Методическая разработка занятия по геометрии «Метод перекрывающихся площадей»

Ресурсный материал по содержанию урока

Этапы организации деятельности учащихся при решении задач

Результат деятельности учащихся (по этапам)

Помощь учителя

1. Дано: ABCD—параллелограмм; E∈BC, F∈AD; AE∩BF=M, ED∩FC=N.

Доказать: 

а) SAMF +SFND = SBME +SENC;

б) SMENF =SABM +SNCD.

1)                 Постановка учебной цели в процессе решения задачи;

2)                 выявление средств, необходимых для решения

задачи;

3)                 соотнесение выявленных средств

выполнения              учебно-

познавательной деятельности (далее -УПД) с собственными знаниями и умениями, принятие решения о помощи, выбор уровня самостоятельности; 4) поиск решения задачи;

1)                 Найти и обобщить способ решения данной задачи;

2)                 Перечисляют: а) свойства площадей; 

    б) формулы для вычисления площадей; 

     в) приём работы с задачей: выведение следствий из условия и требования.

3)                 Формулируют свойства площадей; записывают формулы для вычисления площади параллелограмма, треугольника.

4)                 Работа с текстом задачи: анализируют условие и чертеж; изображают фигуру в соответствии с условием задачи, записывают данные и требование: «Дано», «Доказать».

 Поиск решения задачи:

Выводят следствия из условия задачи: 

Точки E∈BC, F∈AD, причем BC ‖ AD, то можно использовать свойство площадей треугольников в параллелограмме.

Выводят следствия из требования: для доказательства а) нужно на чертеже найти фигуру, которая была бы составлена из данных

Помогает назвать нужные теоретические факты и этапы решения задачи.

Предлагает:

✓  Постараться вспомнить, что ещё известно про площади фигур;

✓  Придумать, какие фигуры должны получиться при разбиении и пересекающихся площадях.

5)             составление

решения задачи;

6)             реализация плана;

плана

   треугольников      –      такие      фигуры      есть      -

𝛥𝐵𝐹𝐶 и 𝛥𝐴𝐸𝐷.

Если поиск решения задачи не закончен – то выбирают способ помощи и уровень помощи.  1           уровень:         воспользоваться       идеей           метода решения: перекрывающиеся площади.

2                уровень: воспользоваться перечнем обоснований, необходимых для решения задачи;

3                уровень: по готовой схеме поиска решения задачи           вспомнить      формулировки           теорем            – обоснований и разобрать решение задачи.

5) Составляют план решения:

А) 

1.              Доказать SBFC = SAED

2.              Используя свойство площадей, записать чему равны площади треугольников 𝛥𝐵𝐹𝐶 и 𝛥𝐴𝐸𝐷.

3.              Выделить       пересекающиеся       площади           в

𝛥𝐵𝐹𝐶 и 𝛥𝐴𝐸𝐷.

4.              Используя свойство аддитивности, доказать требуемое утверждение.

Б)

1.              Дополнительное построение: провести высоту к основанию АD.

2.              Доказать, что  SABF +SFCD= 0,5 SABCD.

3.              Доказать, что SABF +SFCD = SBFC.

4.              Используя свойство аддитивности, площадей доказать требуемое утверждение.

6) Записывают решение задачи.

Обобщают решение задачи.

Фиксируют в устной речи созданный приём:

1.              Найти равновеликие фигуры с пересекающимися площадями или сделать дополнительное построение, чтобы их найти;

2.              Выяснить, из каких частей состоят искомые фигуры;

Даёт образец решения для контроля. Помогает правильно сформулировать отдельные шаги приёма.

7)                 контроль             решения

задачи;

8)                 Оценка процесса и результатов выполненной деятельности, с

использованием соответствующих приёмов;

9)                 Коррекция собственной УПД

3.                  Найти (доказать равенство) площади фигур, входящих в искомую фигуру;

4.                  Используя свойство аддитивности площадей, выразить площадь искомой фигуры через известные площади фигур.

7)                 перечисляют все определения, свойства и теоремы, которые использовались при решении задачи. 

8)                 Оценивают свою деятельность при решении задачи по пяти бальной системе.

9)                 Фиксирует свое внимание на ошибке и устанавливает её характер, анализирует причины ошибки – применение теоретических положений (определения, теоремы, формулы), делает вывод о причине ошибки, использует откорректированные знания и действия в процессе решения аналогичных задач.

Предлагает перечислить умения, которые использовались. Предлагает зафиксировать оценку на листке контроля.

Предлагает коррекцию собственных учебных действий выполнить дома.

2. Точки Е, F, К, L - середины сторон четырехугольника АВСD. 

Докажите, что сумма площадей треугольников АLМ, ВNЕ, СРF, КQD равна площади четырехугольника МNРQ.

1)                 Применение приёма (метода) решения задачи 1 к решению данной задачи;

2)                 Перечисляют: а) свойства площадей; 

    б) формулы для вычисления площадей; 

     в) приём работы с задачей: выведение следствий из условия и требования.

3)                 Формулируют         свойства             площадей; записывают формулы для вычисления площади параллелограмма, треугольника.

4)                 Работа с текстом задачи: анализируют условие и чертеж; изображают фигуру в соответствии с условием задачи, записывают данные и требование: «Дано», «Доказать».

Помогает назвать нужные теоретические факты и этапы решения задачи.

Предлагает:

✓ Постараться вспомнить, что ещё известно

Осуществляют поиск решения задачи (выводит следствия из условия и следствия из требования; выясняет какие дополнительные построения можно выполнить, чтобы получить равновеликие фигуры с перекрывающимися площадями).

5)                 Составляют план решения.

6)                 Записывают решение задачи.

7)                 перечисляют все определения, свойства и теоремы, которые использовались при решении задачи. 

8)                 Оценивают свою деятельность при решении задачи по пяти бальной системе.

9)                 Фиксирует свое внимание на ошибке и устанавливает её характер, анализирует причины ошибки – применение теоретических положений (определения, теоремы, формулы), делает вывод о причине ошибки, использует откорректированные знания и действия в процессе решения аналогичных задач.

про площади фигур;

✓ Придумать, какие фигуры должны получиться при разбиении и пересекающихся площадях.

Даёт образец решения для контроля. Предлагает другой способ решения. Предлагает перечислить умения, которые использовались. Предлагает зафиксировать оценку на листке контроля.

Предлагает коррекцию собственных учебных действий выполнить дома.