Методическая разработка урока по алгебре и началам анализа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методическая разработка урока

по алгебре и началам анализа

 

 

 

 

«Общие методы решения тригонометрических уравнений»

для учащихся 10-11 классов

 

 

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

 

 

 

 

 

 

 

 

Автор разработки: учитель математики  Раджабова Ишур Абдулгамидовна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2021 год

 

 

Цели урока:

 

Образовательные:  

- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

 

Развивающие:

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- формировать и  развивать  общеучебные  умения и навыки:  обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора  задания, соответствующего их уровню развития.

 

Воспитательные:

-     вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

 

Продолжительность урока: 2 часа

 

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

 

Оборудование:  компьютер и мультимедийный проектор.

           

Структура урока:

 

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

1.2. Устная работа.

 

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

 

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

3.2. Информация о домашнем задании.

3.3. Подведение итогов урока.

 

Ход урока.

 

1. Вводно-мотивационная часть

 1.1.Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Содержание этапа:

 

1. Приветствие.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме  «Общие методы решения тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.

 

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

 

3. Озвучивание целей урока и  плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений. Я думаю, вам будет интересно на уроке.

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того,  познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

В начале урока мы вспомним решение линейных и квадратных уравнений, основные формулы тригонометрии.

Далее работа будет чередоваться: мы повторим числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений.  Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения,  уравнения вида

A sinx + В cosx = С. После каждого блока заданий проводим  разноуровневые проверочные работы, задания которых вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания,  умения и навыки. Проверяем решения, и вы выставляете себе оценку за каждый вид заданий. 

После чего познакомимся  с решением симметричных тригонометрических уравнений, решением тригонометрических уравнений путем разложения на множители и методом оценки левой и правой частей. Обсудим полученные результаты работы на уроке,  оценим  индивидуальную работу. Затем  получите инструктаж по выполнению домашнего задания и подведем итоги урока. Согласны с таким планом работы? Хорошо!  Итак, приступаем.

 

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Содержание этапа:

Учитель:  Первое задание для устной работы -  решите уравнения:

 На экране проецируется задание, затем  появляются ответы

А) 3 х – 5 = 7  Б) х2  –  8 х + 15 = 0 В) 4 х2 – 4 х + 1= 0 Г) х4   –  5 х2 + 4 = 0 Д) 3 х2 – 12 = 0

Ответы 4 3; 5 0,5 -2; -1; 1; 2 -2; 2

Учитель: Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы

А) (sin a – 1) (sin a + 1) Б) sin2 a – 1 +  cos2 a В) sin2 a + tg a ctg a +  cos2 a Г)  √1- 2 tgх + tg2 х

Ответы - cos2 a 0 2  |1- tg х|

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора разноуровневого задания.

Содержание этапа:

Учитель:  Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание.

1 вариант		2 вариант
sin (-π/3) cos  2π/3 tg  π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π/4	Ответы - √3/2 -  1/2   √3/3      1   √3/2   √2/2	cos  (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin  (-π/6) cos 5π/6	Ответы   √2/2   √3/2  √3     1   - 1/2  - √3/2

Учитель:  Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:  

количество верных ответов	оценка
6	5
5	4
4	3
< 4	2

На экране проецируются ответы

Учитель:  А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Учитель:  Выполняем следующую работу также самостоятельно.  Вычислите:

На экране проецируется задание.

1 вариант		2 вариант
arcsin   √2/2 arccos  1 arcsin (- 1/2 ) arccos (- √3/2) arctg  √3	Ответы   π/4  0  - π/6      5π/6     π/3	arccos   √2/2 arcsin 1 arccos (- 1/2) arcsin (- √3/2) arctg  √3/3	Ответы   π/4   π/2   2π/3   -  π/3    π/6

Учитель:  Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:                                                                                    

количество верных ответов	оценка
5	5
4	4
3	3
< 3	2

  На экране проецируются ответы

Учитель:  Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а,  cosx = а, tg х=а.

Учащиеся называют формулы решения уравнений

sinx =а	х = (-1)k arcsin а + π k,  k   Z
cosx = а	х = ±  arccos а + 2 π k,  k   Z
tg х = а	х = arctg а + π k,  k  Z.

Учитель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

 А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

 а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

A sin² х + В sin х + С =0 или

A sin² х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение,  вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение

 z² + 5 z - 6 = 0, находят z₁  = 1; z₂  = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х =  π/2  +2 π k, k Z.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как  -6 не принадлежит  Е ( sin х ),

                                                                         т.е.   -6  не принадлежит  [-1; 1]

Учитель: При решении  уравнения вида A sin² х + В cos х + С =0 вводим замену sin² х  = 1 - cos² х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение    2 sin² х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin² х  = 1 - cos² х, получили        

   2 (1 - cos² х) +3 cos х -3 =0.

 - 2 cos² х + 3 cos х - 1 = 0   | (-1)

    2 cos² х  - 3 cos х  + 1 = 0 

 Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t ² - 3t +1 = 0,

 находят t₁  = 1; t₂  = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k   Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида  х =  ± arccos 0,5+ 2π n,  n   Z.

Учитель:  А теперь  выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

 На экране проецируется задание.

На оценку	1 вариант		2 вариант
«3»   «4»       «5»	2 cos2х + 5 sin х - 4=0   cos 2х + cos х =0     √2 sin (x/2) + 1 = cos х	Ответы (-1)k π/6 + πk, k  Z    π + 2πk, k   Z ± π/3 + 2 πn, n   Z    2 πk, k   Z (-1)k π/2+2πn,n   Z	3 sin x - 2 cos2x =0    cos 2x + sin x =0     √2cos(x/2) + 1=cos x	Ответы (-1)k π/6 + πk, k   Z   π/2 + 2πk, k   Z (-1)k+1 π/6 + πn, n   Z    π + 2πk, k   Z ±  π/2 + 4πn, n   Z

Учитель:   Ребята, проверьте свое решение с  ответами

На экране проецируются ответы

 

 

Физкультминутка.

Учитель:  Ребята, а сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить несколько упражнений.

Упражнение 1 Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела.

•         В положении стоя положите руки на бедра.

•         Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

•         Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Упражнение 2 Цель - укрепление мышц задней стороны шеи для улучшения осанки и предотвращения болей в области шеи.

Поза: сидя или стоя

Смотрите прямо перед собой, а не вверх и не вниз.

Надавите указательным пальцем на подбородок.

Сделайте движение шеей назад.

Совет: совершая это движение, продолжайте смотреть прямо перед собой, не смотрите вверх или вниз. Для этого представьте, что кто-то, стоящий позади вас, тянет за нить, проходящую через ваш подбородок. Оставайтесь в этом положении в течение 5 секунд.
Повторите 10 раз.

Учитель:  Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени:                               A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на  cos x ≠ 0, получим уравнение вида  tg x = С.

Решите уравнение  2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sin x+ 3 cos x = 0 | : cos x ≠ 0

2 tg x + 3 =0

tg x = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk,  k Z  или  х = - arctg 1,5 + πk,  k   Z

Учитель:   Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = 0. Разделив обе части уравнения на  cos² x ≠ 0, получим уравнение вида  А tg ²x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите  уравнение 2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0 

Учащиеся решают уравнение  2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0

                           2 sin² х  - 3 sinх  cos х - 5 cos²х =0  | : cos²х ≠ 0

                           2 tg ²x - 3 tg x - 5 = 0

      замена    tg x = t

                             2 t² – 3 t – 5 =0

                              t₁  = -1;  t₂  = 2,5

Решением тоуравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k   Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида  х = arctg 2,5+ πn,  n  Z.

Учитель: К  однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin² х  + В sinх  cos х + С  cos²х = D, преобразуем данное уравнение А sin² х  + В sinх  cos х + С  cos²х =D (sin² х  +   cos²х)

или           (А –D) sin² х  + В sinх cos х + (С-D)  cos²х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

      A sin x+ B cos x = С

       A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2)  = С

       2 A sin(x/2)  cos(x/2)   + В (cos²(x/2)  - sin²(x/2)  )= С (sin²(x/2)   +   cos²(x/2)).  А теперь  выберите два уравнения и   самостоятельно решите их.

 На экране проецируется задание.

На оценку	1 вариант	2 вариант
«3»   «4»   «5»	3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin2 х  - 3 sinх  cos х - 2 cos2х =0  3 cos2х + 2 sin х cos х =0 5 sin2 х  + 2 sinх  cos х - cos2х =1 2 sin x -  5 cos x = 3 1- 4 sin 2x + 6 cos2х  = 0	2 cos x+ 3 sin x = 0 6 sin2 х  - 5 sinх  cos х + cos2х =0  2 sin2 x – sin x  cosx =0 4 sin2 х  -  2sinх  cos х - 4 cos2х =1 2 sin x - 3 cos x = 4 2 sin2 х  -  2sin 2х  +1 =0

 

Учитель:   Ребята, проверьте свое решение с  ответами.

На экране проецируются ответы

	1 вариант	2 вариант
«3»     «4»     «5»	- arctg 5/3+ πk,  k   Z. π/4 + πk;   - arctg 0,4 + πn,   k, n   Z.   π/2 + πk;   - arctg 1,5 + πn,   k, n   Z. π/4 + πk;   - arctg 0,5 + πn,   k, n  Z.    arctg ( - 1 ± √5) + πk,   k   Z. π/4 + πk;    arctg 7 + πn,   k, n   Z.	- arctg 2/3+ πk,  k   Z. arctg 1/3+ πk;    arctg 0,5 + πn,   k, n   Z.   πk;    arctg 0,5 + πn,   k, n   Z. -π/4 + πk;   - arctg 5/3 + πn,   k, n   Z.   arctg ( 2 ± √11) + πk,   k   Z. π/4 + πk;    arctg 1/3 + πn,   k, n   Z.

Учитель:  Продолжим рассмотрение  основных методов решения тригонометрических уравнений.

 Б) различные  алгоритмы решения уравнений вида  A sin x+ B cos x = С

  1) переход к половинному аргументу мы рассмотрели ранее.

  2) использование универсальной подстановки

       

                       2 tg x/2                                     1 - tg² x/2

          sinх = -------------------      ,  cos х =  -----------------------

                     1 + tg² x/2                                 1 + tg² x/2

 3) введение вспомогательного угла

         A sin x+ B cos x = С | :    √A² + B² ≠ 0

 

             A      sin x  +            В         cos x  =       С      .

      √A² + B²                     √A² + B²                          √A² + B²

 

 Если         A     = cos β, то          A     = sin β, получим

           √A² + B²                          √A² + B²                     

cos β · sin x  + sin β · cos x  =      С    , откуда sin (x + β) =        С        или

                                                 √A² + B²                                          √A² + B²                        

 x = (-1)^k arcsin     С         - β + πk,   k   Z.

                        √A² + B²                                         

 А теперь попробуйте решить  уравнение  √3  sin x +  cos x = 1 одним из предложенных способов.

Учащиеся решают уравнение, консультируются у учителя в случае возникновения затруднений.

Учитель:  А теперь сверьте свои ответы с  ответами соседа. Сверили. Молодцы! А сейчас выполним самостоятельную работу следующего характера. Решите  тригонометрическое уравнение вида  A sin x+ B cos x = С рассмотренными способами.

На экране проецируется задание.

На оценку	1 вариант	2 вариант
	sin x + 3 cos x = 2	2 sin x+ 3 cos x = 1
3	Используя один из предложенных способов
4	Используя любые два из предложенных способов
5	Используя три предложенные способа
Ответ	2 arctg (1 ± √6)/5 + 2πk,   k   Z.	2 arctg ( 1 ± √3)/2 + 2πk,   k   Z.

На экране проецируются ответы

 

2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Задачи этапа: организовать деятельность учащихся по применению знаний, умений и навыков при решении тригонометрических уравнений незнакомыми способами.

Содержание этапа:

Учитель: А сейчас познакомимся  с решением тригонометрических уравнений новыми способами:

А) введением нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) =  R (у; х).

Рассмотрим уравнение  4 sin х  - 6 sinх  cos х + 4  cosх + 1 = 0 ,

т.к. (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x  cos x, то  sinx ·cos x =  (sin x + cos x)² - 1   , получим

                                                                                                        2

4 sin х  + 4  cosх -  6   (sin x + cos x)² - 1   + 1 = 0 ,

                                               2

4 sin х  + 4  cosх  -  3  ( (sin x + cos x)² – 1) + 1  = 0 ,

Введем обозначение  t = sin x + cos x, получим

4 t – 3 (t² -1) + 1  = 0

– 3 t²  + 4 t + 4 = 0

3 t²  - 4 t - 4 = 0 . Решая квадратное уравнение, найдем t ₁   =  2, t ₂  = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sin х  +  cosх    = 2   и   sin х  +   cosх  = -2/3

Б) методом разложения на множители.

Вспомним использование данного метода при решении известного вида уравнений:

sin х  +  sin 3 х  + sin 5 х = 0

 сгруппируем слагаемые:

  (sin х  +  sin 5 х)  + sin 3 х   = 0

2 sin  3х  cos 2х  +  sin  3х  = 0

sin  3х   ( 2 cos 2х + 1 ) = 0

переходим к решению простейших тригонометрических уравнений:

sin  3х  = 0     или      2 cos 2х + 1 = 0

                                   cos 2х  = - 1/2

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin ³ х  + 3 sin  х  - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или   4 ·1 ³   + 3 · 1  - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin ³ х  + 3 sin  х   - 7 – (4 · 1 ³   + 3 · 1   - 7 ) = 0

или  4 ( sin ³ х  - 1 )  + 3 ( sin  х  - 1 )  = 0 .

Разложим на множители:   4 ( sin  х  - 1 )  ( sin ² х   + sin  х  +1 ) + 3 ( sin  х  - 1 ) =0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4 ( sin ² х   + sin  х  + 1) + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin ² х   + 4  sin  х  + 4 + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin ² х   + 4  sin  х  + 7 ) = 0, откуда

                                                   sin  х  - 1  = 0            или           4  sin ² х   +4  sin  х  + 7  = 0

                                                 х = π/2 + 2пk,  k  Z                           решений нет

 

В) методом оценки левой и правой частей.

Рассмотрим уравнение sin x/4   + 2 cos (x- 2 π)/3   = 3

Вспомним, что            – 1 ≤ sin     ≤ 1

                                – 2 ≤  2 cos  (x-2 π)/3  ≤ 2

                           -----------------------------------

                          – 3 ≤  sin x/4  +  2 cos(x-2 π)/3  ≤ 3.

 Исходное уравнение будет иметь решение тогда  и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin  x/4    = 1  и   2 cos (x-2 π)/3 = 2  или

sin  x/4    = 1 

cos (x-2 π)/3 = 1  .   Решая уравнение sin x/4    = 1 , получим х = 2 π+ 8πn,   n   Z.

                                 Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1 , имеем  (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn - 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3. Итак, cos 8πn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n  делится нацело на 3, т.е.  n = 3 k, k   Z.

Значит,  решением исходного уравнения являются числа вида  х = 2 п + 24 п k, k   Z.

 

3. Рефлексивно-оценочная часть урока.

3.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

Содержание этапа:

Учитель: А теперь вы оцените свою работу на уроке.  Вы  самостоятельно выполнили 5  упражнений:

1 – находили значения тригонометрических функций;

2 – находили значения обратных тригонометрических функций;

3 – решение уравнений по известным алгоритмам;

4 – решение однородных тригонометрических уравнений;

5 – решение уравнений вида a sinx+b cosx = c

Найдите среднее арифметическое всех выставленных оценок, округлите результат,  и эти оценки я вам выставляю в журнал.  

3.2. Информация о домашнем задании.

Задачи этапа: сообщить  учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание цели, содержания и способов решения.

Содержание этапа:

Учитель: Для закрепления навыков решения тригонометрических уравнений новыми способами я предлагаю вам выполнить домашнее задание следующего содержания:

1.  введением нетрадиционной замены решите  симметричное тригонометрическое уравнение   cos⁶х  + sin⁶ х   = 16 sin² х  cos²х ;

2. выражение sin³ х  + 3 sin х  - 4 разложить на множители различными способами;

3. методом разложения на множители решите тригонометрическое уравнение

sin³ х  + 3 sin х  - 4 = 0

4.  методом оценки левой и правой частей решите тригонометрическое уравнение

2 (  сosх  + sin х )  + sin 2 х  + 1 = 0

3.3. Подведение итогов урока.

Задачи этапа: вспомнить основные моменты урока, проанализировать усвоение предложенного материала и умение применить полученные знания  в дальнейшем

Содержание этапа:

Учитель: Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений  из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Учитель: Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания!