Методическая разработка урока математики

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение  Самарской области   «Алексеевское  профессиональное училище» Разработка урока по математике  (алгебре и началам анализа)  разработка предназначена для изучения в учреждениях СПО 1 курс                                   Тема: РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Преподаватель математики  Петрова Галина Леонидовна 2017­2018 учебный год Тема:  РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Цели урока: усилить практическую направленность данной темы для качественной  подготовки к     ЕГЭ;  способствовать прочному усвоению материала; повторить, обобщить и  систематизировать материал по теме «Тригонометрические уравнения». Задачи урока: Образовательная: проверка умений применять тригонометрические формулы при  решении уравнений, формулы корней простейших тригонометрических уравнений; Развивающая: развитие навыков самоконтроля, навыков самостоятельной работы; Воспитательная: воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных  результатов, уважительного отношения друг к другу. Тип урока: урок­практикум. 1­я часть: обобщение и систематизация теоретических основ. 2­я часть: тренировочные упражнения. Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная. Оборудование и источники информации: рисунки, таблицы; схема; динамичные блоки  тригонометрических уравнений. Методы обучения: частично­поисковый (эвристический), тестовая проверка уровня знаний, работа по опорным схемам, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимопроверка. Ход у р о к а У учащихся па партах листы учета знаний, системно­обобщающая схема, по 4 чистых подписанных листа и копирка. I. Организационный момент. ­ Французский писатель Анатоль Франс (1844­1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело... Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны,   будем   поглощать   знания   с   большим   желанием.   И   данное   высказывание   будет эпиграфом­ девизом нашего учебного занятия. Сегодня у нас заключительный урок по теме «Решение тригонометрических уравнений». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решения  тригонометрических уравнений, а также проверяем умения использовать свойства  тригонометрических функций. Перед вами стоит задача ­ показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений. I I. Устно:  1)Найдите область значений функции: а) у= 5cos2x. б) y=3 + cosx.  в)у = 2­sin2х Е(у)=[­5;5]. Е(у) = [2;4].  l  ;2].   E  (  у  ) = [           Докажите, что следующие функции не являются периодическими: а) у=1/х­1;     б)у = √ х ;       в) у = sin√  x ­1 . (Область определения не симметрична относительно 0)  Имеет ли смысл выражение?                                                 ответы а) arcsin √2;                                                                                                      ­ б) arcsin а2/ а2+1;                                                                                                                                            + в) arсcos а2+1/ а2;                                                                                             ­ г) arсcos(­ /3).                                                                                                  ­ π III. Тест (математический диктант) (через копирку с самопроверкой)  «Решение про­ стейших тригонометрических уравнений». (чтение в размеренном темпе, дважды повторяя каждый вопрос) Цель  (на данном этапе урока):  контроль (самоконтроль) знаний и приведение в систему знания по простейшим тригонометрическим уравнениям. I в а р и а н т . 1. Каково будет решение уравнения cos х = а при |a| > 1 ? 1. При каком значении а уравнение cosx = a имеет решение? 2. Какой формулой выражается это решение? 4. На откладывается оси     какой уравнения cos х = а ?     значение  а  при   решении 5. В каком промежутке находится arccosa? 6. В каком промежутке находится значение а? 7. Каким будет решение уравнения cos х = 1 ? 8. Каким будет решение уравнения cosx = ­1 ? 9. Каким будет решение уравнения cosx = 0 ? 10. Чему равняется arccos(­a) ? 11. В каком промежутке находится arctga ? 12. Какой формулой выражается решение уравнения tgx = а ? 13. Чему равняется arctg(­a) ? II в а р и а н т . 1. Каково будет решение уравнения sin х ­ а при |a|   > 1 ? 2. При каком значении а уравнение sinx = а имеет решение? 3. Какой формулой выражается это решение? 4. На какой оси откладывается значение а при решении уравнения sin х = а ? 5. В каком промежутке находится arcsina? 6. В каком промежутке находится значение а? 7. Каким будет решение уравнения sin х = 1? 8. Каким будет решение уравнения sin х = ­1? 9. Каким будет решение уравнения sinx = 0? 10. Чему равняется arcsin(­a)? 11. В каком промежутке находится arcctga ? 12. Какой формулой выражается решение уравнения ctgx = а ? 13. Чему равняется arcctg(­a) ? Ответы     ( Приложение 1.) IV. Валеологическая пауза. Перед повторением теоретического материала немного отдохнём – (комплекс упражнений, направленных на восстановление утомленных глаз). Комплекс 1. 1. И.п. ­ сидя или стоя. Крепко зажмурить глаза на 3­5 секунд, а затем открыть их на 3­5 секунд.  Повторить 5­6 раз. 2. И.п. ­ сидя или стоя. Быстро поморгать 20­30секунд. 3. И.п. ­ сидя или стоя. Смотреть прямо перед собой 2­3 секунды. Затем поставить палец руки на  расстоянии 25­30 см от глаз, перевести взор на кончик пальца и смотреть на него 3­5 секунд.  Опустить руку. Повторить 5­7 раз. Комплекс 2. 1. И.п. ­ сидя или стоя, выставить палец руки вперед. 1­ двигать палец вправо, глазами следить за  пальцем; 2­ двигать палец влево; 3­вверх, 4­ вниз. Повторить 3 раза. Палец двигается по широкой  амплитуде. Глаза неотрывно следят за пальцем. 2. И.п. ­ сидя. На счет 1,2 ­ не поворачивая головы, быстро перевести взгляд из правого верхнего  угла в левый нижний; 3­4 ­ из левого верхнего угла в правый нижний. 3. И.п. ­ сидя или стоя. Закрыть веки и нежно массировать их круговыми движениями пальца в  течение 20­30секунд. V. Систематизация теоретического материала.  Устно. Определение вида простейших тригонометрических уравнений. ( Приложение 2.) Схемы № 1 и № 2 решений тригонометрических уравнений. ­ Как вы думаете, какая из схем этой группы является лишней? ­ Что объединяет остальные схемы? Отвечающие учащиеся правильные шаги решения заносят в лист учета знаний. О г в е т ы . С № 1. 3­я схема лишняя, так как эта схема изображает ре    шение уравнения:     sinx      = а     ; 1, 2, 4­  cosx   =    6­       а . 6 ­    С № 2. 4­я схема лишняя, так как эта схема изображает ре    tgx   а.   =           « К л а с с и ф и к а ц и я  тригонометрических уравнений».  шение уравнения      =   а;     ctgx     1 ­ 3, 5 ­ На доске написаны уравнения данной серии и таблица системно­обобщающая.  (Приложение 3. (У каждого учащегося имеется такая же схема. Определяя тип и методы решения  уравнений, учащиеся заполняют свою схему. Открываются правильные ответы, учащиеся  меняются схемами, проверяют, объясняют друг другу ошибки, количество верных шагов  решения заносят в лист учета знаний соседа. 1) 3sin2 х­sinх cos х­2 cos2 х = 0. 2) cos2x­9cosx + 8 = 0. 3) sin6x­cos3x = 0. 4) 2 cos2 х + 3 sin х = 0. 5) 2sinxcosx = cos2x­2sin2x. 6) 2cos2x­11sin( /2π ­x) + 5 = 0. 7) tgx + 3ctgx = 4. 8) cos 2x + cos(  ­ π x) = 0. 9) √3cos x + sin x = 1. 10) 3cosx + sinx = 5 . 11) сosx +√3 sinх = 2 . 12) 4cosx + sinx = 5. 13) sinx + cosx = 1.  Д и н а м и ч н ы е  б л о к и . (        Приложение 4.)   В­1. ­ О чем идет речь? О т в е т : 1, 2, 4 ­ простейшие тригонометрические уравнения; 3 ­ уравнение с параметром  (решение только при а = 0). В­2. ­ О чем говорит этот блок уравнений?  О т в е т : 1, 3, 4 ­ одноименные тригонометрические уравнения, решаются методом  подстановки; 2 ­ однородное уравнение. 1 = sin x + cos x (: cos x ­ получим одноименное тригонометрическое уравнение. В­3. ­ Что бы это значило? О т в е т :  1 ­ однородное 1­й степени: cosx(sinx); 2 ­ однородное 2­й степени : cos х; 3 ­ делить на cos2 х нельзя, приведет к потере корней: sin2 х или разложить на множители. В­4. ­ Найдите лишнее уравнение: а) раскройте идею решения. О т в е т :  1; 3 ­разложить на множители; 2 ­ образовать тригонометрическое уравнение  π π (­ /2;  sin(arcsinа)=a, то х+1=sin π/6; х=1/2 . б) О т в е т : 2, 3 ­ метод введения вспомогательного аргумента; 1 ­ оценка левой части. В­5. ­Назовите главный ключевой  блок уравнений. О т в е т :  блок простейших тригонометрических уравнений – главный, так как решение всех  остальных уравнений сводится к решению простейших. VI. Дифференцированная самостоятельная работа. /2).   π /6 из      А:         1. 2 cos х + 3 sin х = 0.      2. sin2x + sinx = 0 .      Б:  1.2sin2 x + cos2x = sin2x 2. sin 7x +cos 4x = sinx. В:        1. cos 2 cos x = cos3x      2. √3 cosx + sinx  =2. Дополнительно: cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2 . VII. Проверка самостоятельной работы. VIII.Подведение итогов урока.  Вот уже несколько уроков мы решаем тригонометрические уравнения. Вопросы: ­ Что это за уравнения? ­ Какие типы и методы решения тригонометрических уравнений мы знаем? cosx = ­1 sinx = 0 sinx = ­1 cosx = 1 sinx = 1 cosx = 0 IХ. Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе6 п.23, №23.1(г); 23.6(а); 23.11(в); 23.26(а).    Творческое задание:    ­Тригонометрические преобразования во многих случаях  подчиняются трем «законам», которые сформулируем в шутливой форме. Какие  известные  вам тригонометрические формулы можно соотнести следующим  «законам»: П е р в ы й :  «Увидел сумму ­ делай произведение». В т о р о й :  «Увидел произведение ­ делай сумму». Т р е т и й : «Увидел квадрат ­ понижай степень». Урок окончен, спасибо всем за работу. До свидания. ПРИЛОЖЕНИЯ К УРОКУ ОТВЕТЫ К ТЕСТУ Приложение I №  п/п I  в а р и а н т II в а р и а н т а <1 Нет решения а <1 1 Нет решения 2 3 х = ±arccosa + 2πn, n  € Z х = (­1)k arcsina + πn, n € Z  4 На оси ОХ 5 6 На оси ОУ π π ] [­ /2;  /2 [­1;1] [0; π] [­1;1] х = 2πn, n € Z π /2 +  2πn, n  х =  €Z 7 8 9 х =  +π πn, n € Z πn, n  х =  €Z /2 +  π 10  π  ­ arccos а π π 11 (­ /2;  /2) π х = ­ /2 +  х = πn, n € Z 2πn, n € Z ­ arcsin а (0;    )π 12 х = arctg a+ πn, n € Z х = arctga + πn, n € Z 13 ­arctga π ­ arctga СИСТЕМНО­ОБОБЩАЮЩАЯ СХЕМА Приложение 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Приложение 3 Решение уравнений по  известным алгоритмам Решение уравнений путём  разбиения на подзадачи Одноимённые  уравнения и  сводящиеся к ним № Уравнения,   решаемые  разложением на  множители № Уравнения,  решаемые  оценкой значений левой  и правой частей № Уравнение вида a cosx + b sinx = c, где a, b, c ≠ 0 , решаемые методом  вспомогательного аргумента ДИНАМИЧЕСКИЕ  БЛОКИ Приложение 4 В­1 1 2 B­2 1 2 3 4 B­3 sinx = √3/2 cos x/2 = a2 +1 2sin22x + 5sin2x – 3 = 0 6sin2x + 4sinxcosx = 1 3tgx + 5ctgx = 8 2sin2x/3 + 4cosx/3 + 1 = 0 ?ОСОБЕННОЕ! π 3 tg(2x­ /4) = √3/3 4 ctg3x = ­√3 ?ЛИШНЕЕ, НО! 1 2 3 sinx + cosx = 0 sin2x ­ 5sinxcosx + 4cos2x = 0 3sinxcosx – cos2x = 0 В­4 А: 1. sin4x – sin2x = 0. /6.π 2. arcsin(x+1) =  3. 5cos3x + 4cosx = 0 ?НЕЛЬЗЯ! ?МОЖНО! B: 1. 2cos3x + 4sinx/2 = 7. 2. √3cosx + sinx = 2 3. cosx + √3sinx = 1.