Лекция по теме "Случайные события. Классическое определение вероятности"

Лекция  № 1. Тема. Случайные события. Классическое определение вероятности Цель:  содействовать   усвоению   элементов   комбинаторики:   соединения   без  повторений и с повторениями, вывести формулы для этих соединений; познакомить студентов с основными понятиями теории вероятностей, дать классическое и статистическое определение вероятности;   научить решать различные задачи, используя элементы комбинаторики, теории вероятностей; содействовать   привитию   интереса   к   данным   наукам,   применяя  исторические моменты, решая задачи практического содержания, тем самым показывая прикладное значение математики. Структура занятия. 1. Организационный момент. 3. Повторение и систематизация материала. 4. Закрепление знаний. 5. Подведение итогов занятия. 6. Домашнее задание. Литература: 1. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике:  Учеб.пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1987. – 303с.: ил.  2. Бычков А. Г. Сборник задач по теории вероятностей, математической  статистики и методам оптимизации: учебное пособие. – М.: ФОРУМ.  2008. – 224с.: ил. – («Профессиональное образование»)  3. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней  школы: Учеб.пособие. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред.  физ.–мат. лит., 1989. – 576 с.: ил. 4. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: Учеб. для  студ. сред. спец. учеб. заведений. – 3­е изд., испр. –М.: Высш. шк..,  2001.­ 336 с.: ил. 5. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и  математическая статистика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА – М,  2003. – 240 с.: ил. – (Серия «Профессиональное образование») Ход занятия 1.       Организационный момент. Сообщение темы и цели занятия 2. Повторение и обобщение материала. 1. М о т и в а ц и я   и з у ч е н и я. О теории вероятностей Человечество всегда стремилось к некоторого рода предсказаниям. Любая наука основана на этом. Однако предвидение фактов не может быть абсолютным, каким бы   обоснованным   оно   не   казалось.   У   нас   не   может   быть абсолютной   уверенности   в   том,   что   наше   предвидение   не будет опровергнуто опытом.  Допустим, что некоторый простой закон подтверждается для большого числа случаев. Является ли это просто случайным совпадением, или все­таки это ­ закономерность? Получается, что ученый часто находится в положении игрока; опираясь на метод индукции, он сознательно или не очень вычисляет вероятность.  История теории вероятности содержит очень много неожиданных парадоксов. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела науки, в котором так же легко совершить ошибку. Даже само высказывание "вычислить вероятность" содержит парадокс. Ведь вероятность, в противоположность достоверности, есть то, чего не знают. Как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний?   Пользуясь   классическим   определением,   можно   сказать,   что   вероятность   ­   это отношение  числа случаев, благоприятствующих  изучаемому событию, к полному числу   возможных   случаев.   Однако   это   определение   весьма   неполно,   что   может подтвердить   простой   пример.   Давайте   посчитаем   вероятность   того,   что   при бросании двух игральных костей по крайней мере на одной выпадет 6. Очевидно, что   каждая   кость   может   выпасть   шестью   различными   способами.   Число   всех возможных случаев равно 6*6 = 36; число благоприятствующих случаев равно 11 (6­ 1, 6­2, 6­3, 6­4, 6­5, 6­6, 5­6, 4­6, 3­6, 2­6, 1­6). Таким образом, вероятность равна 11/36. Мы знаем, что это правильное решение. Но ведь можно рассуждать и по­другому. Числа очков, выпавшие на   обеих   костях,   могут   образовать   6*7/2   =   21   различных комбинаций. 6 из них благоприятствующие (6­6, 6­5, 6­4, 6­3, 6­2, 6­1). Вероятность равна 6/21. Этот результат явно отличается от предыдущего.   Однако   пользуясь   нашим   определением,   мы   не сможем найти ошибку.  Таким   образом,   придется   дополнить   определение:   вероятность   ­   это   отношение числа   случаев,   благоприятствующих   изучаемому   событию,   к   полному   числу возможных   случаев,   при   условии,   что   эти   случаи   равновероятны.   И   вот   мы определили вероятное при помощи вероятного.   Но   как   узнать,   равновероятны   ли   два   возможных   случая?   Не   является   ли   это результатом   некоторого   условного   соглашения?   Если   мы   явно   укажем   условное соглашение   перед   вычислениями,   то   все   будет   хорошо.   Но   как   мы   применим результат   на   практике?   Ведь   тогда   придется   доказать   состоятельность   данного соглашения.  Некоторые могут предположить, что простого здравого смысла достаточно, чтобы указать верное соглашение. Но описанные далее парадоксы противоречат, казалось бы, всякому здравому смыслу. Тем не менее без теории вероятности не сможет существовать наука как таковая, ведь без нее мы не сможем ни открыть какой­нибудь закон, ни применять его. Исторические сведения Возникновение теории вероятностей как  науки  относят к  средним векам  и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым  эмпирическим фактам, как к свойствам реальных  событий, и  они формулировались  в наглядных  представлениях.  Самые ранние   работы   учёных   в   области   теории   вероятностей   относятся   к   XVII   веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. [1] Важный   вклад   в   теорию   вероятностей   внёс  Якоб   Бернулли:   он   дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений;  Лаплас  и  Пуассон  доказали первые предельные теоремы. Во второй половине  XIX века  основной вклад внесли русские учёные  П. Л. Чебышёв, А. А. Марков  и  А. М. Ляпунов. В это время были доказаны  закон больших чисел, центральная   предельная   теорема,   а   также   разработана   теория  цепей   Маркова. Современный   вид   теория   вероятностей   получила   благодаря  аксиоматизации, предложенной  Андреем   Николаевичем   Колмогоровым.   В   результате   теория вероятностей   приобрела   строгий   математический   вид   и   окончательно   стала восприниматься как один из разделов математики. Принцип умножения Пусть необходимо   выполнить одно   за другим   одновременно  r   действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, после чего второе ­ n2 способами и т.д. до   r ­ того действия, которое можно выполнить     nr   способами,  то все     r действий вместе можно выполнить  n1, n2…nr   способами. Пример:   Сколько   существует двузначных чисел? Способ 1:  (принцип умножения) Выбирается две   цифры,     поэтому             r=  2.   Первая цифра может быть любой, кроме 0.  Потому     n1= 9.   Вторая цифра может быть любой,   т.е. n2=10.   итак двузначных чисел: n1n2=9 . 10=90. Способ 2.  (перо6ора) три   игральные   кости   и   наблюдают   за   числом   очков, 10   20    30   ………..90 11   21    31  …………91          прямоугольная таблица 10 . 9=90 12   22    32  …………92 …………………………. 19   29    39  ………...99 Пример:  Бросают   появившихся на   каждой кости. Сколько различных исходов опыта возможно? Решение: Бросают три игральные кости,  поэтому по принципу умножения r= 3,  На выпавшей грани "первой" игральной кости может появиться одно очко,  два очка, ... шесть очков.   Поэтому       n1= 6.   Аналогично   n2= 6,         n3= 6. Итак, число всех исходов опыта     n1n2n3= 6 .6 .6=216. Пример: Сколько существует нечетных трехзначных чисел?  Решение  : По принципу умножения   r  = 3 ;  n1  = 9,  т.к. первая цифра может быть   любой,  кроме 0;  n2 =  10,  т. к.  вторая цифра может быть любой ; n3 = 5,  т.к.  третья цифра должна быть нечетной. Итак, всех возможностей    n1n2n3  =9 . 10 . 5=450. Замечания к принципу умножения. Если на выполнение какого­либо из r действий наложено ограничение, то подсчет удобнее начинать с  выполнения именно   этого действия. Пример: В машине 7 мест,     одно место водителя.   Сколькими способами могут сесть  в машину 7 человек,   если место водителя могут занять только трое из них? Решение: По принципу умножения r = 7. Начнем с места водителя n1 = 3, следующее место может занять любой из 6 оставшихся человек, т.е.  n2  = 6, следующее место может занять любой из 5 оставшихся человек и т.д. Поэтому n3 = 5, n4 = 4, n5 = 3, n6= 2, n7 = 1. Итак, всех возможностей:   n1 ∙n2 ∙n3∙ n4∙ n5∙n6∙n7 =3∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 2160. Размещения (упорядоченные выборки). Пусть А – множество, состоящее из элементов а1, а2,…, аn. Определение:  Упорядоченные   наборы,   состоящие   из  r  элементов   множество   А, будем называть размещениями из n элементов множества А по r  элементов.    по r À n   – число размещений из  n  элементов по  r  элементов(r  n). Вычислим   r А n принципу умножения: n1= n, n2 =n­1, r А n n3 = n­2, ………… nr= n­(r­1) = n­r+1.   =  n(n­1)(n­2)….(n­r+1). Здесь  n,  n­1,  n­2,…,n­r+1 есть число возможностей для выбора первого, второго, третьего,… r – того элементов. rn   12)...  nn ( )...( 2 rn ( nn )(1 )(1  )1 n n     , )...( 2  ( rn  )(1 rn  12)... n !  rn ( )! r nА r nА  ! n  rn ( . )! Перестановки Определение    :  перестановки из n элементов. Pn – число перестановок из n элементов.   Размещения   из  n  элементов   по  n  элементов   называются  r А п P п  ( n ! n  r )!  n ! !0  n ,!  n ! P n Пример: Сколькими способами могут 4 человека разместиться в 4­х местном купе железнодорожного вагона? Решение:  А = {1, 2, 3, 4} (4 места в купе вагона);   P4 = 4! = 1∙2∙3∙4 = 24. Сочетания (неупорядоченные выборки) А = {а1, а2, а3, …аn} Определение   называются сочетаниями из n элементов по r  элементов.    (r  :  Неупорядоченные наборы, состоящие из  r  элементов множества А,  n).   ,   n )! )1    )(1 ( nn или ! n  rn  r nС r nС (! rnr )...( 2 ! r r nА rP Пример    :  Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 10 дней. Сколькими способами можно   составить   ему   расписание,   если   в   один   день   нельзя   сдать   более   одного экзамена? Решение:  А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (10  дней). Поскольку в расписании учитывается порядок экзаменов, то мы имеем дело с упорядоченными выборками, т.е. с размещениями. Пример   обратилось 10 человек. Сколькими способами можно набрать рабочую силу?   :  Подрядчику  нужны  4  плотника,  к  нему  с  предложениями  своих  услуг А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (плотники). С    789 10  4321 !10  10(!4 4 10 )!4 .210 Пример  .  В розыгрыше первенства по футболу участвуют 10 команд. Известно, что   те, кто займет первые 3 места, получают золотую, серебряную и бронзовую медали, а   последние   двое   выбывают.   Сколько   различных   результатов   первенства   может быть?   Решение: Нужно выполнить одно за другими два действия: I. II. Из десяти команд выбрать три на три первых места. После   выполнения   первого   действия   из   оставшихся   семи   команд выбрать две на два последних места. Итак, по принципу умножения  r = 2 ; n1= = =1098=720;               n2= 3 10À 2 7С =21.  !7  !5!2 Различных  результатов первенства может быть:  n1n2=  720 . 21=15120. События Событие   в   теории   вероятностей  –   это   множество,   состоящее   из элементарных событий.  События обычно имеют свои  словесные  описания. Например, при бросании двух игральных костей можно рассматривать событие  A, состоящее в суммарном выпадении четного числа очков, а при вытаскивании игральной карты из колоды событием является выпадение карты бубновой масти. Все эти события состоят из элементарных событий. Так, при бросании игральных костей событие A состоит из элементарных событий {1,1}, {1,3}, {1,5}, {2,2}, {2,4}, {2,6}, {3,1} {3,3}, {3,5}, {4,2}, {4,4}, {4,6}, {5,1}, {5,3}, {5,5}, {6,2}, {6,4}, {6,6}. Достоверным   событием  называется   событие,   состоящее   из     всех элементарных событий.  Достоверное событие происходит всегда, поскольку в результате случайного выбора какое­то элементарное событие всегда реализуется. Обозначим достоверное событие буквой  .Ώ Невозможным   событием  называется   событие,   которое   не   может произойти никогда.  Обозначим его V.  Оно представляет собой  пустое множество элементарных событий. Противоположным событию А   Ώ  событием  называется событие  , А состоящее в том, что  событие А не произошло. состоит из элементарных событий, не входящих в А. А Суммой (или объединением) событий А и В называется событие  А + В, состоящее в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно (либо А, либо В, либо А и В вместе). Этому   событию   соответствует   множество   элементарных   событий  А     В.  Поэтому,   иногда   мы   будем   использовать   знак   объединения,   вместо   знака суммирования. Пример.   По мишени стреляют 3 раза. События  А, В, С – попадание при 1­ом, 2­ом и 3 выстрелах соответственно. Сумма событий  А, В и C означает хотя бы одно попадание. Классическое определение вероятности Пусть некоторый опыт может приводить лишь к одному из конечного множества результатов.   Эти   результаты   будем   называть  элементарными   исходами. Предположим, что элементарные исходы удовлетворяют следующим условиям: 1) образуют   полную   группу,   т.е.   в   каждом   испытании   обязан   появиться   какой­ нибудь из этих исходов; 2) попарно   несовместны,   т.е.   два   различных   элементарных   исхода   не   могут появиться в одном испытании; 3) равновозможные,   т.е.   шансы   на   появление   у   всех   элементарных исходов одинаковы. В этих условиях может использоваться классическое определение вероятности.  Определение: Элементарные исходы, в которых появляются интересующее нас  событие, называются благоприятными этому событию. Определение:  Вероятностью   события  А  называются   число  P(А),   равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию А к общему числу исходов:  где  n  –   общее   число   исходов   испытания,  m  –   число   исходов, AP ( )  m n , благоприятствующих событию А.  :    Бросается   один   раз   игральная   кость.   Какова   вероятность   выпадения Пример   нечетного числа очков? Решение: Опыт состоит в бросании игральной кости 1 раз и наблюдении за числом очков, появившихся на верхней грани. Все исходы опыта: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Число всех исходов: n = 6. Рассмотрим   событие   А   –   выпало   нечетное   число   очков. благоприятствующие А: 1, 3, 5. Число исходов, благоприятствующих А :  m = 3   Исходы AP ( )  m n 3 6 . 1 2  :  Опыт состоит  в случайном расположении шести букв в ряд.  Все исходы Пример  :  Ребенок играет с шестью буквами разрезной азбуки А, В, К, М, О, С.   Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд получится слово «МОСКВА»? Решение   опыта – множество перестановок из шести различных букв. Число всех исходов: n = P6=6! = 1.2.3.4 .5.6=720. Рассмотрим событие А – при случайном расположении шести букв в ряд получено слово «МОСКВА». Очевидно, что такое расположение букв единственно, т.е. m=1. Найдем вероятность события А:     P(A)= . m n  1 720 Пример  : В ящике находится 20 деталей, из них 8 бракованных. Из ящика наудачу   извлекают   5   деталей.   Найти   вероятность   того,   что   среди   них   окажутся   две бракованные детали. Решение:   Опыт состоит в выборе наудачу 5 деталей из 20. Все исходы опыта – множество сочетаний из 20 деталей (находящихся в ящике) по 5. Число всех исходов опыта n= = 5 20С !20  !15!5 Рассмотрим событие А – среди 5 деталей, извлеченных из ящика, две бракованные. Если среди 5 деталей две бракованные, то остальные 3 небракованные. Тогда число исходов, благоприятствующих  событию А, можно найти по принципу умножения. Нужно выполнить одно за другим два действия: из 8 бракованных выбрать 2 детали и затем из 12 небракованных выбрать 3 детали. Первое действие можно выполнить n1= второе действие можно 2 8С выполнить n2= 3 12С  способами. Итак, m=n1 .n2= .   3 12С 2 8С Найдем вероятность события А: AР ( )  C 2 8  C 3 12 С 5 20  !8  !6!2  !12  !9!3 !20  !15!5  ,0 397 3. Закрепление новых знаний. Задачи на закрепление материала: 1. 2.    13 15C      3 15A 3. Вычислить:  4. Вычислить:  . 3 C 20 3 C 18 2 C 18   2 C 19 . 2 A 15 A 3 !12 16 5. Упростить выражение: 6. Упростить выражение: 7. Упростить выражение:       k   )!2 ( k 2  )!1    k k   1 1 ; ( k x x  1  )!1 (  1 ! x  x  x  ; 2 ( n  2  ()!3 n  )!5 ( n )16 8. Решить уравнение:   .  2 A x 1 1 A x  79 Решить комбинаторные уравнения: 1. 2 An  C 5 2 15  513 2. 3. P 5  3 2 nA  30 C 3   n 1 5 C n 2 n n 2  1 4. 5.  2 C n n  1  C n n  55 C C 2  1  n n 1  1 n n 2 7 13 Задачи на классическое определение вероятности Буквой A обозначаем событие, фигурирующее в условии задачи. Задача.  Корреспонденция разносится в 5 адресов. Разносчик забыл дома очки и разнес корреспонденцию случайным образом. Какова вероятность того, что вся корреспонденция попала к своим адресатам? Решение. Элементарным событием является перестановка из  5  адресов. Их .5P число равно   По смыслу задачи все они равновероятны. Поэтому P(A)= 1/120. Задача.  Цифры  0,1,2,3  написаны   на   четырех   карточках.   Карточки расположили в случайном порядке. Какова вероятность того,  что из них сложено 4­ х­значное число? Решение. Элементарным событием является перестановка из 4 карточек. Их всего 4!. Поскольку четырехзначное число не может начинаться с нуля, то событие A  состоит из тех перестановок, которые начинаются с карточки с не равной нулю цифрой. Их всего 4!­3!=18. Поэтому P(A)=  18/4! =18/24=3/4. Задача.  В  хоккейном турнире участвуют 6 равных по силе   команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. У Вас есть любимая команда. Вы пришли   «поболеть»   на   турнир   на   одну   из   игр,   выбранных   случайно.   Какова вероятность того, что в этой игре будет играть Ваша любимая команда? Решение.   Общее   число   проведенных   игр   равно  C6 участвует в 5 играх из 15. Поэтому P(A)= 5/15 = 1/3.      2=15.  Любимая   команда   Задача. В ящике разложено  20  деталей. Известно, что  5  из них являются стандартными.   Рабочий  случайным  образом   берет  3  детали.  Какова   вероятность того, что хотя бы одна деталь стандартная? Решение. Элементарным событием является сочетание из  20  деталей по  3. 3. В соответствии с решением задачи 11, число 3=685. Количество таких сочетаний равно C20 сочетаний,   содержащих   хотя   бы   одну   стандартную   деталь   равно  C20 Поэтому    P(A)= 3­  C15 685  3 C 20 137 228 . Задача.   Из  7  карточек   разрезной   азбуки   составлено   слово  колокол.  Эти карточки  рассыпали   и  затем  собрали  в   случайном  порядке.  Какова   вероятность того, что снова получится  слово колокол? Решение. На карточках имеется  3  буквы  о,  2  буквы  к,  2  буквы  л. Поэтому, первая  буква  слова  колокол  может   быть   выбрана  двумя  способами,  вторая  –  3 способами,   третья   –   2   способами.   При   уже   выбранных   первых   трех   буквах четвертая буква может быть выбрана  еще 2 способами (поскольку одна буква о уже выбрана). Остальные буквы могут быть выбраны только одним способом. Таким образом (см. решение задачи 12), число перестановок карточек, реализующих слово колокол    равно   произведению   чисел  3,   2,   2,   2  т.е.   равен  24.   Общее   число перестановок карточек равно 7!.Поэтому P(A)=  24 !7 . 4. Подведение итогов занятия. 1. Сформулируйте принцип умножения. 2. Сформулируйте замечание к принципу умножения. 3. Приведите пример задачи на принцип умножения. 4. Размещения (упорядоченные выборки). Определение, формула. 5. Перестановки. Определение, формула 6. Сочетания (неупорядоченные выборки). Определение, формула. 7. Что такое случайное событие?. 8. Какие виды событий вы знаете? 9. Дайте классическое определение вероятности.