Методическая разработка на тему : "Логарифмы"

Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования  «Российский художественно – технический колледж игрушки»» ЛОГАРИФМЫ Методические указания к решению упражнений при изучении темы «Свойства логарифмов» рассмотрены  и одобрены  на заседании предметной (цикловой) комиссии  общеобразовательного и социально­экономического циклов  Протокол № _______ от «____» __________20____ г. Председатель ПЦК ___________  М.В. Рыбалкина 2012 г. Логарифмы: Методические указания / Сост. Рыбалкина М.В. – Сергиев ­ Посад: ,  2012– 13с. Данные   методические   указания   содержат   необходимые   теоретические сведения   по   теме   «Логарифмы»   дисциплины   математика,   примеры   решения упражнений,   набор   упражнений   для   самостоятельного   решения   с   ответами   к некоторым из них, десять вариантов для выполнения контрольной работы. Содержание Введение…………………………………………………………………………………………………………..4 1. Определение логарифма ……………………………………………………………………5 1.1. Примеры для самостоятельного решения………………..…………….7 2. Преобразование логарифмических выражений………………..…………….7 2.1. Примеры для самостоятельного решения…………………………………..9 3. Контрольная работа по теме: «Свойства логарифмов»………………….11     Список  литературы ………………………………………………………………….…………14 Введение  Настоящие методические указания предназначены в помощь учащимся  всех форм   обучения   при   изучении   темы   «Свойства   логарифмов».   Разделы   указаний содержат   необходимые   теоретические   сведения   (определения,   формулы   без доказательства) и подробно разобранные упражнения. В конце каждого раздела предлагаются   задания   для   самостоятельного   решения   с   ответами   для самопроверки. Теоретические   сведения   и   примеры   для   самостоятельного   решения   дают возможность   использовать   данные   методические   указания   на   практических занятиях по математике, а также для самостоятельного изучения темы «Свойства логарифмов». В   конце   указаний   приведены   десять   вариантов   заданий   для   выполнения контрольной работы. 1. Определение логарифма Понятие логарифма числа вводится при решении показательных уравнений, например, решим уравнение   2 х  16 , в котором необходимо найти показатель х, представим правую часть уравнения в виде двух в четвертой степени   . В х 2  2 4 этом   уравнении  удалось   левую  и   правую  части   представить   в    виде   степени  с одинаковым основанием 2. Ответ такого уравнения  . Но уравнение    х  4 2 х  15 таким способом решить не удается. А корень все­таки есть. Этот корень называют Логарифмом   положительного   числа  b  по   основанию  a,   где   а>0,   а 1  логарифмом   числа  b  по   основанию   а   и   обозначают  logаb.   Например,   корнем называется   показатель степени, в которую надо возвести  основание  a, чтобы получить число b.  уравнения  2 х  16 является число 4, т.е log216=4.  Из определения следует, что записи logаb=х. и ах=b  равносильны. Например,  log28=3, потому что   при возведении основания 2 в степень 3 получается 8: 23=8, действительно 222=23=8. Значит в результате вычисления логарифма   8   по   основанию   2   получается   показатель   степени   двойки,   при возведении в которую получаем восемь. Определение  логарифма  можно кратко  записать так:   . Это равенство а b loga  b справедливо   при  b>0,  a>0,   а 1.   Его   обычно   называют   основным логарифмическим тождеством. Для   вычислений   значений   логарифмов   полезно   использовать   значения степени следующих чисел: 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1024 91 = 9 92 = 81 93 = 729 31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81 35 = 243 41 = 4 42 = 16 43 = 64 44 = 256 45 = 1024 51 = 5 52 = 25 53 = 125 54 = 625 61 = 6 62 = 36 63 = 216 71 = 7 72 = 49 73 = 343 81 = 8 82 = 64 83 = 512 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 и т.д. Также   необходимо   помнить   правила   возведения   чисел   в   степень   с отрицательным, дробным и нулевым показателем: а0=1;     ;  m а  n n m a n а  1 n а Пример 1.   , т.к. 33=27 log 3  3 27 Пример 2.  , т.к. 30=1 log 3  01 Пример 3.  log 2 1 2  1 , т.к. 2­1= 1 2 Пример 4.  Вычислить  log 32 64 Пусть log 32  .   По   определению   логарифма   32t=64.   Это   простейшее 64 t показательное уравнение. 32=25, 64=26, поэтому (25)t=26;  25t=26 ; 5t=6, t= 6 5 Ответ:  6 5 Пример 5. Вычислить  2 log 5 6 5 Используя   свойства   степени   и   основное   логарифмическое   тождество, находим  2 log 5 6  5  5( log 5 6  2 )  2  6 1 2 6 1 36 Пример 6.  log 2 log 8 64  log 2  12 Для некоторых логарифмов имеются специальные обозначения: десятичный log10х=lgx, натуральный logех=lnx. Пример 7. lg1000=3 , т.к. 103=3 Пример 8. lg0,01=­2 , т.к. 10­2= =0,01 1 100 1.1. Примеры для самостоятельного решения: log)1 9 ;81 log)2 log)3 log)4 log)5 log)6 1 3 3 5 1 2 4 ; 1 81 ;1 ;5 ;4 ; 1 4 log ;9 3 2 log)7 lg)8 9)9 log)10 ;100 log2 5 ; 9 8 64 Ответы:  № задания ответ 1 2 2 4 3 0 4 1 5 ­2 6 ­1 7 1 8 2 9 25 10 0,5 2. Преобразование логарифмических выражений При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них. Пусть   а>0,   а 1,   b>0,   с>0,  p  –   любое   действительное   число.   Тогда справедливы формулы log a )cb(  log b  log c a a        (1)               (2) log a b c  log a b  log a c log p a  b logp a b                    (3)               (4) log a b  log log c c b a  1c,              (5) log a b  1 log b a b,  1       Формулы (1) и (2) можно применять к выражениям, содержащим логарифмы с одинаковыми основаниями. Формулы (4) и (5) позволяют переходить от одного основания логарифмов к другому. Пример 1. Вычислить:   log 8 12  log 8 15  log 20 8 На основе формул  (1) и (2) преобразуем  log 8 12  log 8 15  log 8 20  log 8 12  20 15  log 16 8 Теперь можно применить формулу (4), т. е. перейти к новому основанию, в данном примере   логарифмы   чисел   16   и   8   легко   вычислить   при   основании   2,   тогда log 8 16  log 2 log 16 8 2  4 3 Пример 2. Вычислить  log 3 2 2 Применим формулу (3), для этого вспомним определение степени с рациональным  показателем ( а  n m a m n ), тогда   3 log 2 2  log 2 2 1 3  log 1 3 2 2  1 1 3 1 3 Пример 3. Зная, что  log 2  а 14 , найти  log 2 )а8( Применяем  формулу (1)  log 2 )а8(  log 8  log a 2 2  14 3 17 Пример 4. Прологарифмировать выражение   по основанию 5. a25 4 c Запишем данное выражение в виде  log 5    4  25 a c    Теперь применим формулы (1), (2) и (3) log 5    4  25 a c    log 5 25  log 4 a  5 log 5 c  42 log a  5 log 5 c Пример5.  Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0): log 4 х  1 2 log 4 a  log 4 2c  В этом примере необходимо правую часть представить в виде одного  логарифма по основанию 4:  log 4 х  1 2 log 4 a  log 4 c  2 log 4 х  log a 4 1 2  log 4 c  log 4 16     (2 представили в виде log416)      (применили формулы (1), (2) и (3)) log 4 х  log 4     ca 16    х   ca 16 2.1. Примеры для самостоятельного решения: 1. 2. 3. 4. 5. 6. log 3 3 9 log log 2 4 4 2 log 9 27 log 3 9 9 log 6 30  log 6 5 log 6  4 log 6 36 4 7.   log 9 15  log 18  9 log 9 10 8. Зная, что  , найти  log 2 k  ,43 log 2 16(  )k 9. Прологарифмировать выражение   по основанию 10. 2 a1,0 n 10.Найти х по данному его логарифму (а>0,b>0): log 3 х  1 5 log 3 a   1mlog 3 Ответы:  № задания ответ 1 9 2 1 3 1,5 4 1 3 5 1 6 2 7 8 9 10 1,5 0,6 ­1+2lga­lgn х  5  3a m Контрольная работа по теме: «Свойства логарифмов» 1. Вычислить: 1. log 3 9 2.  log 25 1 5 3.  log 3 4.  log 1 3 1 3 1 9 5.  log 3 81 6.  log 16 1 4 7.  log 1 3   27 8.  log 7 49 9.  125 log 1 5 10.  log 6 1 36 2. Вычислить: 1. 2. log 27 9 3.  log 100 10 log125 25 4.  log 32 64 5.  6.  log 36 216 7.  log 81 9 9.  log 343 49 log 27 81 8.  log 1000 100 10.    log 32 8 3. Вычислить: 1. 3.  5.  7.  9. 2. log 4 5 25 4.  log 3 10 10 6.  log 3 6 36 8.  log 3 2 32 10.  log 3 9 81 4. Вычислить:  1. 2.  9.  1. 2. 3. 4. 5. log 4 log 2 2 2 log 49 log 3 7 3 3.  4.  log 25 log 6 5 6 log 81 log 2 9 2 5.  6.  log 9 log 8 3 8 log 27 log 9 3 9 7.  8.  log 16 log 6 4 6 lg log 5 5 10 log log 2 4 4 2 10.  log log 2 4 4 2 5. Вычислить: 245  log log 1 7 log 2 15  log 2 log 3 54  log 3 1 5 1 7 15 16 1 2 log 3 108  log 3 4 log 8 1 16  log 8 32 6. 7. 8. 9. log 1 10 1 5  log log 3 6  log 3 250 1 5 2 3 1 225 log 1 5  log 9 1 5 log 3 09,0  log 100 3 10. log 3,0 9  log 100 3,0 6. Вычислить: 1.  2.  2 log 5 7 5 log2 7 8 7  3.  4.  log3 6 2 6  4 log 9 3 9  5.  6.  log9 11 9  2 log 5 7 5 7.  8.  log2 4 3 4 log3 6 10 6  9.  log3 2 6 2 10.  log2 10 5 10 7. Доказать тождество: 1. 2. 3. 4. 5. log 2 12  log 6  2 log 2 18  2 log 2 6  log 3  2 log 2  1.9 log 5 8  log 5 2  log 5 25 4  2 log 5 2  log 5 4  log 5 50  2 6. 7. 8. 9. log 6 8  log 6 2  log 6 9  2 log 7 6  log 7 14  log 7 21  2 8lg  2lg  lg 25 4  2 log 3 36  log 3 20  log 3 45  4 log 4 20  log 4 15  log 4 12  2 10. log 2 18  log 2 6  log 2 12  2 8. Найти значение выражения: 1. log 7  a49 , если log 7 a .6,8 6.  log 2  a16 , если log 2 a  3 2. 3. 4. 5. , если  log 4  c64 log 4 c .5,3 , если  log 5  b 5 log 5 b 4 , если  log 6 a 6 log6 36 a , если  log5  d125 log5 d .1,3 7. 8. 9. , если  log 8  c64 log 8  5c , если log 7 a  6 log 7 7 a , если  log 5  9 c log 5 125 c 10. log10 01,0 n , если log10  1 n 9. Прологарифмировать выражение: по основанию 2 по основанию 3  по основанию 5   по основанию 3  по основанию 6 1.     2.   a16 2 c a27 3n 3.   4.   5.   a125 6 m 81  3na 3 ac 36 по основанию 4  6.   16 7  mn 7.   8.   9.    по основанию 2 a8 4 n   по основанию 8 1 ak 64   по основанию 9 c9  3n   по основанию 10 10.   c 100 3 2  n 10.Найти х по данному его логарифму (а>0,m>0,c>0,h>0,n>0,k>0): 1.  2.  3.  4.  5.  log 2 х  1 5 log 2 a  2mlog  2 log 3 х  3 1 2 log 3 a  log 3 m log 5 х  log 5 log2a  5 2m  log 2 х  2 log 2 х  3 1 2 1 6 log 2 с  log 2 n log 2 h  log m 2 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 6.  7.  8.  9.  log 4 х  1 3 log 4 log22a  m 4 log 6 х  log 6 log3a  6 1m  log 7 х  1 3 log 8 х  1 9 log 7 a  log 7  2с log 8 k  log 8 1m  10.  log 3 1х  1 6 log 3 a  log c 3 1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа – учебник для 10­11 кл.  общеобразоват. Учреждений – М.: Просвещение, 2006.­ 384с. 2. Креславская О.А. ЕГЭ­2009. Математика: Сдаем без проблем! – М.:  Эксмо, 2008.­192с.