Математика в экономике

Математика в экономике.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженернотехнических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно чёткой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с её развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика и экономика – это самостоятельные области знаний, каждая из которых имеет свой объект и предмет исследования.

В экономике математика используется сравнительно недавно, когда Франсуа Кенэ построил и опубликовал свои первые экономические таблицы.

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой — потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями. Возникает довольно непростая задача расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида. Впервые эта проблема была сформулирована в виде математической модели в 1936 г. в трудах известного американского экономиста В.В.Леонтьева, который попытался проанализировать причины экономической депрессии США 19291932 гг. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Балансовые соотношения.

Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой  n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый определенный период времени; в ряде случаев такой единицей служит год.

Введём следующие обозначения: x_i – общий объём продукции -ой отрасли (её валовый выпуск); x_ij – объём продукции -ой отрасли, потребляемый j-ой отраслью при

производстве продукции y_i   - объём продукции -ой отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относится личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов и т.д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовый выпуск отрасли i должен быть равен сумме объёмов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид x_i=x_i1+x_i2+…+x_¿+y_i ,i=1,2,… ,n.(1)

Уравнение (1) называют соотношениями баланса. Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, будем в дальнейшем иметь в виду стоимостный баланс.

Линейная модель многоотраслевой экономики. В. Леонтьевым на основании анализа экономики США в период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного

x^ij времени величины a_ij= _x j  меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остаётся на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объём потребления -ой отраслью продукции i-ой отрасли при производстве своей продукции объёмом x_i есть технологическая константа.

 В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции -ой отрасли объёмом x _j нужно использовать продукцию i-ой отрасли объёмом a_ij x _j, где a_ij – постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа a_ijназываются коэффициентами прямых затрат.

Согласно гипотезе линейности, имеем

 aij=¿ ^xx^ijj ; x_ij=a_ij x_j ;i, j=1,2..n.(2)¿

 Тогда эти уравнения (2) можно записать в виде системы уравнений

x1=a11 x1+a12 x2+…+a1n xn+y1 x2=a21 x1+a22 x2+…+a2n xn+y2 (3)

xn=an1 xn+an2 x2+…+ann xn+yn

Введём в рассмотрение векторы-столбцы объёмов производственной продукции (вектор валового выпуска), объёмов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

x1       y1                  a11               a12               a1n …) (…)  ( …          _{…         …} )

x´=x2 , y´ = y2 , A= a21                         a22          a2n .(4)

          xn                       yn                       an1        an2        ann

Тогда системы уравнений (3) в матричной форме имеет вид

x´=A x´ +y´ .(5)

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления  это уравнение носит название модели Леонтьева.

Матрица является важнейшим инструментом экономического анализа, который позволяет углубить математический смысл экономических понятий и выразить экономические законы с помощью математических формул.