Методическая разработка урока "Непрерывность функции"

Непрерывность функции 1. Непрерывность функции в точке.  1 Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, принадлежащей области   существует   такое определения   функции,   если   для   любого   положительного   числа   δ ,   что   для   всех   х,   удовлетворяющих   условию   положительное   ,   будет ε x  x 0   ; x  x 0 выполнено неравенство   ( ) f x  ( f x 0 )   2 Определение: Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел . функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.   lim ( ) f x  x x 0  ( f x 0 ) Равенство означает выполнение трех условий: 1) функция ƒ (х) определена в точке x0 и в ее окрестности; 2)  функция ƒ(х) имеет предел при  х х→ о; 3)  предел функции в точке хо равен значению функции в этой точке. Условие непрерывности функции в точке: если односторонние пределы функции в точке х0  существуют   и   равны   между   собой,   то   существует   предел   функции   в   точке   х0, следовательно, функция в точке х0 будет непрерывна.  Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются  точками разрыва этой функции. Если х=х0 — точка разрыва функции у=ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно: Случаи появления разрывов Рисунок  1.   Функция   определена   в   окрестности   точки   х0,   но   не определена в самой точке х0.  lim x 2 x 1  2  1 0   2. Функция определена в точке  х0  и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х х→ 0. lim ( ) 1; lim ( ) 0   2 0 x f x f x   2 0   x 3.   Функция   определена   в   точке   х0  и   ее   окрестности,  предел функции в точке х0 существует, но  этот   предел   не  равен  значению   функции  в  точке x0.lim ( ) f x  x x 0  ( f x 0 ) 2. Точки разрыва. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  ­ Точка разрыва  х0  называется точкой разрыва первого  рода функции  у=ƒ(х),  если в этой точке односторонние пределы существуют, конечны и не равны. График функции в этой точке претерпевает  «скачок» равный разности между правым и левым пределом функции в этой точке. ­ Точка разрыва  х0  называется  точкой разрыва второго рода  функции  у=ƒ(х),  если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности. График функции в этой точке устремляется в бесконечность. пример Вид разрыва Рисунок ( ) f x   x 2    если ­1 x 1, , x  если 2 x     2 5 g x ( )   lim ( ) 1; lim ( ) 0   2 0 x f x f x   2 0 x   точка х0 =2 называется точкой конечного разрыва lim ( ) f x  x x 0  ( f x 0 )  если x  0 , x sin x  если x 2,  0  х0=0  называется   точкой точка устранимого   разрыва.   Положив g(х)=1  (вместо  g(х)=2)   при  х=0, разрыв устранится, функция станет непрерывной y  1  x 2 lim x x 2 1  2  1 0   x0=2 ­точка разрыва второго рода. 3. Непрерывность функции через приращения функции и аргумента. Пусть функция  у=ƒ(х)  определена в некотором интервале  (а;b). Возьмем   произвольную   точку  хоє(а;b).  Для   любого  хє(а;b) разность х­хо называется приращением аргумента х  в точке х0 и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х­x0. Отсюда х=х0+∆х. Разность   соответствующих   значений   функций  ƒ(х)­ƒ(х0) называется  приращением   функции  ƒ(х)  в   точке  х0  и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х0)): ∆у=ƒ(х)­ƒ(х0) или ∆у=ƒ(х0+∆х)­ƒ(х0)      3 Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции.  lim ( ) f x  x  lim ( ) f x  x V lim ( ) f x V  x ( f x 0 ( f x 0 )  )  0  0  x 0 x 0 0