«Логарифм и его свойства»

"Возьми столько, сколько ты можешь и хочешь,
но не меньше обязательного".

Предмет: Алгебра и начала анализа, урок-усвоение новых знаний

Тема: «Логарифм и его свойства» (1 урок- 45 минут)

Класс: 11

Технологии: ПК, проектор, экран, презентация Power Point

Аннотация: урок является урок является уроком усвоения новых знаний.

Цели урока

·         знать и уметь записывать определение логарифма, основного логарифмического тождества, познакомиться и изучить свойства логарифмов.

·         Научиться различать свойства по их записи и применять их при решении заданий.

·         Закрепить вычислительные навыки.

·         Формировать ЗУНы к сдаче ЕГЭ.

Базовые знания:

·         определение показательной функции;

·         свойства показательной функции;

·         определение показательного уравнения, основные методы и приёмы решения показательных уравнений;

Тип урока: сообщение новых знаний.

Методы работы:

·         проблемный;

·         частично-поисковый.

Виды работ:

·         индивидуальная;

·         коллективная;

·         фронтальная.

Мотивация познавательной деятельности: на занятии необходимо предоставить учащимся возможность проявить сообразительность, смекалку в формировании навыков самостоятельной работы, работы с учебником, навыков самостоятельного добывания знаний.

Время проведения: 45 мин

Оборудование:

·         таблица свойств логарифмов;

·         текст «Из истории логарифмов»;

·         плакаты;

·         карточки-задания (кроссворд)

·         обучающие карточки;

·         набор тестов;

·         ПК учителя, мультимедийный проектор;

·         Презентация, содержащая материал для повторения и закрепления теоретических знаний, для отработки навыков практического применения теории к решению упражнений, создания проблемной ситуации, для самоконтроля, содержащая сведения из истории логарифмов  

План урока

1.      Организационный момент. 1 мин.

2.      Постановка цели. 1 мин.

3.      Проверка ранее изученного материала 5 мин (кроссворд)

4.      Введение понятия логарифм.

1.      Определение логарифма. 5 мин

2.      Историческая справка, применение логарифмов. 7 мин

3.      Основное логарифмическое тождество. 10 мин

4.      Основные свойства логарифмов 10 мин

5.      Обобщение и систематизация знаний. 7 мин .

6.      Домашнее задание. 1 мин.

7.      Применение знаний, умений и навыков. 15 мин.

8.      Подведение итогов. 5 мин.

Ход урока:

1. Организационный момент. Приветствие.

2. Постановка цели.

- Ребята, сегодня на уроке вам предстоит проверить умения решать простейшие показательные уравнения, чтобы можно было ввести новое для вас понятие, затем познакомимся со свойствами нового понятия; вы должны научиться различать эти свойства по их записи; научиться применять эти свойства при решении заданий.

Будьте собраны, внимательны и наблюдательны. Успехов!

3. Проверка ранее изученного материала. (слайды 1–2

– Назовите новое понятие, с которым мы познакомимся

2. Решение кроссворда учащимися.

1.      Как называется функция вида у = kх + в?

2.      Как называется функция вида у = а (а больше нуля, и а не равно 1)?

3.      В каких единицах измеряется угол?

4.      Как называется график функции у = tg x ?

5.      Как называется функция вида у = ах+ вх + с (а не равно 0 )?

6.      Как называется уравнение, содержащее знак корня?

7.      Каким способом нужно решить уравнение sin x = 2 ?

8.      Точка х называется точкой ………. функции f, если для всех х из некоторой окрестности х выполняется неравенство f(x) ≤ f(х).

4. Введение понятия логарифм. (слайды 3,4)

– Тема нашего урока “Логарифм, его свойства”. Попробуйте найти корень уравнения 2^х = 5. Ответ данного уравнения мы можем записать с помощью нового понятия. Прочитайте текст слайда и запишите корень уравнения.

4.1. Определение логарифма (слайды 5–7) Из предыдущей темы вы помните, что уравнение вида

a= b, (a>0, a1) при b ≤ 0- не имеет решения, при b> 0 имеет единственное решение. Этот корень называется логарифмом b по основанию a и обозначается = Х т.е.

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a ≠ 1 называется показатель степени х, в которую надо возвести a, чтобы получить число b. Из предыдущей темы вы помните, что уравнение вида

1) log ₁₀ 100 = 2, т.к. 10² = 100 (определение логарифма и свойства степени),
2) log ₅ 5³ = 3, т.к. 5³ = 5³ (…),
3) log ₄ = –1, т.к. 4^–1 = (…)

Историческая справка – (сообщение обучающегося)

4.2. Историческая справка (слайд 8) В течение 16 в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (в частности, при определении положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов стало великим открытием.

Слово логарифм происходит от греческого и переводится, как отношение чисел.

Первым изобретателем логарифмов стал Дж.Непер (1594).(слайд №8) Выбор такого названия объясняется тем, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое – геометрической.

Логарифмы с основанием е ввел Спейдел (1619 г.) Название более позднего происхождения натуральный (естественный0 объясняется «естественностью» этого логарифма.

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившие производительность труда вычислителей. Через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.(вплоть до появления вычислительных машин)

Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж.Непером(1550-1617) и швейцарце И.Бюрги (1552-1632), а первые таблицы десятичных логарифмов составлены по совету Непера английским математиком Г.Бриггсом(1561-1630).Таким образом логарифмы явились одним из величайших открытий в математике.

4.4. Основное логарифмическое тождество (слайды 12-14)

 =b .

1) (3²)^log ₃ ⁷ = (3^log ₃ ⁷)² = 7² = 49 (степень степени, основное логарифмическое тожество, определение степени),
2) 7 ^{2 log} ₇ ³ = (7 ^log ₇ ³)² = 3² = 9 (…),
3) 10 ^{3 log} ₁₀ ⁵ = (10 ^log ₁₀ ⁵)³ = 5³ = 125 (…),
4) 0,1 ^{2 log} _0,1 ¹⁰ = (0,1 ^log _0,1 ¹⁰)² = 10² = 100 (…).

4.5 Основные свойства логарифмов (слайд 21)

Вы замечательно справились с примерами. А теперь вычислите следующие задания, записанные на доске:

а) log ₁₅3 + log ₁₅5 = …,
б) log ₁₅45 – log ₁₅3 = …,
в) log ₄8 =…,
г) 7 = … .

А как вы думаете, что мы должны знать, чтобы выполнять действия с логарифмами?
(Свойства логарифмов)

Перед вами таблица со свойствами логарифмов. Надо дать название каждому свойству и правильно сформулировать их”.

Слайд 21

5. Обобщение и систематизация знаний.

Слайды 22-24

6. Домашнее задание.

7. Подведение итогов. (слайды 20 – 24)

Дайте ответы на вопросы

– Сформулируйте определение логарифма и выполните соответствующую запись.
– Какие виды логарифмов существуют? Выполните их запись.
– Запишите основное логарифмическое тождество.

– Происхождение слова “логарифм”. Кто изобрел логарифмы, в каком году, краткие сведения о них?
– Кто ввел логарифм с основанием е, который называют натуральным логарифмом?
– Из чего возникла практика использования логарифмов?
– Кто и когда изобрел первую логарифмическую линейку, первые таблицы логарифмов?