI века.

5.   Развитие и обозначение славянской нумерации.

Первая дошедшая до нас математическая рукопись восходит к началу XII века, числа в этой рукописи отображались в алфавитной нумерации.

В славянской нумерации можно выделить: глаголическую и кириллическую нумерации.

Славянская глаголическая нумерация (см. рис. 5) – это нумерация была создана для переписки чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию, а использовалась она с VIII по XIII в. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали.

Рис. 5. Славянская глаголическая нумерация

Славянская кириллическая нумерация (см. рис. 6) – это нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг, для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чиcел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Рис. 6. Славянская кириллическая нумерация

Для обозначения больших, чем 900 чисел использовались специальные значки, добавляемые к букве. Так образовывались числительные «Тысяща» – 1 000, «Тьма» – 10 000, «Легион» – 100 000, «Леодр» – 1 000 000, «Вран» (ворон) – 10 000 000, «Колода» – 100 000 000.

В «Слове о полку Игореве» встречается фраза «орда покрыла вороновым крылом», которую можно истолковать как «побила большой силой», где «большой» можно сравнить с полумиллионом человек. Со словом «Тьма» связана поговорка «тьма-тьмущая», означающая немыслимо много.

При дальнейшем развитии славянских нумераций появилась и арабская десятичная) система счисления, которая используется нами сейчас и считается международной.

Таким образом, в данном разделе рассмотрены вопросы истории развития и обозначения чисел, лишь некоторых древнейших цивилизаций. Существовали и другие системы счисления, например, такие как, древнекитайская, индийская и др.

2.     ПОНЯТИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

Для того, чтобы была возможность считать какие-то предметы, изображать количество этих предметов определенным знаком (цифрой), либо формировать из этих знаков их комбинации (числа), необходимы системы счисления.

Система счисления (СС) – это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, при помощи которых записывают числа называются цифрами, а их совокупность – алфавитом системы счисления.

Системы счисления делятся на два вида: позиционные и непозиционные.

Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой   значение цифры не зависит от её позиции в записи числа. К таким системам счисления относятся, например, египетская, древнегреческая, римская нумерации.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

¾               существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел;

¾               невозможно представлять дробные и отрицательные числа;

¾               сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Позиционная система счисления – это система счисления, в которой значение цифры зависит от ее позиции в записи числа. К таким системам счисления относятся: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, десятичная и др. Например, в десятичной (арабской) системе счисления меняя позицию цифры 2 можно записать разные по величине числа – 20; 200; 2000; и т.д., поэтому данная система счисления является позиционной. 

Любая позиционная система счисления имеет ряд основных достоинств:

¾                   ограниченное количество символов для записи чисел;

¾                   простота выполнения арифметических операций.

Таким образом, на данный момент большее преимущество в использовании человечеством имеют позиционные системы счисления. Так, например, в компьютере наиболее подходящей и надежной оказалась двоичная система счисления, а в математике – десятичная система счисления.

3.     ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

В теории позиционных систем счисления выделяются основные понятия: основание и алфавит системы счисления.

Название системы счисления соответствует количеству цифр используемых при записи числа в данной системе счисления, то есть основанию системы счисления p.

Алфавит системы счисления – это набор символов, используемый для обозначения цифр в данной системе счисления.

Алфавит позиционных систем счисления состоит из цифр от 0 до р-1, где р – основание системы.

Ниже в таблице описаны алфавит и основание позиционных системы счисления.

Таблица

Позиционные системы счисления