Методическая разработка "Нахождение наибольшего и наименьшего значений тригонометрических функций"

Конспект урока по теме: «Нахождение наибольшего и наименьшего значений тригонометрических функций» Цели урока:  – обобщить известные приёмы нахождения наибольшего и наименьшего значений функций; – повторить множества значений основных известных функций; – выделить   опорные   задания,  на   основании   решения   которого   решаются   другие значений задания   на   нахождение   наибольшего   и   наименьшего   тригонометрических функций;  – сформировать алгоритмы решения заданий на нахождение множества значений функций с учетом различных формулировок таких заданий. Ход урока. 1. Постановка целей урока. Цели урока формулирует учитель. 2. Актуализация знаний. Проводится в форме диалога с учащимися. Что мы понимаем под множеством значений функции?  Как обозначается множество значений функции? – По   каким   данным   мы   можем   найти   множество   значений   функции?   (По аналитической записи функции или ее графику) – Множества   значений   каких   функций   мы   знаем?   (Перечисляются   основные функции   с   записью   их   на   доске;   для   каждой   из   функций   записывается   ее множество значений). В результате на доске:  Функция y = x2 y = x3 y =  x y = | x | y = k / x Множество значений E(y) = [0, + ∞) E(y) = ( – ∞, + ∞) E(y) = [0, + ∞) E(y) = [0, + ∞) E(y) = ( – ∞, 0)  (0, + ∞) 1 y = sin x y = cos x y = tg x y = ctg x E(y) = [­ 1, 1] E(y) = [­ 1, 1] E(y) = ( – ∞, + ∞) E(y) = ( – ∞, + ∞) – Можем   ли   мы,   используя   эти   знания,   сразу   найти   множества   значений записанных на доске функций? (Возникает затруднение). – Что может помочь в ответе на данный вопрос? (Графики этих функций). – Как  построить  график  первой  функции? (Опустить  параболу  на  4 единицы вниз). – Что при этом произойдет с интервалом, определяющим множеством значений функции? (Станет меньше на 4). Аналогично беседуем по каждой функции из таблицы. Функция y = x2 – 4  y =   + 5  x y =3 sin x y = – 5 cos x y = tg (x +  / 6) – 1 y = sin (x +  / 3) – 2 y = | x – 1 | + 3 y = cos2 x  y = | ctg x |  y = sin2 x – 3 y =  cos2 x   4 Множество значений E(y) = [­4, + ∞) E(y) = [0, + ∞) E(y) = [­ 3, 3] E(y) = [­ 5, 5] E(y) = ( – ∞, + ∞) E(y) = [­ 3, ­ 1] E(y) = [3, + ∞) E(y) = [0, 1] E(y) = [0, + ∞) E(y) = [­ 3, ­ 2] = | cos (x + /4) | E(y) = [0, 1] y = (x – 5)2 + 3 E(y) = [3, + ∞) 2       y = x2 – 6x + 2 E(y) = [– 7, + ∞) – Последнюю   функцию   давайте   запишем   в   тетрадь   и   найдем   ее   множество значений. Как это можно сделать? (Проанализировать ее график). – Что   мы   можем   сказать   о   графике   данной   функции?   (Парабола,   ветви направлены вверх, абсцисса вершины которой находится по формуле:  – xв = – b / 2a = 3) – Можем ли мы теперь найти множество значений функции? Что еще нужно  найти?(Ординату вершины: yв = – 7) Впишем в таблицу результат. – А можем ли мы по­другому найти множество значений этой функции? (Можем  выделить квадрат двучлена и записать функцию в виде  у = (х – 3)2 – 7.) – Изменится ли при этом множество её значений? (Нет, оно останется прежним.) 3. Введение алгоритма решения задач на нахождение множества значений  тригонометрических функций. Давайте посмотрим, как мы можем применить имеющийся опыт для  решения  различных заданий, включаемых в варианты единого экзамена. Задание 1. Найдите множество значений функции у = sin2х + 6sin х + 10. Решение. 1. Перепишем функцию в виде у = sin2x + 6sin x + 9 + 1, 2. у = ( sin x + 3)2 + 1. 3. Е(sin x) = [­1;1], 4. Е(sin x + 3) = [2;4], Е(sin x + 3)2 = [4;16], Е(у) = [5;17]. Алгоритм  1. Привести правую часть формулы к одной выражению тригонометрической функцией.   с   2.   Преобразовать   это   выражение,   выделив квадрат двучлена.   Найти   множество   значений основной 3. внутренней тригонометрической функции. 4.   Найти   множество   значений   всей функции,   последовательно   оценивая каждую   промежуточную   функцию, получаемую операцией из исходной. 3 Ответ: [5; 17]. Такого рода задания часто встречаются в вариантах ЕГЭ. Чтобы успешно с ними  справляться, давайте выделим алгоритм решения таких заданий.  В ходе диалога на доске (учащиеся – в своих тетрадях) параллельно решению  записываются этапы алгоритма (формируется столбец «Алгоритм» в предыдущей  таблице). 4. Усвоение алгоритма решения задач на нахождение множества значений  тригонометрических функций. Задание 2. Найдите наименьшее значение функции у = соs 2x + 2sin x – 2. Решение. Можем ли мы найти множество значений этой функции? (Нет.) Что нужно сделать? (Свести к одной функции.) Как это сделать? (Использовать формулу cos2x = 1—sin2x.) Итак, у = 1—sin2x + 2sin x –2, y = ­sin2x + 2sin x –1, у = ­(sin x –1)2. Ну а теперь мы можем найти множество значений и выбрать из них наименьшее. ­1 ≤ sin x ≤ 1, ­2 ≤ sin x – 1 ≤ 0, 0 ≤ (sin x – 1)2 ≤ 4, ­4 ≤ ­(sin x ­1)2 ≤ 0. Значит, наименьшее значение функции унаим = –4. Задание 3. Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений функции у = sin2 x +  Ответ: ­4. cos x + 1,5. Решение. 4 у = 1­cos2x + cos x + 1,5, у = ­cos2x + 2∙0,5∙cos x  ­ 0,25 + 2,75, у = ­(cos x­ 0,5)2 + 2,75. Е(cos x) = [­1;1], Е(cos x – 0,5) = [­1,5;0,5], Е(cos x – 0,5)2 = [0;2,25], Е(­(cos x­0,5)2 ) = [­2,25;0], Е(у) = [0,5;2,75]. Наибольшее значение функции унаиб = 2,75; наименьшее значение унаим = 0,5. Найдём произведение наибольшего и наименьшего значения функции: унаиб ∙ унаим = 0,5∙2,75 = 1,375. Ответ: 1,375. Задание 4. Найдите сумму всех целых значений функции у =  36 cos 2 x  12 sin x  27 . Решение. 36  36 sin 2 x  12 sin x  27 , Перепишем функцию в виде у = у =  у =   36 sin 2 x  12 sin x  63 ,  sin6( x  )1 2  64 , Найдем теперь множество значений функции. E(sin x) = [­1, 1], E(6sin x) = [­6, 6], E(6sin x + 1) = [­5, 7], E((6sin x + 1)2) = [0, 49], E(– (6sin x + 1)2) = [­49, 0], E(– (6sin x + 1)2 + 64) = [15, 64], 5 E(y) = [ , 8]. 15 Найдем сумму целых значений функции: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Ответ: 30. 5. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания. – Что   нового   мы   узнали   на   сегодняшнем   уроке?   (Как   решать   задания   на определение множества значений тригонометрических функций). – В чем состоит этот алгоритм? (Называют этапы алгоритма). – Какой ранее изученный материал оказал нам помощь при поиске способа решения рассматриваемых   задач?   (Множества   значений   основных   функций   и преобразования графиков функций). – Какие формулировки могут иметь задания, к решению которых применим данный алгоритм? (Перечисляют виды встретившихся заданий). Домашнее задание: №№ 16.22, 16.24 – на нахождение области значений функции; №№ 16.25 – на нахождение целочисленных значений функции. Из вариантов ЕГЭ. Найдите произведение наибольшего и наименьшего значения функции y = 2sin2 x + cos x. 6